典型周期信号的频谱

这是由于两者的定义规定的。 B. Cn中的不连续变量 n1在 F ( j )中变成 了连续变量

C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的 周期信号.
F ( j )和Cn
之间可以互求。
3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义 方法与周期信号相同。
预习
§3.5 § 3.6§ 3.9
作业:p163.
4 4 f (t ) cos ntdt T 0 T
T 4 0

T T T T f (t 2 ) cos(t 2 )d (t 2 )
4
0
f (t )[cos nt cos n sin nt sin n ]dt
T 4
4 4 f (t ) cosntdt T 0 T
3-15,3-19
证明：当全波和半波两个对称条件都满 足时，求傅立叶级数的系数只要对四分 之一波形积分即可。
f (t ) f (t ) （全波对称） T f (t ) f (t （半波对称） ) 2
8 证：an f (t ) cosntdt T 0 T
T 4
2 an T 2 T

dt
2.几点说明： a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。 时间函数f(t)可以表示为频率在区间( )
内的指数函数的连续和。 傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之 间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算， 反变换通常叫做综合运算。
B.关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分 量中。 具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率 中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。 3.傅立叶积分的三角形式
T 4
T 4
f (t ) cosntdt(n取偶数）
T 4
0
4 4 ＝ f (t ) cos ntdt T 0 T T
4 T 8 T
a ( )
为
的偶函数。
( ) 和 jb( ) 为
的奇函数。
补充：复数谱（又称为幅相频谱）
复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示 虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便 可得到曲线上一点。
设
k jt F ( j ) e e dt T k arctg ( 1 k T T e 1 jT 1 2 2 ( ) T
四.傅立叶积分的其他形式
F ( j ) a1 f (t )e


jt
dt
f (t ) a2 F ( j )e d
jt
1 只要 a1 a2 2
{
1 a1 1, a2 2 1 a1 a2 2 1 a1 , a2 1 2
在最近的科技书中比较通用的形式有：
若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的 整数倍，则相应的谐波为零。
f0 T 2T 3T f 0T , , f1
所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件： 一是谐波条件。 二是谐波为零的条件。
2.粗略求出各次谐波的振幅值 由 C 的表达式可知：
2 E 2 1 E 时，最大值为 当 T 3 Cn T 3
d.F ( j ) | F ( j ) | e
2
j ( )
a( ) jb( )
2
| F ( j ) | a ( ) b ( ) 为 F ( j )
b( ) ( ) arctg 为 F ( j ) 的相位。 a( )
的振幅。
且 | F ( j ) | 和
§ 3.3典型周期信号 的频谱
一.周期矩形脉冲信号的频谱分析
f (t )
{
E
0
nT1
nT1

2
2
t nT1

2

2

t (n 1)T1


2

2
T
1.求f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数
P90 (3-5)
f (t ) c0 cn cos(n1t )
而| e
jt
| dt | f (t ) || e


jt
| dt
| 1

| F ( ) | | f (t ) | dt
傅立叶变换存在的充分条件是：



| f (t ) | dt 存在。
六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比
sin x 1.它们都具有抽样函数 的形式。 x n1 sin sin 2 E 2 2 F ( j ) E 和 2. Cn n1 T1 2 2 2 A. Cn 值较 F ( j ) 值多乘了 T
n1 sin 2 E 2 f (t ) [1 2 cos n1t ] 1 T n1 T1 n 1 2
n1 sin E jn1t 2 f (t ) e T n n1 2
2.画频谱图
由复振幅cn 的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所
变 1.T不变，
a. T1不变， 1不变，
即谱线的疏密不变 b. ,则c n的收敛速度变慢 2. 不变，T变时
2 b. 不变， 不变，
a.T , 1 , 谱线密集

包线的零值位置不变
c.T 时，时域波形和频谱结 构会发生什么变化呢？
§ 3.4非周期信号的频谱分析 -----傅立叶变换
k f (t ) e T
1 t T

1 t T

K K KT F ( j ) 2 2 j 2 2 jT 1 T 1 T 1 a( ) jb( )
b( ) T a ( ) K a ( ) b( ) 2 [ ] 1 a ( )

