拉曼光谱的数据初步处理

摘要
本文主要目的是熟悉拉曼光谱仪原理，并掌握拉曼光谱仪的实验测量技术以及拉曼光谱的数据初步处理。

文章首先论述了拉曼光谱仪开发设计、安装调试中所应用的基本理论、设计原理与关键技术，介绍了激光拉曼光谱仪的发展动态、研究方向和国内外总体概况。

其次阐述了拉曼散射的经典理论及其量子解释。

并说明了分析拉曼光谱数据的各种可行的方法，包括平滑，滤波等。

再次根据光谱仪器设计原理详细论述了分光光学系统的结构设计和激光拉曼光谱仪的总体设计，并且对各个部件的选择作用及原理做了详细的描述。

最后，测量了几种样品的拉曼光谱，并利用文中阐述的光谱处理方法进行初步处理，并且进行了合理的分析对比。

总之，本文主要从两个方面来分析拉曼光谱仪的实验测量和光谱数据处理研究：一、拉曼光谱仪的结构，详细了解拉曼光谱仪的工作原理。

二、拉曼光谱数据处理分析，用合理的方法处理拉曼光谱可以有效便捷的得到较为理想的实验结果。

通过对四氯化碳、乙醇、正丁醇的光谱测量以及光谱数据分析，得到了较为理想实验效果，证明本文所论述方法的可行性和正确性。

关键词: 拉曼光谱仪光栅光谱分析
Abstract
Purpose of this paperisfamiliar with Raman Spectrometer, and mastery of experimental measurements of Raman spectroscopy and Raman spectroscopy technique spreliminary data processing.
The article firstdiscusses theRaman spectrometerdevelopment,
design,installation and commissioningin theapplication of the basictheory, designprinciples and key technologies,laserRaman spectrometer developments,research direction and overall profileat home and abroad. The second section describesthe classical theory of Raman scattering and quantumexplanation.And shows the Raman spectra of the variouspossible ways, including smoothing and filtering.Again according tospectrometer design principles discussed in detail the spectroscopic optical system design and laser Raman spectrometer overall design, andthe choice for the role of the various component sand the principle of a detailed description. Finally, the measured Raman spectra of severalsamples, and use paper describesmethods forspectral processinginitial treatment, and for a reasonable analysis and comparison.
In summary, this paper mainly from two aspects to analyze experimental measurements of Raman spectroscopy and spectral dataprocessing research: First, the structure of Raman spectroscopy, Raman spectroscopy detailed understanding of the working principle. Second,Raman spectroscopydata processing and analysis, a reasonable approach toeffectiveand convenient Raman spectroscopy can be more ideal results. Through carbon tetrachloride, ethanol, n-butanol and spectraldata analysis spectral measurements obtained more satisfactory experimental resultsdiscussed in this articledemonstratethe feasibility and correctness.
Keywords: Raman spectrometer grating spectral analys
目录
第1章引言 (1)
1.1 拉曼光谱分析技术 (1)
1.2 现代拉曼光谱技术与特点 (2)
1.3研究拉曼光谱仪的意义 (2)
1.4 本文的主要内容 (3)
第2章基本理论 (4)
2.1拉曼散射经典解释[8] (4)
2.2拉曼散射的量子解释 (6)
2.2.1散射过程的量子跃迁 (6)
2.2.2量子力学结果 (7)
2.2.3 Placzek近似 (12)
2.3拉曼光谱数据分析方法 (15)
2.3.1数据平滑处理 (16)
2.3.2基线校正 (17)
2.3.3数据求导处理 (17)
2.3.4数据增强算法 (18)
2.3.5傅里叶变换 (18)
2.3.6小波变换 (19)
2.3.7 数字滤波 (19)
第3章常规拉曼检测系统 (21)
3.1 光源 (22)
3.2 滤光片 (23)
3.3 拉曼光谱仪及计算机软件 (24)
3.3.1光栅 (25)
3.3.2光电倍增管 (27)
第4章拉曼光谱测量及数据处理和结论 (29)
4.1 物质的拉曼光谱测量 (29)
4.2拉曼光谱数据处理与分析 (32)
4.2.1平滑处理 (32)
4.2.2 低通滤波处理 (35)
4.3结论 (37)
第5章论文总结与展望 (38)
致谢： (39)
参考文献： (40)
第1章引言
1.1 拉曼光谱分析技术
1928年印度实验物理学家拉曼发现了光的一种类似于康普顿效应的光散
射效应，称为拉曼效应。

