第4讲 电磁场的能量与动量

Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第四讲 电磁场的能量与动量
4.3 时域Poynting定理
v v v v v v 利用矢量恒等式 ∇⋅ a × b = b ⋅∇× a − a ⋅∇× b ，有 v v v v v v ∇⋅ ( E × H ) = H ⋅∇× E − E ⋅∇× H
第四讲 电磁场的能量与动量
4.4 频域Poynting定理
在频域（场量均为频域量），采用与上节类似的方 法，可以得到
1 v∗ v ⎛1 v v∗⎞ ⎛ 1 v ∗ v 1 v v∗ ⎞ ∇⋅ ⎜ E × H ⎟ = − J ⋅ E − j2ω ⎜ H ⋅ B − E ⋅ D ⎟ 2 4 ⎝2 ⎠ ⎝4 ⎠ (4 − 10)
高等电磁场
第四讲
电磁场的能量与动量
褚庆昕
华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所 Email:qxchu@scut.edu.cn
Research Institute of Antennas & RF Techniques School of Electronic and Information Engineering South China University of Technology
第四讲 电磁场的能量与动量
我们说电磁场是作为一种物质形式存在的。衡量 物质存在的一个标志是动量和能量，那么如何确 定电磁场的动量和能量呢？ 通常我们对一种新的能量或动量形态的认识，总 是通过它们与其他物质的相互作用来达到。 本讲所讨论的就是通过电磁场与电荷系统的相互 作用来认识电磁场的动量和能量的。
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第四讲 电磁场的能量与动量
4.2 电荷系统的动量和能量
根据作用力等于动量的时间变化率，有 v v v dv d v dG p (4 − 2) F = m = ( mv ) = dt dt dt 式中Gp为带电粒子的动量，由(4-1)和(4-2)，有 r v v v dG p = q ( E + v × B) (4 − 3) dt 另一方面，带电粒子的动能
第四讲 电磁场的能量与动量
如果s面为理想导体面，则(4-9)左边的面积分为0，则v 中的损耗功率等于总能量的减小率；如果 σ = 0 ，则电 磁场能量与电荷系统能量相互转换；如果 wp = 0 ，则电 场能量与磁场能量相互转换，即谐振。
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第四讲 电磁场的能量与动量
媒质无耗时，耗能为零，所以各向同性媒质的无耗条件 为 σ = 0， ε ′′ = 0， μ ′′ = 0 (4 − 14) 即
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(4 − 7)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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令
v v v v v v 1v v 1 v v S = E × H，we = E ⋅ D， m = H ⋅ B，wf = we + wm，J = Jρ + Jσ w 2 2
对于各向异性媒质
设
r r r D = εE +ξH r r r B = ζ E + μH (4 − 16)
第四讲内容
Lorentz力 电荷系统的动量与能量 时域Poynting定理 频域Poynting定理 电磁场的动量流张量 电磁场的张力张量
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T
{}
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第四讲 电磁场的能量与动量
对于各向同性媒质
设 ε = ε ′ − jε ′′ , μ = μ ′ − j μ ′′ 则耗能为
1 v v∗ 1 1 1 ˆ − Re ∫ ( E × H ) ⋅ nds = ∫ σ E 2dv + 2ω ∫ ( ε ′′ E 2 + μ′′ H 2 )dv = Pl (4 − 12) 2 2 4 4 s v v
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从(4-5)和(4-6)可以看出，若
r dg p dw p > 0， > 0 dt dt
则表明电荷系统得到了动量和能量，而这些动量和能量只 能来自电磁场，所以根据动量守恒定律和能量守恒定律， 我们可以得到结论： 电磁场具有动量和能量
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−∫
s
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注意：频域Poyinting定理不是时域 Poynting 定 理Fourier变换而来，而是对应于一个周期内能 量的平均值。
令
v v v v v 1 v v∗ & = E × H , w = 1 H ∗ ⋅ B, w = 1 E ⋅ D∗ &m &e s 2 4 4
得到频域Poynting定理
