复数的四则运算PPT演示文稿
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i － 1
1 i 2009 3.（ ） 等于（ C ） 1 －i
A.2i C. i
B.－1+i D.1
1 i 2008 （ ） · i i, 选C. 1 －i
1 i 2 2 1 i 2009 因为 （ ） i － 1, 所以 （ ） 1 －i 1 －i
易错点：符号出错是较常见的错误.
解法1:由复数减法的几何意义知
AB OB OA.
所以 AB 对应复数为(4-2i)-(1+2i)=3-4i,|AB|=5;
AC 对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(1+2i0=-2-
1.5i,|AC|=2.5;
BC
对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(4-2i)=-
5+2.5i,| 31.25;BC|= 因为52+2.52=31.25，
2
4 － 3i 2 (2 i) (4 4i－ 1)(4 3i) i, 故a=0, 4 － 3i (4 － 3i)(4 3i)
b=1,a+b=1.
1.复数的代数运算的实质是转化为实数 运算 , 在转化时常用的知识有复数相等 , 复数 的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共 轭复数的性质. 2.复数的代数运算常考查的是一些特殊 复数(如i，1±i等)的运算，这就要求熟练掌 握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧 .
所以三角形ABC是以A为直角的直角三角形.
解法 2:z1,z2,z3分别对应向量 (1， 2)， (4， －2)，(－1，0 5), 所以 AB =(4,－2)－(1,2)=(3,－4);
AC=(－1,0.5)－(1,2)=(－2,－1.5); AB· AC =0,所以AB⊥AC.
把复数对应的几何问题,利用复 数与向量之间的一一对应关系把它转化为向 量问题,可以方便解决一些复数问题.
2 ∈ z1 2 z1R,z1 在 复
平面上的对应点在直线 y=x 上 , 求 |z1 － z2| 的 可以考虑把求|z1－z2|的取值范
围转化为求函数值域的问题.
因为 z12 2 z1∈R,z1对应点在直线y=x上,
又因为 z12 2 z1 =(x2-y2+2x)+(2xy-2y)i∈R, 所以
重点突破：复数的代数运算 例1 计算：
4 （2 2i） (Ⅰ ) ; 5 （－ 1 3i）
－ 2 3i 2 1996 (Ⅱ ) （ ） . 1 i 1 2 3i
要是利用复数的加、减、乘、
除的运算法则及其运算技巧来计算.
4 16 （ 1 i ） (Ⅰ) 原式 4 （ 1 3i ） （ 1 3i ） 2 16 （ 2i） 2 （- 2- 2 3i） （ 1- 3i） － 64 － 16 － 4 2 4 （ 1 3i） （－ 1 3i） 4 （ 1 3i） 1 3i
2xy－2y=0
x=y≠0
Hale Waihona Puke Baidu
,解得x=y=1.
2 2 所以z1=1+i，|z1-z2|= (1 －cos ) (1 －sin )
π 3 2 2 sin （ ） ， 4 π － 1, 因为sin(α+ )∈[-1,1],所以 | z1 z2 | [ 2 4 2 1].
灵活运用复数、复数的模及 复数的几何意义，能简化解题的过程.
变式练习2 已知复平面上点 A 、 B 、 C 分
别对应复数z1=1+2i,z2=4－2i,z3=－1+0.5i,
求证：三角形ABC是直角三角形.
可以分别求出 AB 、 BC 、 AC 的 长度,利用勾股定理的逆定理判断;或者将复数 问题转化为向量问题来解决.
(1 i) 4.复数 的模为 1 . － 1 3i 3 2 1 2 （－ ） 1， 因为 （ ） 所以复数 2 2 (1 i)2 2i 3 －i . 填1. 的模为 2 － 1 3i － 1 3i
2
5. (2 i) 表示a+bi(a,b∈R),则a+b= 1 .
上述求复数平方根的方法是通 用方法,但在求实数平方根时,有更为简便的 方法.正数a的平方根为± a ,0的平方根是0; 负数a的平方根是± － a i.