简单地说就是光通过介质时由于入射光与分子运动之间相互作用而引起的光频率改变。

拉曼因此获得1930年的诺贝尔物理学奖，成为第一个获得这一奖项并且没有接受过西方教育的亚洲人[1]
拉曼散射遵守如下规律：散射光中在每条原始入射谱线(频率为υ0)两侧对称地伴有频率为υ0±υk (k=1，2，3，⋯)的谱线，长波一侧的谱线称红伴线或
斯托克斯线，短波一侧的谱线称紫伴线或反斯托克斯线：频率差υk与入射光频率υ0无关，由散射物质的性质决定，每种散射物质都有自己特定的频率差，其中有些与介质的红外吸收频率相一致[2]。

拉曼光谱即拉曼散射的光谱。

靠近瑞利散射线两侧的谱线称为小拉曼光谱：远离瑞利散射线的两侧出现的谱线称为大拉曼光谱。

拉曼散射的强度比瑞利散射要弱得多。

瑞利散射线的强度只有入射光强度的千分之一，拉曼光谱强度大约只有瑞利线的千分之一。

与入射光频率υ0相同的成分称为瑞利散射，频率对称分布在υ0两侧的谱线或谱带υ0称为拉曼散射。

拉曼光谱的理论解释是：入射光子与分子发生非弹性散射，分子吸收频率为υ0的光子，发射υ0−υk的光子，同时分子从低能态跃迁到高能态(斯托克斯线)：分子吸收频率为υ0的光子，发射υ0+υk的光子，同时分子从高能态跃迁到低能态(反斯托克斯线)与分子红外光谱不同，极性分子和非极性分子都能产生拉曼光谱[3]。

拉曼光谱为研究晶体或分子的结构提供了重要手段，在光谱学中形成了拉曼光谱学的一个分支。

用拉曼散射的方法可迅速定出分子振动的固有频率，并可决定分子的对称性、分子内部的作用力等。

但拉曼光谱本身有一定的局限性，比如拉曼散射的强度较弱，对样品进行拉曼散射研究时有强大的荧光及瑞利散射干扰等等。

因此它在相当长一段时间里未真正成为一种有实际应用价值的工具，直到激光器的问世，提供了优质高强度单色光，有力推动了拉曼散射的研究及其应用。

激光使拉曼光谱获得了新生，因为激光的高强度极大地提高了包
含双光子过程的拉曼光谱分辨率和实用性。

此外强激光引起的非线性效应导致了新的拉曼散射现象。

为了进一步提高拉曼散射的强度，人们先后发展了傅立叶变换拉曼光谱、表面增强拉曼光谱、超位拉曼光谱、共振拉曼光谱、时间分辨拉曼光谱等新技术，使光谱仪的效率和灵敏度得到更大的提高。

目前拉曼光谱的应用范围遍及化学、物理学、生物学和医学等各个领域，对于定性分析、高度定量分析和测定分子结构都有很大价值。

随着拉曼光谱学研究的深入，拉曼光谱的应用必将愈来愈广泛[4]。

1.2现代拉曼光谱技术与特点
30年代拉曼光谱曾是研究分子结构的主要手段，此时的拉曼光谱仪是以汞弧灯为光源，物质产生的拉曼散射谱线极其微弱，因此应用受到限制，尤其是红外光谱的出现，使得拉曼光谱在分子结构分析中的地位一落千丈。

直至60年代激光光源的问世，以及光电信号转换器件的发展才给拉曼光谱带来新的转机。

世界上各大仪器厂家相继推出了激光拉曼光谱仪，此时拉曼光谱的应用领域不断拓宽。

70年代中期，激光拉曼探针的出现，给微区分析注入活力。

80年代以来，随着科学技术的飞速发展，激光拉曼光谱仪在性能方面日臻完善，如：美国Spex公司和英国Reinshow公司相继推出了拉曼探针共焦激光拉曼光谱仪，低功率的激光光源的使用使激光器的使用寿命大大延长，共焦显微拉曼的引入可以进行类似生物切片的激光拉曼扫描，从而得出样品在不同深度时的拉曼光谱。

