概率论-8.1 假设检验的基本概念和基本思想
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H0 : 0 ； H1 : 0
右边检验
H0 : 0 ； H1 : 0
左边检验
H0 : 0 ； H1 : 0
2020年4月26日星期日
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下面来讨论单边检验的拒绝域．
设 总 体 X ~ N(, 2) ， 未 知 、 为 已 知 ，
X1, X 2,L , X n 是来自 X 的样本，给定显著性水平 ．确 定假设检验问题
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两类错误
第I类错误(error of the first kind)
（弃真错误 ）
P
拒绝H0
H
为真
0
第II类错误(error of the second kind) （取伪错误 ）
P 接受H0 H0为假
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实践中，人们习惯地采用如下策略：限制犯第 I 类错 误的概率，或者在限制犯第 I 类错误的概率下，使犯第 II 类错误的概率尽可能地小.
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为了确定常数 k ，我们考虑统计量 x 0 ． / n
令
P
拒绝H0
H0为真
P
|
X
0
|
k
.
/ n
当 H0 为真时，U
X
0
/n
~
N (0,1) ，由标准正态分布分
位点的定义有 k u /2 ，
若U 的观察值满足 u
x 0 / n
k u /2 ，则拒绝 H0 ，
等式
X 0 / n
u /2 几乎是不会发生的．如果发生了，则有
理由怀疑 H0 的正确性，因而拒绝 H0 ．相反，观测值 x 满
足
X 0 / n
u /2 ，此时没有理由拒绝原假设 H0 ，从而可以
接受 H0 ．
Leabharlann Baidu
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一般地，称统计量 U X 0 为检验统计量(test / n
statistic)．当检验统计量取某个区域W 中的值时，我 们 拒 绝 原 假 设 H0 ， 称 区 域 W 为 拒 绝 域 (rejection region) ， 拒 绝 域 的 边 界 点 称 为 临 界 点 (critical
point) ， 拒 绝 域 的 补 集 W 称 接 受 域 (acceptance region).例如上例中拒绝域为
(3)
给定显著性水平 ，按 P
拒绝H0
H
为真
0
确
定拒绝域W ；一般地，确定临界值就确定了拒绝域；
(4) 作出判断：若 u W ，则拒绝原假设 H0 ，否则接
受原假设 H0 ．
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三种假设检验
双边假设检验(bilateral hypothesis test)
第八章 假设检验
§8.1 假设检验的基本概念和基本思想 §8.2 正态总体均值的假设检验 §8.3 正态总体方差的假设检验 §8.4 分布拟合检验
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8.1 假设检验的基本概念 和基本思想
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【例 1】 某饲料厂用自动包装机将饲料打包，每包饲料 的标准重量规定为 100 斤．每天开工时，需要先检验一 下包装机的工作是否正常．机器正常时，其均值为 100 斤，标准差为 1.15 斤．某日开工后，抽检了 9 包，其重 量数据如下(单位：斤)：
W (, 1.96) U(1.96, ) ，
而 u u /2 1.96 为两个临界点．
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综上所述，参数假设检验的一般步骤如下：
(1) 根据实际问题的要求，提出原假设 H0 及备择假
设 H1 ； (2) 构造一个合适的统计量并确定该统计量的分布，
由样本观测值计算出统计量U 的值 u ；
H0 : 0 100 和 H1 : 0.
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由第六章的知识知，样本均值 X 是总体均值 的无偏估计，
X 的观测值 x 的大小在一定程度上反映 的大小．因此，如
果原假设 H0 为真，则观测值 x 与 0 的偏差 x 0 一般不应
太大．若 x 0 过分大，我们就怀疑原假设 H0 的正确性而
就前一种情况而言，要求犯错误的概率很小，因此， 人们常常要求
P 拒绝H0 H0为真 ，
其中 (0 1) 是一个人为给定的很小的数，常见地取 0.01,0.05,0.1 等，称 为显著性水平(significance
level). 只对犯第 I 类错误的概率加以控制，而不考虑 犯 第 II 类 错 误 的 概 率 的 检 验 ， 称 为 显 著 性 检 验 (significance test)，它只涉及到原假设.
拒绝 H0 .考虑到，当 H0 为真时，
X
0
/n
~
N (0,1) ．而衡量
x 0
的大小可归结为衡量
x
0
/n
的大小．因此，我们可
适当选定一正数 k ，使得当观测值 x 满足 x 0 k 时就拒 / n
绝原假设
H0
，反之，若
x
/
0
n
k ，就接受原假设 H0 ．
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通过以上分析，我们知道假设检验的方法符合“小概率
推断原理”．因为通常 总是取得较小，一般地取 0.1， 0.01 ， 0.05 等 ． 因 而 ， 若 H0 为 真 ， 即 当 0 时 ，
X
0
/ n
u
/
2
是
一
个
小
概
率
事
件
．
根
据
小
概
率
推
断
原
理，如果 H0 为真，则由一次试验得到的观测值 x ，满足不
而若| u |
x 0 / n
k u /2 ，则接受 H0 ．
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例如，在本例中取 0.05，则有 k u0.05/2 u0.025 1.96 ， 又已知 n 9 ， 1.15，即有
x 0 0.493 1.96 ， / n
于是接受 H0 ，即可认为这天包装机工作正常．
98.3，97.7，100.5，98.8，101.2，99.5，102.5， 99.7，100.1
试问此包装机的工作是否正常？
设 X 表示每包饲料的重量，则 X ~ N (, 2 ) .当自动 包装机工作原正假常设时(nu，llh0ypo1t0h0e，sis) 2 1.152 .
