函数系数部分线性模型的B样条估计
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记
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ｐ ） ） 有着不同的 白变量 ， 这给模 型的估计增加 了难度。张 日权【 鲒 合 回切 技术 ， 采用两阶段局部线性 方法 ， 给出 了估计 的相合 Ｉ 生和渐近正态性 ， 该方法 对于窗宽 的选 取非常敏感 ， 如果 窗宽选择太大则会 引起 较大 的估 计 偏差， 反之则会 引起较大的估计方差。 张 日 ４ １ 在强相 依数据下给出了估计的渐近正态 牲。到 目前 为止 ， 仍然
Ｆ ｅ ｂ ２ ０ｌ ３
文章 编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０Ｉ 一 ０ ０ ０ １ — ０ ２
函数 系数部分线性模 型 的 Ｂ样 条估计
冯 井艳 ，熊嫔 华
（ １ ． 山西 大 同大学数 学 与计 算机科 学学 院 ，山西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ； ２ ． 华 东师 范大 学金 融与 统计 学 院 ， 上海 ２ ０ ０ ２ ４ １ ）
．
ｐ ） 是常数 ， 它就变成了部分线性模型【 ；当 ， ）
＝０时 它就 变成 了变 系数 模 型ｌ ３ ｌ 。 在 函数 系数部分线性模 型中 ， ・ ） 和 ・ ） ， （ １ ≤
、 ２ ． １ （ 一 ； ＾ ０ （ ＋ Ｚ ｉ ｌ 卢 ＾ － （ “ ） ＋ …＋ ｚ Ｏ ， Ｌ 一 （ ｕ ） ） ） ＝
模型的估计是有效的。
关键 词： 函数 系数部分线性模 型 ； Ｂ样条 ；渐近正 态性
中图 分 类 号 ： ０ ２ ０ １ ． ７ 文献标识码： Ａ
张 日权 … 提 出了 函数系 数部 分线性 模 型 ：
Ｐ
究显示 ， 这些估计方法是较为理想的。
Ｙ ＝ ） ＋ ∑ （ ） ＋ ｉ ＝ ｌ ， …， ， （ １ ） １ Ｂ样条估计
』 ＝Ｉ
其中 Ｙ ∈ Ｒ是响应变量 ， ∈Ｒ， ∈Ｒ， ＝ ，
…
１ ． １ 函数 系数 部分 线 性模 型的 估计 设 ＝ ，… ， Ｚ ） ， ａ ＜ ｚ Ｉ ＜ … ＜ ６为 区 间【 ａ ，ｂ 】 上 的节点 ， ７ ｒ （ ） ＝（ 仃ｌ （ ） ，… ，７ ｒ ￣ （ ） ） ， Ｎ ＝ｍ ＋ｋ＋１ ，
． ．
些未 知 可测 函数 ； ／ ３ ｏ （ ・ ） 称 为 常数项 函数 ，０ 臼 Ｉ （ ・ ） ，
称 为 系数 函数 。 函数 系数 部分 线性 模 型是 一个广 泛 的模 型 。 当 （ ・ ） ＝ｏ （ １ ｐ ） 时， 它 就变 成 了一般 的 ｐ ） 时 ，其 中 （ １ 非 参 数 模 型 ；当 （ ・ ） ＝， Ｓ ｊ （ １
ａ＝（ ％ Ｔ ， ｎ ， Ｄ＝
Ｄ， ） ，
ｆ 竹 Ｉ ） １
１ Ｔ Ｍ １ ）… Ｚ Ｉ ／ ， ＂ ｆ Ｔ （ ／ ／ ， １ ） ｌ
Ｄ ｏ ＝ Ｉ ｌ ｉ Ｊ Ｉ ， Ｄ ． ＝ Ｊ； Ｉ ！ “ ｒ １ ） … Ｔ ， ） Ｊ
基金项 目： 山西大同大学科研项 ｔ ｑ ［ ２ ０ １ ０ Ｋ ４ ］ ；国家 自然科学基金项 目【 １ １ １ ７ １ ｌ ２ ］ ；国家统计局重点科研项 ／ ￣ ［ ２ ０ Ｉ Ｌ Ｚ ０ ５ １ ］
，
） 是协变量 ； 可 以是 的一 个 分 量 ； 是