EG＆G Dilor公司推出多测点在线工业用拉曼系统，采用的光纤可达200m，从而使拉曼光谱的应用范围更加广阔。

90年代初，由于社会生产活动的需要，人们又探索出多项技术并应用于拉曼光谱仪中，使小型便携式拉曼光谱仪出现并不断发展起来成为可能。

这些技术包括：引进光纤对远距离或危险的样品进行测量；用声光调制器代替光栅作为分光元件测量拉曼光谱；利用全息带阻滤光片滤除瑞利散射的干扰；研制开发出便携激光器等[5][6]。

1.3研究拉曼光谱仪的意义
由于拉曼光谱具有制样简单、水的干扰少、拉曼光谱分辨率较高等特点，故其可以广泛应用于有机物、无机物以及生物样品的应用分析中。

拉曼光谱技
术己广泛应用于医药、文物、宝石鉴定和法庭科学等领域。

对文物样品的无损分析研究。

使文物的鉴定、年代的测定及文物的恢复和保存的方法更安全可靠；对爆炸物、毒品、墨迹等的痕迹无损检测为法庭提供科学证据的有力手段：对宝石的光谱分析研究对认识各地宝石中的包含物差异性。

并使宝石的鉴别与评价有了科学依据。

近年来该技术在细胞和组织的癌变方面的检测也取得了很大的进展，随着分析方法完善和研究病例的增多以及对于病变组织差异性的规律性认识深化。

拉曼光谱发展成诊断肿瘤方法的可行性将得到确认．总之，随着激光技术的发展和检测装置的改进。

拉曼光谱技术在当代工业生产和科学研究中必将得到越来越广泛的应用[7]。

1.4 本文的主要内容
本文主要论述了拉曼光谱仪开发设计、安装调试中所应用的基本理论、设计原理与关键技术，介绍了激光拉曼光谱仪的发展动态、研究方向和国内外总体概况。

阐述了拉曼散射原理及其量子解释。

以具体说明了分析拉曼光谱数据的各种可行的方法，包括平滑，滤波等方法的使用。

根据光谱仪器设计原理详细论述了分光计光学系统的结构设计、激光拉曼光谱仪的总体设计。

并且对各个部件的选择作用及原理分析，做了详细的描述。

最后，测量了几种样品的拉曼光谱，并对光谱利用文中阐述的光谱分析方法进行分析对比，并且进行了合理的分析。

拉曼光谱仪的实验测量和光谱数据处理研究主要从两个方面来分析：一、拉曼光谱仪的结构，详细了解拉曼光谱仪的工作原理。

二、拉曼光谱数据处理分析，用合理的方法分析拉曼光谱可以有效便捷的得到较为理想的实验结果。

通过对四氯化碳、乙醇、正丁醇的测量光谱以及光谱数据分析，得到较为理想实验效果，证明本文所论述方法的可行性和正确性。

第2章基本理论
当一束频率为υ0的单色光照射到样品上后，分子可以使入射光发生散射。

大部分光只是改变方向发生散射，而光的频率仍与激发光的频率相同，这种散
射称为瑞利散射；约占总散射光强度的10−6~10−10，不仅改变了光的传播方向，
而且散射光的频率也改变了，不同于激发光的频率，称为拉曼散射。

拉曼散射
中频率减少的称为斯托克斯散射，频率增加的散射称为反斯托克斯散射，斯托
克斯散射通常要比反斯托克斯散射强得多，拉曼光谱仪通常测定的大多是斯托
克斯散射，也统称为拉曼散射。

