声学波导管

声学波导管

食不厌精 脍不厌细

1、恒定截面波导内的声传播

1.1、矩形波导管

1.2 、圆柱形波导管

设有一半径为a 的圆柱形管，一端延伸到无限远。圆柱形管的声波方程应以柱坐标系来描述。设管的径向坐标为r ，极角为θ，管轴用z 来表示。直角坐标与柱坐标之间有如下关系

⎪⎩

⎪

⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 而柱坐标系的拉普拉斯算符可表示为

22

2

222

1)(1z

r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇θ (1-2-1) 于是三维声波动方程就可变换为：

2

222222211)(1t p c z p p r r p r r r ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂∂∂θ (1-2-2) 根据分离变量法，令解

,)()()(),,,(t j e z Z r R t z r p ωθθΘ=

将其代入（1-2-2）式可得如下三个常微分方程

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧=-++=Θ+Θ=+0

)(10022

22222

222

2R r m k dr dR r dr

R d m d d Z k dz Z

d r z θ (1-2-3) 其中

.222

2

2

r z k k c

k +==

ω (1-2-4)

由于圆柱管道向无限远处延伸，对于Z 的方程可取行波解：

;)(z jk z z e A z Z -= (1-2-5)

对于Θ的方程可取解为

),cos()(m m A ϕθθθ+=Θ (1-2-6) 因为)2()(πθθ+Θ=Θ的关系应该满足，所以式中m 一定要为正整数。

对于R 的方程我们作一适当变换，令x r k r =,则方程就化为

0)1(122

22=-++

R x

m dx dR x dx R d . (1-2-7) 这是一个标准的m 解贝塞尔方程，其一般解可表示为

),()()(r k N B r k J A r k R r m r r m r r += (1-2-8) 这里)(r k J r m 与)(r k N r m 分别代表宗量为)(r k r 的m 阶柱贝塞尔函数与柱诺伊曼函数。按照柱诺伊曼函数在零点发散的性质，式中应取0=r B ,于是（1-2-8）式简化为

，)()(r k J A r k R r m r r = （1-2-9） 由此求得管中声压解为:

,)cos()()(z k t j m r m m m z e m r k J A p --=ωϕθ (1-2-10)

由运动方程r

p

U j r ∂∂-=ρω可求得对应的径向速度为: ,)cos(])

()

([)(00z k t j m r r m r m m rm z e m r k d r k dJ jk A r p j v --=∂∂=

ωϕθωρωρ (1-2-11)

设管壁为刚性，即在a r =处有0=r v ,由此条件可得知如下关系:

,0])

()

([

)(==a r r r m r k d r k dJ

按照贝塞尔函数的递推关系

⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=+-)

()

()]

()([21

)(1011x J dx x dJ x J x J dx x dJ m m m 可得到如下圆柱声波导的本征方程：

)()(11a k J a k J r m r m +-= )0(>m

0)(1=a k J r )0(=m

利用MATLAB 可从这些方程解得一系列根植，部分根植列于下表

表 1.圆柱声波导本征值

在刚性壁条件下，r k 应有一系列特定的数值，此特定值可用下标m 与n 两个正整数表示，我们写成mn r k k =.在mn k k >时声压解可写成如下形式

,)()cos()(z k t j mn m m mn mn z e r k J m A p --=ωϕθ (1-2-12) 其中

2

2mn z k k k -= (1-2-13)

当mn k k <时，圆柱管中存在非传播形式的高次模式，这些高次模式会随距离衰减，此时声压解可写成如下形式

,)()cos(t j mn m z m mn mn e r k J e m A p mn ωαϕθ--= (1-2-14) 其中

22k k j k mn

z --= ， 22

k k mn mn -=α 当波导管的声源进行极轴对称振动时，即波导管中的声压与极角θ无关，因此我们可以取0=m ,当n k k >时得到声压解为

)(0)(z k t j n n n z e r k J A p -=ω (1-2-15) 其中

2

2n z k k k -= (1-2-16)

同理，当n k k <时声压解可表示为

,)(0t j n z n n e r k J e A p n ωα-= （1-2-17） 其中

22k k j k n z --= ，22

k k n n -=α

根据上表，我们可以与矩形管类似地得到圆柱形声波导管的截止频率为 a

c f f c π2841

.10

10== (1-2-18) 如果已知声源做极轴对称的振动，则0=m ,于是可以确定 a

c f f c π23.832

01== （1-2-19） 考虑有限长圆环形声波导管的情况。设圆环的内径为1a ，外径为a ,长度为l .假设入射声源做极轴对称的振动，则柱坐标系下的声波方程为

222221)(1t

p

c z p r p r r r ∂∂=∂∂+∂∂∂∂ （1-2-20） 当圆环状波导管无限长时，根据分离变量法，令解

，t j e z Z r R p ω)()(= （1-2-21） 代入（1-2-20）式可得到如下两个微分方程

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+,01,0222222R k dr dR r dr

R d Z k dz Z

d r z （1-2-22）

如同半无限长圆柱形声波导管一样，我们可以求得：

,)(z jk z z e A z Z -=

),()()(00r k N B r k J A r k R r r r r r +=

由于我们求解的是圆环形声波导管，我们无法根据柱诺伊曼函数的零点发散性质使其系数0=r B ,因此我们可以将其声压解表示为