随 机 误 差 ，且 （ ） ＝０ ， Ｄ（ ） ＝ ，并 且 与 ，Ｚ，
相互 独 立 ； （ ・ ） ， （ ・ ） ，ｌ － ＜ｐ ｝ 是 从 尺 到 尺 的
一
为 ｒ 几次 Ｂ样 条 函数基 ， Ｓ （ ｍ， ） ＝ｆ （ ７ ｒ ￡ ； Ｏ ｌ ∈Ｒ ｝
为 ｍ次 Ｂ样 条 函数 空 间 。 Ｆ ｝ １ Ｂ样 条 函 数 的逼 近 引 理， 在一定的正则条件下 ， 存在 Ｂ样条函数 （ ￡ ） ∈ Ｓ （ ｍ， ｚ ） 逼 近 每一 个光 滑 函数 （ ￡ ） ， ＝１ ，… ， Ｐ 。模 型 中 的 函数 Ｂ样 条 估 计 就 是 寻 找 一 个 Ｂ样 条 函 数 来估计 ） ， （ ｕ ） ， ｆ ＝１ ，… ， Ｐ， 使 得 响 应 变 量 的 观测值与拟合值差的平方和最小 。即
摘 要： 函数 系数部分线性模型是 一个比较 广泛的模 型，其常数项函数和 系数 函数具有 不同的 自变量 ， 这给模
型的估计带 来了不小的挑 战。利 用 Ｂ样 条方法 同时给 出该模型 的常数项函数和 系数 函数的估计 ，给 出了估计 的相 合性 、渐近正 态性 以及收敛速度 ， 且该收 敛速度达到 了非参数最优 收敛速度 ；最后 ， 模 拟说 明 了 Ｂ样 条方法对该
wenku.baidu.com
没有非常好的选取办法。 本文将利用 Ｂ 样条来估计函 数系数部分线陛漠型， 将待估函数利用 Ｂ 样条函数基展 开， 通过极小化最小二乘表达式求解 Ｂ样条函数基下 的相应系数， 进一步得到各函数系数的 估计。 在一定条 件下还得到了该函数系数估计的渐近正态性。模拟研
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ Ｏ － ２ ５
第２ ９卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 ２月
山西大 同大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
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Ｆ ｅ ｂ ２ ０ｌ ３
文章 编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０Ｉ 一 ０ ０ ０ １ — ０ ２
函数 系数部分线性模 型 的 Ｂ样 条估计
冯 井艳 ，熊嫔 华
（ １ ． 山西 大 同大学数 学 与计 算机科 学学 院 ，山西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ； ２ ． 华 东师 范大 学金 融与 统计 学 院 ， 上海 ２ ０ ０ ２ ４ １ ）
．
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模型的估计是有效的。
关键 词： 函数 系数部分线性模 型 ； Ｂ样条 ；渐近正 态性
中图 分 类 号 ： ０ ２ ０ １ ． ７ 文献标识码： Ａ
张 日权 … 提 出了 函数系 数部 分线性 模 型 ：
Ｐ
究显示 ， 这些估计方法是较为理想的。
Ｙ ＝ ） ＋ ∑ （ ） ＋ ｉ ＝ ｌ ， …， ， （ １ ） １ Ｂ样条估计
』 ＝Ｉ
其中 Ｙ ∈ Ｒ是响应变量 ， ∈Ｒ， ∈Ｒ， ＝ ，
…