散射光与入射光之间的频率差v称为拉曼位移，拉曼位移与入射光频率无
关，它只与散射分子本身的结构有关。

拉曼散射是由于分子极化率的改变而产
生的。

拉曼位移取决于分子振动能级的变化，不同化学键或基团有特征的分子
振动，ΔE反映了指定能级的变化，因此与之对应的拉曼位移也是特征的。

这
是拉曼光谱可以作为分子结构定性分析的依据。

2.1拉曼散射经典解释[8]
光照射到物质上发生弹性散射和非弹性散射。

弹性散射的散射光是与激
光光波波长相同的成分，非弹性散射的散射光有比激发光波长长的和短的成分，
统称为拉曼效应。

角频率为υ0的光入射到一个分子上，可以感应产生电偶极矩。

一级近似下，
所产生的感应电偶极矩P与入射光波电场E的关系可表达为下式：
P=A·E 式中，A是一个二阶张量，通常称A为极化率张量。

如果角频率为υ0的入射光波只感生振荡角频率为叫υ0的感应电偶极矩，该
感生电偶极矩会辐射出与入射光角频率相同的散射光，也就是瑞利散射。

但若
考虑到分子内部本身有振动和转动，各有其特征频率，导致激发光每个周期所
遇的分子振动和转动相位不同，相应的极化率也不同，分子的感生偶极发射受
自身振动和转动频率调制，会辐射出异于入射光频率的散射光，其中波长比瑞
利光长的拉曼光叫斯托克斯线，比瑞利光短的叫反斯托克斯线。

考虑分子中的原子由于热运动而在平衡位置附近振动，那么，P=A ·E 可以写作：
同理： x xx x xy y xz z
y yx x yy y yz z
z zx x zy y zz z P a E a E a E P a E a E a E P a E a E a E =++=++=++
(2-1) 可知P E =A E |E |，其中A E 是极化率A 的E 分量。

(2-1)式中的x ，y ，z 是固定在分子上的坐标系的三个坐标轴，由于假设没有转动，这个坐标系也是固定在空间上的。

a ij 是和P 与E 的方向无关的常数，也就是分子极化率张量A 的分量。

可以知道：a ij =a ji 。

一般情况下，当各个原子核从其平衡位置有一a ij 位移时，极化率的六个分量中的每个分量都会发生改变。

对于小位移的情形，可以把展开并保留到一级项
()00ij ij ij k k k a a a ζζ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭∑
（2-2） 式中( )0表示分子处于平衡状态时物理量的值，ζk ，ζl 是引入的振动简正坐标，求和遍及全部简正坐标。

由于考虑的是分子内部振动小位移的情况，振动可近似为简谐，于是得：
00cos()cos(2)k k k k k k k t t ζζωϕζπυϕ=+=+ (2-3)
其中ζk
0表示振动的幅度，υk ，φk 表示振动的频率和初相位。

又， 0000002,2,2x x y y z z E E t E E t E E t πυπυπυ=== （2-4）
将(2-2)(2-3)(2-4)代入(2-1)，得：
()()()
[]000000000000000()()()cos 21cos 2()cos 2()2xy xx xz k k k x xx x
xy y xz z a a a x y z k
k k P a E a E a E t E E E t t ζζζπυζπυυπυυ∂∂∂∂∂∂⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦⨯++-∑ （2-5） 同理，对于P y ，P Z 也能得到类似的式子。

综上所述，感生偶极矩的振动情况如下：(1)以入射辐射的频率υ0振动，结果也就是瑞利(Rayleigh)散射；(2)以频率υ0±υk 振动，结果也就是拉曼散射，频率为υ0−υk 的散射光是斯托克斯线，频率为υ0+υk 的散射光是反斯托克斯线。

从(2-5)式还可以断言，不同分子间瑞利散射光彼此之间是相干的。

而因为公式中含υ0±υk的项只是纯粹的叠加而没有交叉项，所以对于多分子体系，其拉曼散射总强度是各个分子拉曼散射强度的代数和，拉曼散射光不相干。

2.2拉曼散射的量子解释
2.2.1散射过程的量子跃迁
斯托克斯散射
拉曼散射的完善解释需用量子力学理论，不仅可解释散射光的频率差，
还可解决强度和偏振等问题。

图2-1给出散射过程量子跃迁的三能级图，其中ωL、k L分别表示激光入射光子的频率和波矢，ωs、k s分别表示散射光子的频率和波矢，ωq和q 分别表示散射过程中伴随产生或湮没的元激发的频率和波矢。

