中考数学复习一次方程(组)及其应用

3
∵ 44 不是偶数,∴这三个连续偶数不存在.
3
随堂巩固检测
1.下列式子:①9x+2;② 1 =2;③(1-x)(1+x)=3;④ 1x- 1x= 1 (x-3).其中,一元一次方
x
35 2
程共有 ( A )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.方程1x- x 1=1,去分母后,正确的结果是 ( B )
1
把x=2代入②,得y= 2 .
x 2,
∴方程组的解是

y

1. 2
(2)
2x 6x

y 2 0,① 3y 4 2y 5
12,
由①得2x-y=2,③
②Байду номын сангаас
将③代入②,得 3 2 4 +2y=12,
5
解得y=5.
把y=5代入③,得x=3.5.
∴原方程组的解为
变式训练2 (2018沧州模拟)解下列方程组:
4x 8y 12,
(1)3x 2 y 5;
2x y 2 0,
(2)

6x

3y 5

4

2
y

12.
答案
(1)
4x 3x

8y 2y

152.②, ① 由②得2y=3x-5,③
把③代入①,得4x+4(3x-5)=12,解得x=2.
cc
考点二 一元一次方程的概念及其解法
1.方程:含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解:使方程左右两边相等的③ 未知数 的值叫做方程的解.
3.解方程:求方程解的过程叫做解方程.
4.一元一次方程:方程仅含有④ 一 个未知数,并且所含未知数的项的次数
是⑤ 1 ,这样的方程叫做一元一次方程,一元一次方程的一般形式:
3.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有⑨ 另一个 未知数 的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次 方程组为一元一次方程,这种解二元一次方程组的方法称为代入消元法. (2)加减消元法:通过方程两边分别⑩ 相加(减) 消去一个未知数,这种解二 元一次方程组的方法称为加减消元法.
考点四 一次方程(组)的应用
1.列方程(组)解应用题的一般步骤:(1)审题,寻找题目中的等量关系;(2)设未知 数;(3)根据所设的未知数与等量关系列出方程(组);(4)解方程(组);(5)检验并 写出答案.
2.常见的几种等量关系
常见问题 销售利 润问题 储蓄利 息问题
工程问题 浓度问题
行程问题
中考题型突破
题型一 考查一元一次方程的相关概念及解法
该题型主要考查一元一次方程的概念、一元一次方程的解与一元一次方程 的解法,题型多以选择题、填空题、解答题的形式出现,以考查基础知识为 主.
典例1 (2018沧州模拟)某同学在解方程 2x 1= x a -1进行去分母变形时,方
32
程右边的-1忘记乘6,因而求得的解为x=-2,请你求出a的值,并求出方程的正确
8
易错二 利用去分母解一元一次方程时忽略分数线的括号作用
典例2 (2017河北模拟)解方程: x 2 =1- x 5.
2
3
易错警示 本题在去分母时容易出现符号方面的错误,其原因是忽略了分数
线的括号作用,因此当分数前面是“-”且分子是多项式时,一定要提高警惕.
解析 去分母,得3(x+2)=6-2(x-5), 去括号,得3x+6=6-2x+10, 移项、合并同类项,得5x=10, 系数化为1,得x=2.
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答案 (1)去括号,得10-4x-12=2x-2, 移项、合并同类项,得-6x=0, 系数化为1,得x=0. (2)去分母,得2(2x-5)+3(3-x)=12, 去括号,得4x-10+9-3x=12, 移项、合并同类项,得x=13.
题型二 考查二元一次方程组的解法
该题型主要考查二元一次方程组的解法,主要内容有:判断某组数是不是二元 一次方程组的解,解二元一次方程组,根据二元一次方程组的解求某个字母的 值等.在解二元一次方程组时,注意灵活选用适当的解法.
重要的关系式
利润=售价- 成本 ; 销售总利润=每件利润×销售数量
利息=本金×利率×期数; 本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数); 贷款利息=贷款额×利率×期数
工作量=工作效率× 工作时间
浓度=
溶质的质量(体积) 溶液的质量(体积)
×100%;
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
(1)相遇问题:(甲乙相向而行直至相遇):全路程=甲走的路程
易错三 不能根据实际问题的意义对解方程所得的根进行正确的取舍
典例3 小聪说,某三个连续偶数的和是50.你认为小聪说得正确吗?如果正 确,请你求出这三个连续偶数;如果不正确,请说明理由.
易错警示 如果设最小的偶数为x,因为列出方程并求解时所得的解为正数, 容易误认为小聪的说法正确,其原因是忽略了“偶数”这个限制条件. 解析 不正确.理由:设三个连续偶数分别为x,x+2,x+4. 根据题意,得x+x+2+x+4=50, 解方程,得x= 44 .
课题5 一次方程(组)及其应用
基础知识梳理 考点一 考点二 考点三 考点四
等式的基本性质 一元一次方程的概念及其解法
二元一次方程组的概念及其解法 一次方程(组)的应用
中考题型突破
题型一 法
题型二
考查一元一次方程的相关概念及解 考查二元一次方程组的解法
题型三 考查一次方程(组)的应用
易混易错突破
移项、合并同类项,得x=-7.
名师点拨 本题的解题技巧是“将错就错”,即:利用错解在错误的方程中求 得a的值,由此得到正确的方程,而达到这一点,必须深刻理解方程的解的概念.
变式训练1 (2017石家庄藁城模拟)解下列方程:
(1)10-4(x+3)=2(x-1); (2) 2x 5+ 3 x =1.
根据题意,得
x x

