2014 年上海中学“创新素养培育项目”

x 120 n 2 ；
2
102 120 112 ； 不大于 120 的平方数有 11 个；
则有 11 个实数 x ，可以使得 120 x 为整数。
2014 年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷
城隍喵
【第 3 题】 如图，△ ABC 中， AB AC ，CD BF ， BD CE ，用含 A 的式子表示 EDF ，应为 EDF ________ 。
1007 2 1007 2 1007 1007 1008 1007 1007 1 2015 2015 2015 2015
因为
1007 1008 1007 1008 1007 1 1007 1008 1007 1008 1008 503 ， 504 ； 2015 2016 2 2 2015 2014 2
A F E
B
【分析与解】 ∵ AB AC ； ∴ B C ；
D
C
∵ A B C 180 ； ∴ A 2B 180 ；
180 A ； 2 在 △FBD 与 △DCE 中，
∴ B
BF CD B C BD CE
∴ △FBD ≌△DCE ； ∴ BFD CDE ； ∵ CDF B BFD ； 即 EDF CDE B BFD ； ∴ EDF B ； ∴ EDF
B
A
M N
C
D
【分析与解】
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城隍喵
12 22 3 有 2 1 1 1 6 个正因数；
则 12 有 6 2 12 个因数； 符合条件的整数 a 的个数为 12 2 6 个； 故选 C 。
（
）
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【第 10 题】 如图， D 、 E 分别为 △ ABC 的底边所在直线上的两点， DB EC ，过 A 作直线 l ，作 DM // BA 交 l 于 M ， 作 EN // CA 交 l 于 N 。设 △ ABM 面积为 S1 ， △ ACN 面积为 S 2 ，则
65 2 13 。 2 1
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城隍喵
【第 8 题】 若 n 为正整数，则使得关于 x 的不等式 【分析与解】
11 n 10 有唯一的整数解的 n 的最大值为 ________ 。 21 x n 19
11 n 10 21 x n 19 19 x n 21 n 10 11 9 x 10 10 n 11 1 nx 1 n 11 10 1 1 nnx n 11 10
2
这与 p1 p2 ≥ 0 矛盾；
2
故原假设不成立，即甲、乙两个方程中至少有一个有实根； 另一方面，令 p1 p2 0 ， q1 1 ， q2 1 ； 则甲方程没有实根，乙方程有实根； 故选 C 。
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【第 12 题】 设a
1 所以 503 a b 504 ； 2
所以最接近 a b 的整数为 504 ； 故选 B 。
三、解答题（本部分共两道题，其中前一题 18 分，后一题 20 分，共 38 分。要求写出必要的解题步骤。 ） 【第 13 题】 直角三角形 ABC 和直角三角形 ADC 有公共斜边 AC （ B 、 D 位于 AC 的两侧） ， M 、 N 分别是 AC 、 BD 中 点，且 M ， N 不重合。 ⑴线段 MN 与 BD 是否垂直？证明你的结论； ⑵若 BAC 30 ， CAD 45 ， AC 4 ，求 MN 的长。
1 1 1 b a ，则 ________ 。 a b ab a b
【分析与解】 ∵ ∴
1 1 1 ； a b ab ab ab ab ； a b ab b a 1 1 ； a b
1
b a 1 。 a b
【第 2 题】 有 ________ 个实数 x ，可以使得 120 x 为整数？ 【分析与解】 设 120 x n （ n 为自然数） ；
M A N
（
）
l
C D B
E
A. S1 S2
【分析与解】
S1 S2
D. S1 与 S2 的大小与过点 A 的直线位置有关
N
l
C D B
E
分别联结 AD ， AE ； ∵ DM // BA ， EN // CA ；
∴ S△ ABM S△ ABD ， S△ ACN S△ ACE ； ∵ DB EC ； ∴ S△ ABD S△ ACE ； ∴ S△ ABM S△ ACN ，即 S1 S2 ；故选 B 。
2 p 4q1 0 则 12 ； p2 4q2 0
B. 甲没有实根，乙也没有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
两式相加，得 p12 p2 2 4 q1 q2 0 ； ∵ p1 p2 2 q1 q2 ； ∴ p12 p2 2 2 p1 p2 0 ； 即 p1 p2 0 ；
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城隍喵
【第 7 题】 对于各数互不相等的正数数组 a1 , a2 , , an （ n 是不小于 2 的正整数） ， 如果在 i j 时有 ai a j ， 则称 ai 与 a j 是该数组的一个“逆序” 。例如数组 2, 4,3,1 中有逆序“ 2,1 ” ， “ 4,3 ” ， “ 4,1 ” ， “ 3,1 ” ，其逆序数为 4 。现若 各数互不相同的正整数组 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 的逆序数为 2 ，则 a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 的逆序数是 ________ 。 【分析与解】 对于各数互不相等的正数数组 a1 , a2 , , an （ n 是不小于 2 的正整数） ； 如果在 i j 时有 ai a j ，则称 ai 与 a j 是该数组的一个“逆序” ； 如果在 i j 时有 ai a j ，则称 ai 与 a j 是该数组的一个“顺序” ；
12 22 32 1007 2 12 22 32 1007 2 ， ， 则以下四个选项中最接近 a b 的整数为 （ b 1 3 5 2013 3 5 7 2015 A. 252 B. 504 C. 1007 D. 2013
）
【分析与解】
12 22 32 1007 2 12 22 32 1007 2 a b 2013 3 5 7 2015 1 3 5 12 02 22 12 32 22 1007 2 10062 1007 2 1 1 3 3 5 5 2013 2013 2015
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【第 11 题】 设 p1 ， p2 ， q1 ， q2 为实数，则 p1 p2 2 q1 q2 ，若方程 甲： x 2 p1 x q1 0 ，乙： x 2 p2 x q2 0 ，则 （ ）
A. 甲必有实根，乙也必有实根 C. 甲、乙至少有一个有实根 【分析与解】 一方面，假设甲、乙两个方程都没有实根；
∵原不等式有唯一整数解； ∴
1 1 n n≤2 ； 10 11 n ≤ 220
取 n 220 ； 20 220 x 22
220 x 21 ； x 199 ； 故 n 的最大值为 220 。
二、选择题（本部分共 4 小题，每题 10 分，共 40 分。 ） 【第 9 题】 已知 x 2 ax 12 能分解成两个整系数的一次因数的积，则符合条件的整数 a 的个数为 A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 【分析与解】
1 0 1 0 2 1 2 1 3 2 3 2
1 3 5