备提择出假两设个(a相lte互rn独at立iv的e h假yp设othesis)
右边检验
H0 : 0 ； H1 : 0
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X1, X 2,L , X n 是来自 X 的样本，给定显著性水平 ．确 定假设检验问题
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两类错误
第I类错误(error of the first kind)
（弃真错误 ）
P
拒绝H0
H
为真
0
第II类错误(error of the second kind) （取伪错误 ）
P 接受H0 H0为假
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实践中，人们习惯地采用如下策略：限制犯第 I 类错 误的概率，或者在限制犯第 I 类错误的概率下，使犯第 II 类错误的概率尽可能地小.
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为了确定常数 k ，我们考虑统计量 x 0 ． / n
令
P
拒绝H0
H0为真
P
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X
0
|
k
.
/ n
当 H0 为真时，U
X
0
/n
~
N (0,1) ，由标准正态分布分
位点的定义有 k u /2 ，
若U 的观察值满足 u
x 0 / n
k u /2 ，则拒绝 H0 ，
等式
X 0 / n
u /2 几乎是不会发生的．如果发生了，则有
理由怀疑 H0 的正确性，因而拒绝 H0 ．相反，观测值 x 满
足
X 0 / n
u /2 ，此时没有理由拒绝原假设 H0 ，从而可以
接受 H0 ．
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一般地，称统计量 U X 0 为检验统计量(test / n
statistic)．当检验统计量取某个区域W 中的值时，我 们 拒 绝 原 假 设 H0 ， 称 区 域 W 为 拒 绝 域 (rejection region) ， 拒 绝 域 的 边 界 点 称 为 临 界 点 (critical
point) ， 拒 绝 域 的 补 集 W 称 接 受 域 (acceptance region).例如上例中拒绝域为
(3)
给定显著性水平 ，按 P
拒绝H0
H
为真
0
确
定拒绝域W ；一般地，确定临界值就确定了拒绝域；
(4) 作出判断：若 u W ，则拒绝原假设 H0 ，否则接
受原假设 H0 ．
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三种假设检验
双边假设检验(bilateral hypothesis test)
第八章 假设检验
§8.1 假设检验的基本概念和基本思想 §8.2 正态总体均值的假设检验 §8.3 正态总体方差的假设检验 §8.4 分布拟合检验
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【例 1】 某饲料厂用自动包装机将饲料打包，每包饲料 的标准重量规定为 100 斤．每天开工时，需要先检验一 下包装机的工作是否正常．机器正常时，其均值为 100 斤，标准差为 1.15 斤．某日开工后，抽检了 9 包，其重 量数据如下(单位：斤)：
W (, 1.96) U(1.96, ) ，
而 u u /2 1.96 为两个临界点．
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综上所述，参数假设检验的一般步骤如下：
(1) 根据实际问题的要求，提出原假设 H0 及备择假
设 H1 ； (2) 构造一个合适的统计量并确定该统计量的分布，
由样本观测值计算出统计量U 的值 u ；
H0 : 0 100 和 H1 : 0.
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由第六章的知识知，样本均值 X 是总体均值 的无偏估计，
X 的观测值 x 的大小在一定程度上反映 的大小．因此，如
果原假设 H0 为真，则观测值 x 与 0 的偏差 x 0 一般不应
太大．若 x 0 过分大，我们就怀疑原假设 H0 的正确性而
就前一种情况而言，要求犯错误的概率很小，因此， 人们常常要求
P 拒绝H0 H0为真 ，
其中 (0 1) 是一个人为给定的很小的数，常见地取 0.01,0.05,0.1 等，称 为显著性水平(significance
level). 只对犯第 I 类错误的概率加以控制，而不考虑 犯 第 II 类 错 误 的 概 率 的 检 验 ， 称 为 显 著 性 检 验 (significance test)，它只涉及到原假设.
拒绝 H0 .考虑到，当 H0 为真时，
X
0
/n
~
N (0,1) ．而衡量
x 0
的大小可归结为衡量
x
0
/n
的大小．因此，我们可
适当选定一正数 k ，使得当观测值 x 满足 x 0 k 时就拒 / n
绝原假设
H0
，反之，若
x
/
0
n
k ，就接受原假设 H0 ．
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推断原理”．因为通常 总是取得较小，一般地取 0.1， 0.01 ， 0.05 等 ． 因 而 ， 若 H0 为 真 ， 即 当 0 时 ，
X
0
/ n
u
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是
一
个
小
概
率
事
件
．
根
据
小
概
率
推
断
原
理，如果 H0 为真，则由一次试验得到的观测值 x ，满足不
而若| u |
x 0 / n
k u /2 ，则接受 H0 ．
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例如，在本例中取 0.05，则有 k u0.05/2 u0.025 1.96 ， 又已知 n 9 ， 1.15，即有
x 0 0.493 1.96 ， / n
于是接受 H0 ，即可认为这天包装机工作正常．
98.3，97.7，100.5，98.8，101.2，99.5，102.5， 99.7，100.1
试问此包装机的工作是否正常？
设 X 表示每包饲料的重量，则 X ~ N (, 2 ) .当自动 包装机工作原正假常设时(nu，llh0ypo1t0h0e，sis) 2 1.152 .
备提择出假两设个(a相lte互rn独at立iv的e h假yp设othesis)