微分几何_曲线的概念

t
0
ds , =|r(t)|>0,s是t的单调函数,s=s(t)的反函数存在t=t(s), dt x x( s) 代入r(t)有r=r(t)=r(t(s)) y y(s) z z (s)
• 例：圆柱螺线参数化为 r(t) (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其中三个常数 a > 0 , w 0 和 v 0 0 ．试求t=0计起到t的弧长 解：r(t) = (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) ，
对于光滑曲线 r r (t ) ，假设对于曲线 r r (t ) 上t t0 , 有 r (t0 ) 0 则这一点称为曲线的正常点。 r , (t ) 0 则 r (t ) 变成常向量，这 如果在一段曲线上 时曲线段缩成一点，所以一段曲线上 r , (t ) 0 的点 是孤立点。 曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。 性质 1、在正常点附近的点也是正常点
定义：如果一个开的直线段到三维欧氏空间内建立的 对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三 维欧氏空间中映射的像称为简单曲线。 （得到的曲线无自交点） 例1：开椭圆弧的向量参数表示是
(0<t<2 )来自百度文库
例2：圆柱螺线的向量参数表示是
r = {a cost, a sint, bt} (-<t<)
例
2.3曲线的切线和法面
Q 给出曲线上一点 P 点 ， 是 P 邻近一点，把线 PQ 绕 P 点旋转，使 Q 点沿曲线趋近于 P 点，若割线 PQ 趋近于一定的位置，则我们把割线 PQ 的极限位 置称为曲线在 P 点的切线，定点 P 称为切点。
r(t ) ，称 r, (t ) 对于曲线
为曲线在对应点 r(t ) 的切向量。
2 2
a v (t t0) ．
2 2 2
点 t0 0 ，s(t) □
a2 2 v 2 t ．
参数变换 定义：对于曲线 : r r (to ), 给出函数 t (u) 如果 , (u) 0 ，则称 t (u ) 为曲线 的一个参数 变换，在次变换下曲线 的方程为 r r[ (u)]. 命题1：参数变换曲线的正则性和正向不变。 证： , (u) 0 t增加则u增加,故正向不变
证：设
0
是正常点，则 r (t0 ) 0
x, (t0 ), x, (t0 ) y, (t0 ), z, (t0 )至少有一个不为零,不妨设x, (t0 ) 0,
则在小邻域内有 t t ( x) 结论。 也可能其它表示
，代入则得
若参数曲线 C: r r(t) a = const. , tR ，则 其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线； 此时所有的参数值对应于图形实体的同一 点．这是非正则曲线的极端例子． 例 圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为 r(t) (a cos (w t) , a sin (w t) , v t ) , tR ， 其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为 动点运动的圆周半径、角速率和向上速率．此时 r (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ， 说明该参数化使之成为正则曲线．
这是坐标表示的切线方程。
法面：经过切点，而垂直于切线的平面称为曲线的法面。 曲线的法面方程： 设曲线上一点 P ，对应的参数是 t 0 ，P 点向径是 r (t0 ) ( X , Y , Z ) 是法面上任一点的向径，则由 r (t0 ) r , (t0 ) 得到曲线的法面方程向量式为 [ r(t0 )] r , (t0 ) 0
证： r , (t0 ) 0 所以 , , , , , x (t0 ), x (t0 ) y (t0 ), z (t0 )至少有一个不为零,不妨设x (t0 ) 0,
r, (t ) 0, 由数分知识在某小邻域内 x (t ) 0,则有
,
y ( x) 2、在正常点附近曲线上的点可表示成 z ( x) , t t
映射的有关知识
给出两个集合 E 和 E , ，如果集合 E 中的每一 , , 个点（元素）x ，有 E 中的点 x 和它对应，则 , , 我们说给定了 E 到 E 的一个映射 f ，x 称为点 x , 的原像 x 的像， x 称为 对于任取集合 E 中的点 x1 和 x2 ，如果 x1 x2 时有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称映射 f 是一一的（或单的） 如果 f ( E ) E , ，我们就说 f 是从 E 到 E , 的 在上映射（或称满的）