y 55, 1.5y 5.
解这个方程组,得
x

y

35, 20.
答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人.
名师点拨 列方程(组)解决实际问题的关键是能列出符合题意的方程(组),而 列出方程(组)的关键是寻找题目中的等量关系,为此需要认真审题,从题目中 的关键性词语或字里行间挖掘出解题所必需的正确信息.同时注意,某些实际 问题既可以列一元一次方程求解,也可以列二元一次方程组求解,但解题的繁 简程度可能会有所不同,因此,当题目中没有明确要求时,可根据个人的解题 习惯,采用比较方便的方法求解.
基础知识梳理
考点一 等式的基本性质
1.等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的结果仍是等式. 字母表示:如果a=b,那么a±① c =b±c.
2.等式两边同时乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.字母 表示:如果a=b,那么a·c=b·② c 或a =b (c≠0).
分值 9 10 9 10
考查方式 以解答题的形式,与探求数字的变化规律相结合,考查一元一次方 程的解法及应用
以解答题的形式,以求直线与坐标轴的交点为问题情境,考查一元 一次方程的解法
以解答题的形式,以求多边形的内角和的知识为载体,考查一元一 次方程的解法
以解答题的形式,以函数知识为载体,考查二元一次方程组的解法
2017
26
2016
24
12
以解答题的形式,以待定系数法确定一次函数表达式为问题情境,
考查二元一次方程组的解法
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以求一次函数表达式的知识为载体,考查二元一次方程组的解法
备考策略:纵观我省近几年的中考试题,一次方程(组)及其解法是必考内容,但单独考查的题目较少,常与线段或角的计算、函数、不等式等知识 相结合进行综合考查,考查的内容以基础题为主.预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有较大的变化.
+ 乙走的路程
(2)相离问题:(甲乙同地出发背向而行)相离路程=甲走的路程
+ 乙走的路程
(3)追及问题:
(i)同地同向不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;
(ii)同时不同地出发:前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
(4)水中航行问题:
(i)顺水速度=静水速度+ 水速 ;
(ii)逆水速度=静水速度- 水速
⑥a
x=b(a≠0) . 5.解一元一次方程的一般步骤
去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1.
考点三 二元一次方程组的概念及其解法
1.二元一次方程:含有⑦ 两 个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑧ 1 的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程组:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方 程组叫做二元一次方程组.
∴方程组的解为

x y

1, 1.
(2)原方程组整理,得x x5
y 7
y
36, ① 0,②
①+②,得12y=36,解得y=3.
把y=3代入②,得-x+7×3=0,解得x=21.
∴原方程组的解为

x y

21, 3.
名师点拨 在解二元一次方程组时,要注意根据具体的题目特点灵活选用代 入消元法或加减消元法,一般来说,当其中一个未知数能比较方便地用另一个 未知数表示时,采用代入消元法;当各方程中同一个未知数的系数的绝对值相 等或成整数倍时,采用加减消元法.
变式训练3 (2017唐山滦南四模)某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每 张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,那么甲、乙两种票各买了多少张?
答案 设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张. 由题意,得24x+18(35-x)=750. 解得x=20. ∴35-x=15. 答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.
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A.2x-3(x-1)=1 B.2x-3(x-1)=6
C.2x-3x-3=6
D.2x+3x-3=6
3.方程2x+3=7的解是 ( D )
A.x=5
B.x=4
C.x=3.5 D.x=2
4.二元一次方程2x+y=9的正整数解有 ( D ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
5.(2018安徽长丰三模)我国古代名著《九章算术》中有一个问题,原文:“今
易错一 利用去分母解一元一次方程时出现 漏乘的错误 易错二 利用去分母解一元一次方程时忽略 分数线的括号作用
易错三 不能根据实际问题的意义对解方程所
得的根进行正确的取舍
河北考情探究
考点
年份
1.一元一次方程及其解法 2018
2017
2016 2.二元一次方程组及其解法 2018
题号 22 24 22 24
答案 解法一:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,则女生人数 为(55-x)人. 根据题意,得x=1.5(55-x)+5, 解这个方程,得x=35.
55-x=55-35=20. 答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人. 解法二:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人.
易混易错突破
易错一 利用去分母解一元一次方程时出现漏乘的错误
典例1 (2017秦皇岛模拟)解方程: 5x 1- 2x 1=1.
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易错警示 本题容易出现的错误是在方程的两边同乘6时,漏乘常数项,其原 因是对等式的性质理解不清,特别是在常数项为1的题目中,这种错误出现的 机率更大.
解析 去分母,得2×(5x+1)-(2x-1)=6, 去括号,得10x+2-2x+1=6, 移项、合并同类项,得8x=3, 系数化为1,得x= 3.

x y

3.5, 5.
题型三 考查一次方程(组)的应用
该题型主要考查利用一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题,或根据 实际问题列一元一次方程,根据实际问题列二元一次方程组等.
典例3 (2018永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班 上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内 容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
解. 答案 根据题意,右边的-1忘记乘6所得的方程为:2(2x-1)=3(x+a)-1,
把x=-2代入方程,得2×(-4-1)=3(-2+a)-1,
解得a=-1.
当a=-1时,原方程可化为: 2x 1= x 1-1,
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去分母,得2(2x-1)=3(x-1)-6,
去括号,得4x-2=3x-3-6,
典例2 (2017石家庄长安模拟)解下列方程组:
3x 4 y 7,①
(1)5x y 4;②

(2)
x
2
y

x
3
y

6,
3(x y) 4(x y).
答案 (1)由②得y=5x-4,③ 把③代入①,得3x+4(5x-4)=7, 解得x=1. 把x=1代入③,得y=1.