变式练习3 已知实系数方程2x2-bx+c=0
(b,c∈R)有一虚根－2+i,求b,c的值. 由 于 实 系 数 方 程 ax2+bx+c=0, 当 Δ=b2－4ac<0时,它有两个虚根两个虚根 x
－ 1 3i.
i（ 1 2 3i） 2 2 998 ［（ ） ］ (Ⅱ)原式 1 i 1 2 3i 2 998 i （ ） i i 998 i i 4249 2 i i 2 － 1 i. － 2i
复数的计算中，如遇到计算 ( a +b i) n 时 , 也可以应用二项展开式来解决 , 但 往往运算较为繁琐 , 所以应用 (1+i) 2 =2i,(1 － i)2=－2i等运算结果还是常用的解法.
重点突破：在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程(4+3i)z2=25i.
可以设z=x+yi(x、y∈R)，通过 复数相等的充要条件来解决.
25i 25i(4 － 3i) 由已知方程得 z 3 4i， 4 3i 25
2
x2－y2=3 设z=x+yi(x、y∈R).则 2xy=4， x=－2 x=2 ,所以z=±(2+i). 或 解得 y=－1 y=1
z － 1 1.已知复数z=i,则 等于（ B ） z1
A.－i
C.±i
B.i
D.±1
z － 1 i－ 1 (i－ 1)(i－ 1) = = =i, 选B. z +1 i+1 (i+1)(i－ 1)
2 （ 1+i） 2.复数 2 =（ C ） i
A.2 C.－2i
2
B.－2 D.2i
因为 (1 2 i) 2i －2i, 故选C.
4; 计算： ( Ⅰ )(3 － 2i) 变式练习1
(Ⅱ)（1+i）10
(Ⅰ)(3－ 2i)4=(5－ 12i)2=－119－120i;
(Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.
重点突破：复数的几何意义
例2 设复数z1=x+yi(x,y∈R,y≠0),
z2=cosα+isinα(α∈R), 且 取值范围.
1 i 2009 3.（ ） 等于（ C ） 1 －i
A.2i C. i
B.－1+i D.1
1 i 2008 （ ） · i i, 选C. 1 －i
1 i 2 2 1 i 2009 因为 （ ） i － 1, 所以 （ ） 1 －i 1 －i
易错点：符号出错是较常见的错误.
解法1:由复数减法的几何意义知
AB OB OA.
所以 AB 对应复数为(4-2i)-(1+2i)=3-4i,|AB|=5;
AC 对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(1+2i0=-2-
1.5i,|AC|=2.5;
BC
对 应 复 数 为 (-1+0.5i)-(4-2i)=-
5+2.5i,| 31.25;BC|= 因为52+2.52=31.25，
2
4 － 3i 2 (2 i) (4 4i－ 1)(4 3i) i, 故a=0, 4 － 3i (4 － 3i)(4 3i)
b=1,a+b=1.
1.复数的代数运算的实质是转化为实数 运算 , 在转化时常用的知识有复数相等 , 复数 的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共 轭复数的性质. 2.复数的代数运算常考查的是一些特殊 复数(如i，1±i等)的运算，这就要求熟练掌 握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧 .
所以三角形ABC是以A为直角的直角三角形.
解法 2:z1,z2,z3分别对应向量 (1， 2)， (4， －2)，(－1，0 5), 所以 AB =(4,－2)－(1,2)=(3,－4);
AC=(－1,0.5)－(1,2)=(－2,－1.5); AB· AC =0,所以AB⊥AC.
把复数对应的几何问题,利用复 数与向量之间的一一对应关系把它转化为向 量问题,可以方便解决一些复数问题.
2 ∈ z1 2 z1R,z1 在 复
平面上的对应点在直线 y=x 上 , 求 |z1 － z2| 的 可以考虑把求|z1－z2|的取值范
围转化为求函数值域的问题.