v v v & = − 1 J ∗ ⋅ E − j 2ω ( w − w ) &m &e ∇⋅s (4 − 11) 2 r r r & ⋅ nds = 1 J * ⋅ Edv + j 2ω ( w − w ) dv = P + j 2ω (W − W ) s ˆ l m e ∫ ∫ &m &e 2v v
储能为
1 v v∗ 1 1 2 ˆ − Im ∫ ( E × H ) ⋅ nds = 2ω ∫ ( μ′H − ε ′E 2 )dv = 2ω(Wm − We ) 2 4 4 v (4 − 13)
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1 2 1 v v W p = mv = mv ⋅ v 2 2
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第四讲 电磁场的能量与动量
于是有
r v v v dW p v dG p v v v =v⋅ = v ⋅ ( qE + qv × B ) = qE ⋅ v dt dt
w 其中， e 和 w m 分别为电场能量密度和磁场能量密度 v v Jσ = σ E 为导电媒质中的传导电流 v 为外部电流源 Jρ
考虑到(4-6)，得
r v v ∂ wP + w f − σ E ⋅ E ∇⋅S = − ∂t
(
)
(4 − 8)
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式(4-9)表明，从闭合面s流入的功率等于s所包围的体积 v内总能量（电荷系统的能量和电磁场能量之和）在单 位时间内的增加量与v中的损耗功率之和。
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r r F = qE
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[Ampere定律]恒定电流元受到磁场作用力
r r r dF = J × Bdv 若电荷为连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体 积所受的力密度为 r r r r f = ρE + J × B (4 − 1)
(4 − 4)
v v 对于电荷密度为ρ，电流密度为 J ρ = ρ v 的连续分布
电荷系统，式(4-3)和(4-4)变为 r v v v dg p = ρ E + Jρ × B (4 − 5) dt dwρ v v = Jρ ⋅ E (4 − 6) dt r g p , w p 分别为动量密度和能量，即单位体积中的 式中， 动量和能量。
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4.1 Lorentz力
电磁场与带电物质之间有着密切的联系。Maxwell方 程反映了电荷和电流（运动的电荷）激发电磁场以及 电磁场内部的运动规律，但是，却不能反映电磁场如 何反作用于电荷系统。 Coulomb定律和Ampere定律反映了一定条件下场对 电荷系统的作用。 Coulomb定律：静止的电荷q受到静电场的作用力。
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（4-12）表明，进入封闭面s内的实功率（Poynting矢 量的时间平均值）等于s面所包围的体积内由传导电流 引起的热损耗与媒质中极化阻尼和磁化阻尼引起的损 耗功率之和。 （4-13）表明进入封闭面s内的虚功率与s面所包围的体 积内磁场储能与电场储能时间平均值之差成正比。
第四讲 电磁场的能量与动量
上式的积分形式为
−∫
s
v ∂ ˆ S ⋅ nds = ∂t
∫(
v
w P + w f dv + ∫ σ E dv
2 v
)
(4 − 9)
w 式中， p 为连续分布电荷系统的能量密度，w f 为电磁场的 v 能量密度，S 为电磁场的能流密度矢量(功率密度矢量)， v2 σ 称为Poynting矢量。 E 为欧姆损耗功率密度。
v v ⎧1 v v ∗⎫ & sdt = Re ⎨ E × H ⎬ = Re s ∫0 ⎩2 ⎭ 1 T ⎧1 v ∗ v⎫ % & w m = ∫ w m dt = Re ⎨ H ⋅ B ⎬ = Re { w m } 0 T ⎩4 ⎭ 1 T ⎧1 v v∗⎫ % & w e = ∫ w e dt = Re ⎨ E ⋅ D ⎬ = Re { w e } 0 T ⎩4 ⎭ v 1 % s= T
(
)
将Maxwell旋度方程代入，可得 r r v v v ∂B v v v ∂D ∇ ⋅( E × H ) = −H ⋅ − E⋅J − E⋅ ∂t ∂t
∂ε ∂u = = 0 ，则 设媒质非色散， ∂t ∂t
v v v v 1⎛ ∂ v v ∂ r v⎞ ∇ ⋅( E × H ) = −E ⋅ J − ⎜ H ⋅ B + E ⋅ D⎟ 2 ⎝ ∂t ∂t ⎠
Lorentz把上述结果推广为普遍情况下场对电荷系统的 作用力，因此上式称为Lorentz力密度公式。 把上式用于速度为v，电荷为q的带电粒子，则粒子所 受的电磁场作用力为 v v r v F = q ( E + v × B ) 称为Lorentz力公式 Lorentz假设这一公式适合任意运动的带电粒子。近代 物理学的实践证明了这一假说是正确的。
σ = σ ∗ = 0，ε = ε ∗，μ = μ∗
Im ( wm ) = 0， ( we ) = 0 Im (4 − 15)
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