1007 1006 1007 1006
2013

1007 2 2015
1 1 1 1
20131 2 11007 个1
2014 年上海中学“创新素养培育项目” 数学测试卷
2014 年 4 月 6 日 姓名 _____________ 测试号码 _____________ 毕业学校 _____________
答案请写在答题纸上 本卷满分 150 分，时间为 60 分钟 一、填空题（本部分共 8 道题，每题 9 分，共 72 分。 ） 【第 1 题】 已知
1 1 1 1 4 2 m ； OB OA 1 m 3 m 3 3 2 2
∴m 2。 【第 5 题】 定圆 A 的半径为 72 ，动圆 B 的半径为 r ， r 72 且 r 是一个整数，动圆 B 保持内切于圆 A 且沿着圆 A 的圆 周滚动一圈，若动圆 B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则 r 共有 ________ 个可能的值？ 【分析与解】 若动圆 B 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点； 则 2 72 是 2r 的倍数； 72 是 r 的倍数， r 是 72 的约数；
1 1 2 ，则 m ________ 。 OB OA 3
3 x 2 mx m 2 0 ； 4
3 1 x m x m 0 ; 2 2 3 1 x m或x m； 2 2
∵ OB OA ； 3 3 1 1 ∴ OA m m ， OB m m ； 2 2 2 2 ∴
180 A 。 2
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【第 4 题】
3 在直角坐标系中，抛物线 y x 2 mx m 2 （ m 0 ）与 x 轴交于 A 、 B 两点，若 A 、 B 两点到原点的距离 4
分别为 OA 、 OB ，且满足 【分析与解】 令y0；
72 23 32 ， 72 有 3 1 2 1 12 和正因数；
∵ r 72 ； ∴ r 有 12 1 11 个可能的值。 【第 6 题】 学生若干人租游船若干只，如果每船坐 4 人，就余下 20 人；如果每船坐 8 人，那么就有一船不空也不满。 则学生共有 ________ 人？ 【分析与解】 设租游船 x 只； 由题意，得 8 x 1 4 x 20 8 x ； 解得 5 x 7 ； 正整数解为 x 6 ； 学生共有 4 6 20 44 人。
2 则顺序数与逆序数的和为 Cn 。
例如数组 2, 4,3,1 中， 有逆序“ 2,1 ” ， “ 4,3 ” ， “ 4,1 ” ， “ 3,1 ” ，其逆序数为 4 ； 有顺序“ 2, 4 ” ， “ 2,3 ” ，其顺序数为 2 ；
2 2 4 6 C4 。
现若各数互不相同的正整数组 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 的逆序数为 2 ； 则 a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 的逆序数是 C62 2