数学竞赛线性代数第1讲 行列式

a b ab
1 Dn
a b ab 1 ab 0
a n1 a
bn1 b
，a
b
.
ab (n 1)an， a b
0 0 1 ab n
75
27 5
例 计算 2 7
.
5
0 0 27 n
5n1 2n1 3
3)拉普拉斯展开式
设 A是 m阶矩阵，设B是 n阶矩阵，则
F
A0
A (1)mn | A || B | .
B 0 BM
a1 0 0 b1
例 计算 0
a2
b2
0 .
0 b3 a3 0
b4 0 0 a4
(a2a3 b2b3 )(a1a4 b1b4 )
例 设 n阶非零实矩阵 A满足 : aij Aij ，Aij是元素 aij的代 数余子式(i，j 1，2， ，n). 试证 : | A | 1.
例 设 A ，B 为3阶方阵，且 | A | 3，| B | 2，| A1 B | 2， 试求 | A B1 |的值. 3
例 设 A为n阶可逆矩阵，B 为n阶实反对称矩阵，证明 | AT A B | 0.
解 因为实矩阵 AT A B的特征值为实数或成对的共轭
复数，设实特征值为0，则存在非零实向量 X0，使得 ( AT A B )X0 0 X0
进一步，0
X
T 0
X0
X
T 0
(
AT
A
B )X0
X
T 0
AT
AX 0
第一讲 行 列 式
基本内容 (1)定义
(2)性质
(3)计算
行列式的性质
按行(列)展开公式
可逆的判定
(4)应用
n个 n 维向量线性相关性的判定 齐次线性方程组有无非零解的判定
特征值的计算及 | A | 12 n
(5)几个特殊行列式
1) 范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2
Dn x12
2 1 0 例 设 A 1 2 0，矩阵B满足 ABA 2BA E，求 | B | .
0 0 1 1/9
12345 22211 例 已知5 阶行列式 D5 3 1 2 4 5 27，求 11122 43150
S1 A41 A42 A43 及 S2 A44 A45 的值.
9，18
(2)若 | B | 0，则B 不可逆 . 由 Ak 0，AB BA，得
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ckk Bk Ck1 Ak1B
C
k k
B
k
DB
所以|( A B)k | 0，从而 | A B | 0，即 | A B || B | .
例 设 A，B 为n阶方阵，试证 | E AB || E BA | .
例 设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A3 2A2 3A 0，且 R( A) r，又 A的正惯性指数为k，其中n r k 0，求 行列式 | 2E A |的值.
x22
x x n1
n1
1
2
1
xn
xn2
( xi x j ).
ni j1
x n1 n
1111
(a b c d )(b a)(c a)(d a)
abcd 例 计算行列式 a2 b2 c2 d 2 .
(c b)(d b) (d c)
a4 b4 c4 d 4
2) n阶三对角线行列式
X
T 0
B
X0
X
T 0
AT
AX
0
(
AX
0
)T ( AX 0
)
0
得 0 0.
由于 AT A B的行列式等于它的特征值之积，故 | AT A B | 0.
例 设 n阶方阵 A ，B 满足：Ak 0，AB BA，则
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| A B || B |.
解 (1)若 | B | 0，则B可逆，由AB BA，得 B1 A AB1， 且(B1 A)k 0. 故矩阵 B1 A的特征值为0，B1 A E的特征值 为1. 所以 | A B || B || B1 A E || B | .