数学美的欣赏

这些公式使得各种形式达到了高度的统一简化。
整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而 复数又包含着实数与虚数。在这些数系之中，1是最简单的数， 但同时可以说一切又起源于1。由1演变为所有自然数2，3， 4…，后来又有它的相反数—1， —2，—3…，之后又加进0， 再就是两个整数所表示的分数，这样就构成有理数系，而南北 朝时期，祖冲之就已经在计算π的值，无理数也早就出现了。i 在几百年前就有，i可表示成0+1。i，而它正好有实数中具有 代表性的数1和0来表示的。实数、虚数中的1，0，i都有其独 特的地位，超越无理数中，π和e又是相当独特的，这5个数1， 0，i，π，e都融合在一个奇妙式子中，e…+1二0，这就是—种 统一美。 从上面可以看到，统一不仅是数学美的重要特征，同时它 也是数学本质的一种反映。
又比如提到原子，人们都会觉得它小，从数据上讲它 的直径约为10-10m ，这看上去很抽象，它到底有多小？ 如果作个比方：“一个原子与一滴水之比”，就如 “一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。 如此的问题很多，如多米诺骨牌问题，苍蝇的繁殖问题， 象棋棋盘摆麦子问题等等都反映了数学中的抽象美。 又比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张 照片……也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或 者说100？……“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中 充满了“不具体”，它就是这样一个抽象的数！ 数学的抽象还在于：它不仅能描述现实生活中的某些必 然事物，同时它还能描述某些偶然时间；它不仅能描写 某些精确现象，同时还能描述大量的模糊现象。
数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜： 钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二 元、五元、十元……就是以可简单的制服任何数目的款项； 简单的这样一个图形：以代表世上一切方形的物体，它给人们简 洁、大方，但它并不仅是为了简洁而简洁，还极大地给人以方便， 给人以联想； 又正如没有人愿把一亿写成l00000000，而要写成l08，把千万 分之一写成1/100000000，而是乐于写成10-7更没有多少人身 上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走去，而是带 着一张银行卡，只需记着由0，1，2，……9中几个数字组成 密码就可敲定，就这么几个数字，就这么简单。 化繁为简，化难为简，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算 上，论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证 据之一。
面对以上种种美誉，那数学为何如此美丽？又该怎样从美学 的角度，来观察、分析、理解、并感受数学的魅力？” 事实上，数学美的表现形式是多种多样的————从数学的外 在形象上观赏：她有体系之美、概念之美、公式之美；从数学 的思维方式上分析：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类 比之美；从美学原理上探讨：她有对称之美、和谐之美、奇异 之美等。 此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严 密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。
数学符号的产生（发明）、使用和流传（传播）却经历了一 个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。 如古代的埃及、巴比伦、阿拉伯和我国的各种记数方法的演 变。 著名的“六人相识问题”（它是拉姆赛定理的特例）： 任何6个人中必可从中找出3个人，使得他们要么彼此 F 都相识，要么彼此都不相识。 A E 把这个抽象的问题演化成“点”与“染色 直线”，从而巧妙地解答它，这不能说是 B D “符号”的一大功劳。 C 把“人”用“点”表示，人与人的“关系”用“红、蓝两 色线”表示：红线表示他们彼此相识，蓝线表示他们彼此 不相识。这样六个人A、B、C、D、E、F中的某个人比如 A，他与其他5位的关系由于只用两种颜色表示，其中必有 一种颜色的线不少于3条，无妨设AB、AC、AD三条，且 他们为红色（图中用实线表示）。
数学美的特征是什么?概括起来讲有简洁性、和谐性和 奇异性.具体地有:
美
简洁性 数 学 美 和谐性
美 美 和谐美 美 美 奇异美
奇异性 的美
有
美 美 数美 美
有位学者曾说过“若要把感性的人变成理性的人， 唯一的路径是使他成为审美的人”。青少年阶段， 世界观、人生观初步形成，自我约束和控制意识 不强，存在许多不稳定的因素，尤其需要用美的 规律来改造他们的主观世界。数学美的概念提出 以后，国内的相关文章层出不穷，但多数文章只 停留在对数学美的描述上，却忽视了对美学对象 的教育，导致现在有许多中学生还不知道什么是 “数学美”，因此在课堂上展现数学美是何等重 要。在教学中教师应充分利用数学中的美的内容、 形式，运用美的教学手段，培养学生的数学审美 能力，真正发挥数学美的作用，激发学生学习数 学的兴趣。
当代美学家们认为,美应包含下列各项: 审美对象
自然美 美 审美性质 社会美
科学美 艺术美
审美本质
数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学 曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种 比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以 来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻 辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们 对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了 人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来 自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。 从学科分类来看，数学是理论自然科学中的重要分 支——素有“科学之王”之美誉；从数学的起源来看， 她是对客观事物的一种量的抽象——从客观存在的有 限性演变为认识领域的无限性；从人文环境来看，数 学有着无与伦比的美学情趣——古希腊有一句名言： “哪里有数，哪里就有美”。
A
B C A
D
B C
D
又关于“∏” ，《九章算术》 如斯说：“割之弥细，所失弥小， 割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对 “√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘 怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整 数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前 五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin∂、∞ 等等，一个又一 个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致 。 又比如：函数y=f(x)这一简单的表达式把两个变量X和Y的 关系通过对应规则F并且用等号连接在一起，深刻地表现了 数学的符号美和简单美 。
