09教案-初三数学-几何中相似三角形存在性问题

教师姓名学生姓名年级初三上课时间

学科数学课题名称几何综合题中相似三角形存在性问题

待提升的知

识点/题型

Ⅰ专题概论

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

Ⅱ专题精析

（一）典例分析、学一学

例1-1（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝90°，AD //BC （如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．

（1）设BE ＝x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；

（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．

图1 备用图

我们先来解读第1题的第（3）题，学习相似三角形的存在性问题：

第一步，把两个三角形涂上颜色或者画上阴影(如图6)，寻找分类标准与分类方法． 一般来讲，不论用相似三角形的判定定理1，还是判定定理2，至少有一组角是相等的． 我们可以看到，∠ADN 的大小是确定不动的，∠AND 是钝角，∠ADN ＝∠DBE >∠MBE ，因此按照与∠AND 相等，分两种情况①∠ADN ＝∠BME ；②∠ADN ＝∠BEM ．

第二步，拿起三角尺，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图7，图8），把相等的角都标记出来．

第三步，具体情况具体分析．

① 如图7，当∠ADN ＝∠BME 时， 经过等量代换，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE 与△BME 就是我们熟悉的相似三角形的典型图“A 字形”，那么221

2

EB EM ED ED =⋅=，这样问题就转化为如何用含有x 的式子表示ED 的长．

已知直角梯形的两底和直腰，你说怎样求斜腰ED 呢？

②如图8，当∠ADN ＝∠BEM 时，经过等量代换，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8．

图6 图7 图8

还需要提醒的是，备用图暗示要分类讨论，合理利用试卷和答题纸上的备用图，不要急于乱画，先分好类，再反复比划，后落笔．图7不可能画准确，但是要接近，这样好观察图形间的关系．

示范一下书写，注意用标志性的语句引领书写的层次性和阅卷老师的眼球． （2）①当∠ADN ＝∠BME 时，∠DBE ＝∠BME ，这时△DBE ∽△BME ． ∴2212EB EM ED ED =⋅=

． ∴222

12(4)2x x ⎡⎤=+-⎣

⎦． ∴122,10x x ==-（舍去负值）．

②当∠ADN ＝∠BEM 时，∠DBE ＝∠BEM ，这时△DBE 是等腰三角形，BC ＝2AD ＝8． 综上所述，当△ADN 与△BME 相似时，BE 的长为2或8．

例1-2如图2，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，c os A ＝3

10

．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．

(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；

(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．

图2 备用图 备用图

我们再来解读第2题的第（3）题， 求等腰三角形DEF 的存在性． 由第（1）、（3）题知，在△BDG 中，645,,cos 55

BD x DG x BDG =-=∠=． 第一步，寻找分类标准与分类方法．

我们可以看到，△ABC 是确定的，那么AB ＝5，AC ＝3，c os A ＝

3

10

暗示了什么？

△ABC是等腰三角形．由于DE//BC，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF与△ADE、△ABC是相似的等腰三角形．

因此我们按照DE为腰或者底边两种情况进行分类讨论．

第二步，拿起尺、规，按照分类情况反复比划，画两个比较准确的示意图（如图9或图10，图11），把相等的角、边都标记出来．

第三步，具体情况具体分析．

①当DE为等腰三角形DEF的腰时，不论你画的是图9还是图10，你都可以感受到DE是△ABC的中位线．

在图10中，很容易知道BF＝DE＝2.5．

在图9中，你能否敏锐地观察到△DBF与△EFC也是等腰三角形，并且△ABC∽△FEC，根据对应边成比例，这样你就可以计算出FC的长了,从而得到BF＝4.1．

如果你比划出图9而反应不出图10，或者你比划出图10而反应不出图9，那说明你的思想还不成熟：

当DE为等腰三角形DEF的腰时，顶角的顶点是D还是E?

这是本题的二级（二次）分类．

②当DE为等腰三角形DEF的底边时，如图11，四边形DECF是平行四边形，此时

5

3 BF

DF

=,

解得

125

34

BF=．

B C

A

B C

A

C

A

D D

D

B

E

E

E

F F F

图9 图10 图11