系统工程计算题.pptx

1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
矩阵A1描述了各节点间经过长度不大于1的通路后的 可达程度。设矩阵A2=(A+I)2，即将A1平方，并用布尔代
要素 1 2 3 4 5 6 7 R （ni ） 1 1，2 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 1，2，7
先行集合(Ahead)
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
S1 S2 S3
要素 1 2 3 4 5 A（ n i ） 1，2，7 2 ，7 3 3，4，6 3，4，5，6
R= S4
1、建立邻接矩阵
邻接矩阵是图的基本的矩阵表示，它用来描述 图中节点两两之间的关系。邻接矩阵A的元素 aij可定义为：
1 Si RS j aij 0 Si RS j
R表示Si与S j有关系 R表示Si与S j没有关系
Si与Sj有关系表明从Si到Sj有长度为1的通路， Si 可直接到达Sj
• 解 令状态变量为x1(t)年交货设备的全部价值， x2(t)状态 变量为第t年电缆的全部价值。y(t)第t年公司的总价值。 由所给条件，可得状态方程为
交换设备
x1(t+1)=
传输电缆 x2(t+1)=
0.75u(t)
+ 0.8x1(t)
+ 0.15x2(t)
0.25u(t)
+ x2(t)
第t年公司的总价值为
状态方程 输出方程
状态空间模型例题
• 例： 某电话公司第t年增加 u(t)百万元的新资金， 0.75u(t)用于安装交换设备，0.25 u(t)用于装设新的传 输电缆，以增加长途通讯服务。每年对每1元的交换设 备的价值，公司要损失20分，对每1元价值的电缆，公 司要收益15分。收益将用于下一年购买更多的交换设备。 试计算公司在第t年的总价值。
集合
A(Si)—先行集 T(Si)—共同集
合 合
T(Si)= R(Si) 1
1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7
1 2 3 4,6 5 4,6 7
√
L1={S1,S5}
5
√
Si 2 3 4 6 7
R(Si)—可达
1 2 3 4
1 2 3 4，6 5
3，4，5，6 4 ，5 ， 6 5
1 2 3 4 5 6 7
5
6
7
4，5，6
1 ，2 ， 7
3，4，6
7
4，6
7
T = {3,7}
Step 3、划分
（1）区域分解
要素 1 2 3 4 5 6 7
R(ni) 1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
表示高度，用x2(t)表示速度，则x1(t)、 x2(t)就是描述飞 机飞行状态的状态变量。
系统状态方程 连续系统系统方程
X (t ) f ( X (t ), u (t ), t ) Y (t ) g ( X (t ), u (t ), t )
离散系统系统方程

状态方程 输出方程
X (t 1) AX (t ) Bu (t ) Y (t ) CX (t ) Du (t )
y(t)= x1(t) +x2(t)
课堂练习： 2010年A国的人口数为1亿人，其中A1城市的人 口为1千万。A1城市每年有上一年人口的4%迁出到该 国其它城市，其它城市上一年人口的2%迁入A1城市。 每年的人口自然增长率为1%，建立A国和A1城市人口 数量状态空间模型。 解：设第t年A1城市的人口数为： x1 (t ) 第t年A国除A1城市之外的人口总数为： x2 (t )
本例中，A2继续运算，得到矩阵A3
1 1 1 A2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
，
1 1 1 3 A3 =（A+ I） 1 1 1
n3 0 0 0 0 0 0
n7 0 0 0 0 0 0
利用上述信息，可以得出
该系统的分级递阶结构模
型：
L1 L2
1
5
2
7
4
3
6
L3
至此，系统的结构模型即告建成。
4.建立状态空间模型（数学模型）
• 状态空间模型是以系统的状态作为变量，并以
此来描述动态系统行为的一种数学模型。 • 两类系统及其相应状态空间系统方程
S 举例 下面有向连接图的邻接矩阵为：
1
S2
S3
S5
S6
S1 A aij S2 S3 S4 S5 S6
66
S1 0 0 1 0 1 1
S 2 S3 S 4 S5 S 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
可知：
A3 A2 可达矩阵
R A2
3.建立系统解释模型
例：现有由7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求 出邻接矩阵和可达矩阵。
6 7 3 4 2 5 1
– 离散系统
– 连续系统
状态空间模型（数学模型）
状态：表示系统运行的特征属性的量。系统的
状态随时间变化的。
状态变量：指状态中的每个变量，即能够完整 的确定系统状态所必须的一组最少的变量。是系 统状态的一种数学描述。
例如：在飞机飞行时，可用飞机所在的位置高度和飞行的