接下去考虑B、C、D三点间的连线， 若它们全为兰色（图中用虚线表 示），那好，B，C，D三点为所求 （它们代表的三个人彼此都不相 识）；若三点间连线至少有一条为 红色，设它为BC，这时A，B，C三 点为所求（它们代表的三个人彼此 都相识）。 其实我们还可以有进一步的结论： 上述（彼此都相识或都不相识的） “三人组”六个人中至少存在两组。 上面的事实，再次证明了数学符号 的威力，没有它至少问题的叙述会 变得复杂而困难。
3。统
一
美
世界的统一性在于它的物质性，宇宙的统一性表现为宇 宙的统一美，因而能揭示宇宙统一的理论，即被称为是 美的科学理论。 “统一性”，表现为各种数学结构的调和一致，各种数学方 法的融会贯通，各种数学分支之间的互相渗透和促进，等等。
1 万能计算公式V= （S+ 3
万能置换公式：sin
） S + SS
一、数学与美学
数 学 美 学 教 育 研 究
二、数学美的简洁性 三、数学美的和谐性 四、数学美的奇异性 五、美的扭曲 六、数学美学教育研究的意义
“美学”其英文为Aesthetic，希腊文原义是“感 性、感受”。这种解释特别适合数学美，数学中 的美是靠体会出来的，是一种感受，是在实践的 基础上产生的。不懂数学的人他会说数学美吗？ 肯定不会，他看到的都是些杂乱无章的符号，繁 琐冗长的计算和复杂图形的描绘。 美是使人心情愉悦的，而美又是难以捉摸，微 妙即逝的；美是世界上最有力量的东西，数学 美便是如此。大数学家克莱因曾说过“音乐能 激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能 动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善 物质生活，但数学却能提供以上一切。”数学 的美不 知使多少有识之士孜孜不倦，苦心孤诣 地为她献身。
数学的简洁性系指其抽象性、概括性和同意性，正是因为数学 具有抽象性和同意性，因而其形式应当是简单的。实现数学的 简单性（抽象、统一）的重要手段是使用了数学符号。
1。符
号
美
符号就是某种事物的代号，人们总是探索哟内个简单的记 号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。 符号对与数学的发展来将更是极为重要的，它可使人们 摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这 在事实上增加了人们的思维能力。 数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。 正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学 分支都是靠一中符号语言而生存，数学符号是贯穿于数 学全部的支柱。
‘
'
cos x
1－u 2 = 1+ u 2
'
2u x = 1+ u 2 2u x tgx = (u= tg )，台劳公式 2 1− u 2
f '' ( x ) f ( n +1) ( c ) 2 f (x) = f ( x ) + f ( x ) + ( x − x0 ) + L + ( x − x 0 ) n +1 2! ( n + 1 )!
和谐美看一看1、2、3、4、5、6、7这几个数字，代 表不同的音阶，就能谱出优美动人和谐的曲调，让 世人在音乐中陶醉。 再看看越来越复杂的数系吧，它们同样是和谐的。 整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在 实数内，而复数又包含着实数与虚数。在这些数系 之中，1是最简单的数，但同时可以说一切又起源于 1。由1演变为所有自然数2，3，4…，后来又有它的 相反数—1， —2，—3…，之后又加进0，再就是两 个整数所表示的分数，这样就构成有理数系，而南 北朝时期，祖冲之就已经在计算π的值，无理数也早 就出现了。i在几百年前就有，i可表示成0+1。i，而 它正好有实数中具有代表性的数1和0来表示的。实 数、虚数中的1，0，i都有其独特的地位，超越无理 数中，π和e又是相当独特的，这5个数1，0，i，π，e 都融合在一个奇妙式子中，e…+1二0，
数学美的和谐性
在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世 界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”。美与和谐 是他们最求数学美（如果他们意识到了的话）的准则，也是 他们建立数学理论的依据。 “对称”最初源于几何，但对称也是一种和谐美。毕达哥拉 斯、柏拉图所认为的宇宙结构最简单的基元——正多面体是 对称的；他们喜欢的图案五角星也是对称的；圆也是一种对 称图形（诗人坦丁曾感叹到：圆是最美的图形）；…… 形式美也是为数学家们所关注的，无论是毕达哥拉斯学 派对与多角数的研究；还是数千年一直为人们所称奇的 “幻方”的制作，……都是人们对数学形式美的追求。
数学美的简洁性
华罗庚教授说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工 之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁、……无不可用数 学表述。 著名科学家伽利略也硕果：“数学是上帝用来数学宇宙的文 字”。 数学之所以用途之广，系由其自身的特点决定。 简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁数学家 L.J.。莫德尔说：在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大 概是简单性了。
2。 抽
象
美
数学的简洁性在很大的程度上源自数学的抽象性，换句话说： 数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益 扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是 必不可少的。 “抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有 两种含义： （1）我们不容易想象（或意想不到）的； （2）我们无法体验到（或与现实较脱节）的。 对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事 实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与 魅力。
对于前者，我们看下例： 下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆， 请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？
d1
d2
d3
d 乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了： 设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1,d2，d3。 因d1+d2+d3=d,有∏（d1+d2+d3）=∏d， 即∏d1+∏d2+∏d3=∏d 此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。
1Baidu Nhomakorabea和谐美
美是和谐的。和谐性也是数学美的特征之一。和谐即 雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。 所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点，原子的特点， 也是生命的特点，人的特点（高尔泰语）。 数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求严谨、追求 和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐东 西——比如悖论，它是指一个自相矛盾、对广泛认同的 见解的一个反例、一种误解，或看似正确的错误命题及 看似错误的正确命题。