T
4.频带问题(p164. 3-17) a.对于单调衰减的信号，把零频率到谐 波幅度降到最大值十分之一的那个频率 1 间频带，称为信号的带宽 10
f1 b.对于周期过零的信号常认为包络线第
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 f
一个零点以上的谐波可以忽略不计.
三. 的比值改变时，对频谱结构的影响。 T1
P105.图(3-11)和p106.图（3－12）
一.问题的提出
1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱 分布的规律就存在。
2.从数学角度来看：
{
2 jn1t Cn lim f (t )e dt T T 1 jn1t f (t ) Cn e 2 n
T 2 T 2
无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。
f (t )e
jn1t
dt
b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。 各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不 变的。
a.F ( j ) 代表了信号中各频率分量振幅的相对
大小。
2.几点说明
| F ( ) | d 是无穷 b.各频率分量的实际振幅为 小量。
C. F ( j ) 具有单位角频率振幅的量纲。
即相位为零。 n 当角度 在第三、四象限时Cn 为负实数 T1 即相位为

二.结论
1.频谱是离散的,两谱线间的距离为 1
1.离散性 2.谐波性 3.收敛性 2
E 2.由 C 0 知,当E变大时, 变大. T 则各次谐波的幅度愈大. T变大,则谐波幅度愈小. n1 2 m 或 n1 m 3.当 时，谱线的 2 包络经过零值。
2 2
b( )
0
1 K 2
a ( )
1 2 K 2 2 a ( ) b ( ) Ka( ) 0 [a ( ) K ] b ( ) ( ) 2 2
三.非周期信号的频谱分析----傅立叶变换
1.由傅立叶级数到傅立叶积分
1 jn1t f (t ) Cn e 2 n 2 Cn T
n 1

2 cn T
n1 sin 2 E 2 ] [ n1 T 2
T 2 T 2
f (t )e
jn1t
2 jn1t dt Ee dt T
T 2 T 2
上式中n=0，则为不定式利用罗必塔法则
n1 sin 1 2 E E 2 c0 lim [ ] n1 2 n 0 T T 2
1 1 j t j ( ) j t f (t ) F ( j ) e d | F ( ) | e e d 2 2 1 1 | F ( ) | cos[t ( )d j | F ( ) | sin[t ( )d 2 2
非周期信号：
f (t )

1

0
| F ( ) | cos( t ( )]d

周期信号：
f (t ) C0 Cn cos(nt n )
n 1
周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同 频率的正弦分量。
对周期信号，是用实际振幅 Cn 作出的。 对非周期信号，是用密度函数 F ( j ) 作出的。
dt
1 CnT jn1t 2 f (t ) lim e T 2 T n 2 2 1 T 2 d , n 1 当 T 时 T
1 f (t ) 2




F ( )e d
jt
jt
反变换 正变换
F ( j ) f (t )e
结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期
的无限增大而消失的。
T 时，信号的频谱分布仍然存在。
二.频谱密度函数
CnT Cn 2 F ( j ) lim lim (T ) T 2 0 1 1
1.定义：令
T a. lim Cn lim T 2
T 2 T T 2
T 2

2 T f (t ) cosntdt T
2 0
2
f (t ) cosntdt
T 2
0
f (t ) f (t ) T f (t ) f (t ) 2

0
2 f (t ) cos ntdt f (t ) cos ntd (t ) TT
2 T
T 2 T 2

f (t )e
jn1t
dt
当 T 时 1 d ,1 0, n , n1
TCn F ( j ) lim lim T 2

T 2 T T 2
f (t )e
jn1t
dt
f (t )e
jt

n
即当
T1
2 E 3

3
2
时，第一个零 2 6f 1 3 f1 点内含有二条 谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。
1
4
3.相位的确定 2 1 可知 C 代入 n T
2E n Cn sin ( p103 104) n T1
当角度
n T1
在第一、二象限时Cn 为正实数
sin x 的形式----称为抽样函数。 构成的包络是 x
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
2 E 包络线方程为 cn T
sin

2

2
sin

2 0
与横轴的交点由下式决定：

2
即：

2
,2 ,3
2 4 6
0


2m

1 2 3 2f f f 0 , ,
F ( f ) f (t )e


j 2ft
dt
f (t ) F ( f )e


j 2ft
df
五.傅立叶变换的存在
F ( j )

存在的充分条件：

由| f (t )dt | 知

f (t ) dt
jt
| F ( j ) | | f (t )e
2
2 T
f (t ) cosntdt
0
f (t ) f (t )
4 T
T 2

0
f (t ) cos ntdt
T 4
4 T
T 4

0
4 f (t ) cos ntdt f (t ) cos ntdt TT
4
T 2
4 4 f (t ) cosntdt T 0 T