三角函数与不等式

1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 ，当且仅当 a b 时等号成立。 2
注：算术平均数： a b ；几何平均数： ab ；调和平均数： 2 2ab ；平方平均数：
2
1 1 ab
ab
a2 b2 。 2
证明：（代数法）
（1） a 0，b 0 ( a b)2 0 a b 2 ab a b ab ； 2
性质：①、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
②、两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
应用基本不等式求最值的条件：
一正：a 与 b 为正实数
二定：积定和最小，和定积最大
三相等：若等号成立，a 与 b 必须能够相等
强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”
基本不等式链：
若
a、b 都是正数，则
夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，晤言一室之内；或 因寄所托，放浪形骸之外。虽取舍万殊，静躁不同，当其欣 于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既 倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈 迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云： “死生亦大矣。”岂不痛哉！
AAAAAA
课后小题：（不多，答案明天对哟！你行的）
3x y 6 0 1、（偏难，努力会有办法的）设 x，y 满足约束条件 x y 2 0
x 0, y 0
（a>0，b>0）Βιβλιοθήκη Baidu是最大值为 12，则 2 3 的最小值为(
).
ab
25
8
A.
B.
6
3
11
C.
D. 4
3
，若目标函数 z=ax+by
2、已知 3 ，cos(α-β)= 12 ,sin(α+β)= 3 ,那么 sin2α=
5
44
4
（）
A． 3 18
B． 13 22
C． 3 22
3、纯化简题：（活用巧用公式，注意公式的变形）
D． 1 6
1 sin 10
3 cos10
的值是
A．1
B．2
sin150sin300sin750 的值等于
C．4
D． 1 4
（） （）
A． 3 4
B． 3 8
tan700+tan500- 3 tan700tan500 的等于
AAAAAA
我们练一练：
1、设 a>1，且 m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a)则 m,n,p 的大小关系是(
)
2、若 a.b∈R,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值为( )
3、（2009 天津高考）设 a 0,b 0. 若 3是3a与3b的等比中项，则 1 1 的最小值为 ab
.
2
4
13
5
3、化简：cos( -α)cos( +α)=
.
4
4
AAAAAA
2 cos2 sin 1
4、已知 tanθ=2,求
2
的值.
2 sin( )
4
5、已知 sin( -θ)= - 3 , <θ< 2 ，求 cos2θ 的值。
6
56
3
基本不等式练习题の摸底
1、若 x>0,求 f (x) 4x 9 的最小值; x
8、求 y 12 3x (x 0) 的最大值. x
9、若 x 2 ，求 y 2x 5 1 的最小值 x2
AAAAAA
10、求 y x2 3 的最小值. x2 2
11（1）用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少?
（2） a b 2
ab 0 2 ab
1 2ab ab a b
ab ab
1
2
1
ab ；
ab
a2 b2 2ab 2(a2 b2 ) 2ab a2 b2 a2 b2 (a b)2
a2 b2 a b
2
4
2
2
综上，
1
2
1
ab
ab a b 2
a2 b2 ，当且仅当 a b 时“”成立。 2
C． 1 8
D． 1 4
（）
A． 3
B． 3 3
C．- 3 3
4、周期题：（记住正弦、余弦、正切的周期，以一可敌万）
函数 y=sin2(ωx)-cos2(ωx)的周期 T=4π，那么常数 ω 等于
D．- 3
（）
A． 1 2
B．2
C． 1 4
D．4
5、区间题：（记住正弦、余弦、正切的递增递减区间，这个我相信你还比较清楚的）
函数 y=cos( x )-sin( x )的单调递增区间是
26
26
（）
A．[4kπ- 13 , 4kπ- ] (k∈Z)
6
6
B．[4kπ- , 4kπ+ 11 ] (k∈Z)
6
6
C．[2kπ- , 2kπ+ 11 ] (k∈Z)
6
6
D．[2kπ, 2kπ+π] (k∈Z)
综合题：（一般综合了上述的问题，此类问题一般先化简）
俱往矣， 数风流人物， 还看今朝。
克
兰亭序
永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修 禊事也。群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭，茂林修竹； 又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。虽 无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。是日也，天 朗气清，惠风和畅，仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游 目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也。
设 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a∈R),当 x∈[0, ]时, f(x)的最大值是 4，则 a=
.
2
三角函数课前小练习：
sin30=
sin45=
sin60=
cos30=
AAAAAA
cos45=
cos60=
a b ab 2
tan30=
tan45=
tan60=
不等式の基本不等式
沁园春·雪 北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。
望长城内外， 惟余莽莽； 大河上 下， 顿失滔滔。
山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试 比高。
须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。
江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武， 略输文采； 唐宗宋 祖， 稍逊风骚。
AAAAAA
一代天骄， 成吉思汗， 只识弯弓射 大雕。
三角函数の恒等变化
1、判断象限题：（注意角度的变化）
已知 sin = 4 ,cos = 3 ,则角 θ 所在的的象限是 25 2 5
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2、配凑找关系题：（看到题目给的角度，去配凑出与题设有关的拆项方法）
已知 tan(α+β)= 2 ,tan(β- )= 1 ，则 tan(α+ )等于
2、若 x 0 ，求 y x 1 的最大值 x
3、若 x<0,求 f (x) 4x 9 的最大值 x
4、求 f (x) 4x 9 (x>5)的最小值. x5
5、求 y 1 x (x 3) 的最小值. x3
6、求 y x(5 x) (0 x 5) 的最大值.
7、求 y x(1 4x)(0 x 1) 的最大值。 4
每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻 之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦 犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异， 所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。
AAAAAA