１ ． １ 函数 系数 部分 线 性模 型的 估计 设 ＝ ，… ， Ｚ ） ， ａ ＜ ｚ Ｉ ＜ … ＜ ６为 区 间【 ａ ，ｂ 】 上 的节点 ， ７ ｒ （ ） ＝（ 仃ｌ （ ） ，… ，７ ｒ ￣ （ ） ） ， Ｎ ＝ｍ ＋ｋ＋１ ，
． ．
些未 知 可测 函数 ； ／ ３ ｏ （ ・ ） 称 为 常数项 函数 ，０ 臼 Ｉ （ ・ ） ，
称 为 系数 函数 。 函数 系数 部分 线性 模 型是 一个广 泛 的模 型 。 当 （ ・ ） ＝ｏ （ １ ｐ ） 时， 它 就变 成 了一般 的 ｐ ） 时 ，其 中 （ １ 非 参 数 模 型 ；当 （ ・ ） ＝， Ｓ ｊ （ １
ａ＝（ ％ Ｔ ， ｎ ， Ｄ＝
Ｄ， ） ，
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１ Ｔ Ｍ １ ）… Ｚ Ｉ ／ ， ＂ ｆ Ｔ （ ／ ／ ， １ ） ｌ
Ｄ ｏ ＝ Ｉ ｌ ｉ Ｊ Ｉ ， Ｄ ． ＝ Ｊ； Ｉ ！ “ ｒ １ ） … Ｔ ， ） Ｊ
基金项 目： 山西大同大学科研项 ｔ ｑ ［ ２ ０ １ ０ Ｋ ４ ］ ；国家 自然科学基金项 目【 １ １ １ ７ １ ｌ ２ ］ ；国家统计局重点科研项 ／ ￣ ［ ２ ０ Ｉ Ｌ Ｚ ０ ５ １ ］
，
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随 机 误 差 ，且 （ ） ＝０ ， Ｄ（ ） ＝ ，并 且 与 ，Ｚ，
相互 独 立 ； （ ・ ） ， （ ・ ） ，ｌ － ＜ｐ ｝ 是 从 尺 到 尺 的
一
为 ｒ 几次 Ｂ样 条 函数基 ， Ｓ （ ｍ， ） ＝ｆ （ ７ ｒ ￡ ； Ｏ ｌ ∈Ｒ ｝
为 ｍ次 Ｂ样 条 函数 空 间 。 Ｆ ｝ １ Ｂ样 条 函 数 的逼 近 引 理， 在一定的正则条件下 ， 存在 Ｂ样条函数 （ ￡ ） ∈ Ｓ （ ｍ， ｚ ） 逼 近 每一 个光 滑 函数 （ ￡ ） ， ＝１ ，… ， Ｐ 。模 型 中 的 函数 Ｂ样 条 估 计 就 是 寻 找 一 个 Ｂ样 条 函 数 来估计 ） ， （ ｕ ） ， ｆ ＝１ ，… ， Ｐ， 使 得 响 应 变 量 的 观测值与拟合值差的平方和最小 。即
摘 要： 函数 系数部分线性模型是 一个比较 广泛的模 型，其常数项函数和 系数 函数具有 不同的 自变量 ， 这给模
型的估计带 来了不小的挑 战。利 用 Ｂ样 条方法 同时给 出该模型 的常数项函数和 系数 函数的估计 ，给 出了估计 的相 合性 、渐近正 态性 以及收敛速度 ， 且该收 敛速度达到 了非参数最优 收敛速度 ；最后 ， 模 拟说 明 了 Ｂ样 条方法对该
wenku.baidu.com
没有非常好的选取办法。 本文将利用 Ｂ 样条来估计函 数系数部分线陛漠型， 将待估函数利用 Ｂ 样条函数基展 开， 通过极小化最小二乘表达式求解 Ｂ样条函数基下 的相应系数， 进一步得到各函数系数的 估计。 在一定条 件下还得到了该函数系数估计的渐近正态性。模拟研
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ Ｏ － ２ ５
第２ ９卷第 １ 期
２ ０ １ ３年 ２月
山西大 同大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
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