（坐标表示的法面方程）
2.4曲线的弧长 自然参数 曲线的弧长 设 C: r r(t) , t(a, b) r r 考虑过点r(t0) 和 r(t0 t) 的割线 r （t0 t） （t0） r s 0 有| r | s |t | t ，t 0 当 tds 时

的坐标式参数方程。
注：曲线的坐标式和向量式参数方程是不唯一。
2.2光滑曲线
曲线的正常点
at b
x x(t ) 定义：如果曲线的参数表示式 y y (t ) z z (t )
或 r r (t ) a t b 中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这类曲线称 C 为 C k 类曲线。当 k 1 时，1 类曲线又称为光滑 曲线。
切线的坐标式的方程 设
r(t0 ) {x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )}, r (t0 ) {x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )},
, , , ,
则切线方程消去
得到
X x(t0 ) Y y(t0 ) Z z (t0 ) , , , , x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )
故 r(t) [a sin(t)] [a cos(t)] v t 为正则参数，且有
2 2 2
a v 0 ，
2 2 2
ds r(t) dt s(t) t0 r(u) du t0
t t
2
a v dt ，
2 2 2
a v du
§2 曲线的概念
曲线是微分几何的主要研究对象，面且其研究方法 也适用于曲面论，所以学好曲线论是非常重要的 本节主要内容为 2.1曲线的概念 2.2光滑曲线 曲线的正常点 2.3曲线的切线和法线 2.4曲线的弧长 自然参数
2.1曲线的概念
• 几种观点
1、把曲线看成是两个曲面的交线 2、把曲线看成是动点运动的轨迹 3、用映射观点来定义交线 为此先介绍映射的有关知识
r(t0) r(t0) [r(t0+t)r(t0)] r(t0+t)
dt
, =|r(t)|,t 0
而正则性保证 r (t) 0 ，
ds | r , (t ) | dt
s(t ) r (t ) dt
, t0
t
O
定义：对于正则曲线 : r r (t ), 称积分 s(t ) t r , (t ) dt 为曲线 从点 t o 到 t 的弧长。 自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定 的这就是弧长参数（自然参数）。 ds , , 1、弧长参数优越性 dt =|r(t)| 当s=t有 |r(t)|=1 , 2、 r r(t)的参数是自然参数的充要条件是 |r(s)|=1 3、弧长作参数是可以做到的。
曲线上一点的切线方程
曲线上一点 P 对应的参数是 t 0 ，P 点的向径 是 r (t0 ) ， { X , Y , Z } 是切线上任一点的向径， r (t0 ) || r , (t0 ) 则得 P 点的切线的向量式方 因为 r (t0 ) r , (t0 ) 程为 其中 为切线上的参数。 注：1、切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的。 2、正常点有唯一的切线 3、切向量与曲线的正向一致
dr dr dt , = =r(t) , (u ) 0 du dt du
故正则性不变
命题：曲线上两点间的弧长与参数的选取无关。 证：设 t (u) 为曲线 的一个参数变换且
u0 =u(t0 )
t ,
r=r(t)=r*(u)
t ,
dt s (t ) r (t ) dt r (t ) du t0 t0 du * u dr dt u dr | | du | | du s (u ) u0 dt du u0 du
例1和例2 分别是曲线的坐标式 参数方程和向量式参数方程
对于曲线：r = r(t)，t的增加方向 规定为曲线的正向.
定义：如果向量函数 r r (t ) 在区间 ( a, b) 上连续， 取坐标原点为 r (t ) 的始点，则其终点 r (t0 ) 所描述的图形 称为曲线 ，且称 r r (t ) {x(t ), y(t ), z(t )} 为曲线 的向量式参数方程， 称 x x(t ) y y (t ) z z (t ) 为曲线
若设
r(t0 ) {x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )}, r (t0 ) {x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )},
, , , ,
, , ,
则由上述法面方程的坐标式为
[ X x(t0 )]x (t0 ) [Y y(t0 )] y (t0 ) [Z z(t0 )]z (t0 ) 0