速度两个属性表示飞行的情况。我们分别用数学符号x1(t)
S4
2、建立可达矩阵
0 0 1 A1 A I 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
6 7 3 4 2 5 1
Step2、建立可达矩阵
经过至多(n-1)演算后能得到可达矩阵。
由于
A I A I 2 A I 3 2 M A I
1 1 0 M 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1
注：越级二元关系可去掉。
n1 1 n 5 0 n 2 1 n 4 0
n1 n 5 n 2 n 4 n 3 n 7
n1 n5 n2 n4 n3 n7
n1 n 5 n 2 n 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
矩阵A2描述了各节点间经过长度不大于2的通路 后的可达程度。 通过依次运算后可得
A1 A2
则
Ar 1 Ar , r n 1
r 1
式中，n—矩阵阶数
Hale Waihona Puke Baidu
Ar 1 ( A I )
R
矩阵R 称为可达矩阵，它表明各节点间经过长 度不大于（n-1）的通路后的可达程度。对于节点 数为n 的图，最长的通路其长度不超过（n-1）。
Step3、划分
可达集合(Reach)：
n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
n1 n2 n3 R= n4 n5 n6 n7
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S5 S6 S7
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
6
7
3，4，6
7
共同集合
要素
集合
A(Si)—先行集 T(Si)—共同集
合 合
T(Si)= R(Si) 2
2 3,4,6 4,6 4,6 2,7
2,7 3 3,4,6 3,4,6 7
2 3 4,6 4,6 7
√ √ √
L2={S2,S4,S6}
4 6
Si
3 7
R(Si)—可达
集合
A(Si)—先行集 T(Si)—共同集
合 合
T(Si)= R(Si)
则有
x1 (t 1) (1 1%)[(1 4%) x1 (t ) 2% x2 (t )]
x2 (t 1) (1 1%)[4% x1 (t ) (1 2%) x2 (t )]
L1 L2 L3
选择n4为代表，则可得经过排序的缩减可达 矩阵：
Step 4、求缩减可达矩阵
n1 n 5 n 2 n 4 n 6 n 3 n 7
n1 1 n 5 0 n 2 1 n 4 0 n 6 0 n3 0 n7 1
0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 2 3 4 5 6 7
要素
R （ni ） 1 1，2 3，4，5，6 4，5，6 5 4，5，6 1，2，7 A（ n i ） 1，2，7 2，7 3 3，4，6 3，4，5，6 3，4，6 7
要 素
R （ni ） 1
1，2
A（ n i ） 1，2，7 2，7 3 3，4，6 3，4，5，6
R（ni）∩A（ni）
A(ni) 1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7
R(ni) ∩A(ni) 1 2 3 4,6 5 4,6 7
T={3,7}且R(3)∩R(7)=Ф,则系统可分为两个连通域 ：{1,2,7}，{3,4,5,6}。
Step 3、划分
（2）级间分解 Si 1 2 3 4 5 6 7 R(Si)—可达
n1 n 5 n 2 n 4 n 3 n 7
n1 1 n 5 0 n 2 1 n 4 0 n3 n7
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0
0 1
0 0 0 0 0 1
Step 5.做出梯阶有向图
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 n 3 0 1 0 1 1 0 n 7 1 0 1 0 0 1
Step 1、建立邻接矩阵
可得到关联矩阵A
0 1 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
数运算规则进行运算后，可得矩阵A2
布尔代数运算规则： 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1， 0ⅹ1=0，0ⅹ0=0，1ⅹ0=0，1ⅹ1=1
1 1 1 A2 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
3 7
3 7
3 7
3 7
√ √
L3={S3,S7}
得新的可达矩阵M0
n1 1 n 5 0 n 2 1 n 4 0 n 6 0 n 3 0 n7 1
n1 n 5 n 2 n 4 n 6 n 3 n 7
0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1