因为 z12 2 z1∈R,z1对应点在直线y=x上,
又因为 z12 2 z1 =(x2-y2+2x)+(2xy-2y)i∈R, 所以
重点突破：复数的代数运算 例1 计算：
4 （2 2i） (Ⅰ ) ; 5 （－ 1 3i）
－ 2 3i 2 1996 (Ⅱ ) （ ） . 1 i 1 2 3i
要是利用复数的加、减、乘、
除的运算法则及其运算技巧来计算.
4 16 （ 1 i ） (Ⅰ) 原式 4 （ 1 3i ） （ 1 3i ） 2 16 （ 2i） 2 （- 2- 2 3i） （ 1- 3i） － 64 － 16 － 4 2 4 （ 1 3i） （－ 1 3i） 4 （ 1 3i） 1 3i
2xy－2y=0
x=y≠0
Hale Waihona Puke Baidu
,解得x=y=1.
2 2 所以z1=1+i，|z1-z2|= (1 －cos ) (1 －sin )
π 3 2 2 sin （ ） ， 4 π － 1, 因为sin(α+ )∈[-1,1],所以 | z1 z2 | [ 2 4 2 1].
灵活运用复数、复数的模及 复数的几何意义，能简化解题的过程.
变式练习2 已知复平面上点 A 、 B 、 C 分
别对应复数z1=1+2i,z2=4－2i,z3=－1+0.5i,
求证：三角形ABC是直角三角形.
可以分别求出 AB 、 BC 、 AC 的 长度,利用勾股定理的逆定理判断;或者将复数 问题转化为向量问题来解决.
(1 i) 4.复数 的模为 1 . － 1 3i 3 2 1 2 （－ ） 1， 因为 （ ） 所以复数 2 2 (1 i)2 2i 3 －i . 填1. 的模为 2 － 1 3i － 1 3i
2
5. (2 i) 表示a+bi(a,b∈R),则a+b= 1 .
上述求复数平方根的方法是通 用方法,但在求实数平方根时,有更为简便的 方法.正数a的平方根为± a ,0的平方根是0; 负数a的平方根是± － a i.
变式练习3 已知实系数方程2x2-bx+c=0
(b,c∈R)有一虚根－2+i,求b,c的值. 由 于 实 系 数 方 程 ax2+bx+c=0, 当 Δ=b2－4ac<0时,它有两个虚根两个虚根 x
－ 1 3i.
i（ 1 2 3i） 2 2 998 ［（ ） ］ (Ⅱ)原式 1 i 1 2 3i 2 998 i （ ） i i 998 i i 4249 2 i i 2 － 1 i. － 2i
复数的计算中，如遇到计算 ( a +b i) n 时 , 也可以应用二项展开式来解决 , 但 往往运算较为繁琐 , 所以应用 (1+i) 2 =2i,(1 － i)2=－2i等运算结果还是常用的解法.
重点突破：在复数范围内解方程
例3 在复数范围内解方程(4+3i)z2=25i.
可以设z=x+yi(x、y∈R)，通过 复数相等的充要条件来解决.
25i 25i(4 － 3i) 由已知方程得 z 3 4i， 4 3i 25
2
x2－y2=3 设z=x+yi(x、y∈R).则 2xy=4， x=－2 x=2 ,所以z=±(2+i). 或 解得 y=－1 y=1
z － 1 1.已知复数z=i,则 等于（ B ） z1
A.－i
C.±i
B.i
D.±1
z － 1 i－ 1 (i－ 1)(i－ 1) = = =i, 选B. z +1 i+1 (i+1)(i－ 1)
2 （ 1+i） 2.复数 2 =（ C ） i
A.2 C.－2i
2
B.－2 D.2i
因为 (1 2 i) 2i －2i, 故选C.
4; 计算： ( Ⅰ )(3 － 2i) 变式练习1
(Ⅱ)（1+i）10
(Ⅰ)(3－ 2i)4=(5－ 12i)2=－119－120i;
(Ⅱ)(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i)5=32i.
重点突破：复数的几何意义
例2 设复数z1=x+yi(x,y∈R,y≠0),
z2=cosα+isinα(α∈R), 且 取值范围.