在入
射光(量)子被吸收后，使电子和晶格振动从初态(n e,n q)跃迁到一个虚中间态；随即辐射出散射光子(ωs,k s)由中间虚态回到终态，与此同时，产生(或淹没)
了一个频率为ωq而波矢为q元激发。

2.2.2量子力学结果
核与电子组成的系统遵从的薛定谔方程为
(0)(0)
0(,)(,)H r t i
r t t ∂ψ=ψ∂
（2-6） 式中r 代表各粒子的所有坐标，它的通解为
(0)(,)()r i t
r r
r t r e ωα-ψ=Φ∑
（2-7）
对不含时薛定谔方程H 0ψ(0)=E r ϕ(r)的本征值和本征值函数分别是E r 和H 0,对k 态，即k=（e ，n ），e 和n 分别是电子量子数及核量子数集合。

对于，r≠k 、αr =0和αr =1，其通解为
(0)(,)()r i t
k r k r t r e
ωα-ψ=Φ∑
（2-8）
因系统受到的微扰来自于光波电磁场，而光波波长远大于原子间距。

显然，这
些理论对可见光、紫外、红外光都是正确的。

对X 射线的结论则不适用。

为了简单起见，先不考虑共振现象，则光波电磁场可以写成如下的形式：
L L i t
i t E Ae
A e ωω-•=+ （2-9） 式中A 是复振幅，则光波场与系统的微扰互作用能为 '
H E M =-⋅
而j j
M er =∑，即系统中的电子偶极矩。

此时微扰系统的薛定谔方程为
0()(,)(,)H E M r t i
r t t ∂
-⋅ψ=ψ∂
（2-10） 若k 态中未受微扰的系统由
(0)(,)()r i t r r r t r e ωα-ψ=Φ∑
所描述，则（2-10）方程的微扰解为
(0)(1)
(,)(,)(,)(,)
k k k r t r t r t r t ψ=ψ+ψ=ψ （2-11）
将（2-11）式代入（2-10）方程中，略去(1)()k E M ⋅ψ的二次项，再由（2-6）方程得以下方程：
(1)(0)
0(,)()k
k H i r t E M t ∂⎛⎫-ψ=⋅ψ ⎪∂⎝⎭
（2-12） 对（2-12）做求解处理，取
[][]
(0)exp ()exp ()k k k L k k L i t i t ωωωω+-
ψ=Φ-++Φ--
（2-13）
式中
1
kr k r r rk L A M ωω+⋅Φ=
Φ-∑，1kr k
r r rk L A M ωω-
⋅Φ=Φ+∑
（2-14） 而
kr rk r k M M M dr *
*==Φψ⎰， ()rk r k ωωω=- （2-15） 受到微扰系统的矩阵元为
(1)()(,)km m k M t M r t dr
*=ψψ⎰
（2-16）
由（2-11）到（2-16）式可得
()[](1)
()exp exp ()km km km km km L M t M i t C i t ωωω=+-+
[]exp ()km km L D i t ωω+--
（2-17） 式中的C km 和D km 分别为
()()1
kr rm kr km km r rk L rm L A M M M A M C ωωωω⎡⎤
⋅⋅=
+⎢⎥
-+⎣⎦∑
（2-18） ()()1
kr rm kr km km r rk L rm L A M M M A M D ωωωω**⎡⎤
⋅⋅=+⎢⎥
+-⎣⎦∑
（2-19） 又因为D km =C mk ∗
，对k=m 的条件可得
(1)*L L i t i t
kk kk kk kk M M C e C e ωω--=++ (2-20）
式中
()()1
kr rk kr rk kk r rk L rk L A M M M A M C ωωωω⎡⎤
⋅⋅=
+⎢⎥-+⎣
⎦∑
M kk (l
)
（t ）是实的，它是k 态中偶极子动量的期待值，且与入射辐射有相同的时间关系。

因此，偶极子M kk (l )
（t ）辐射的强度仍有以下的经典表示式：
2
2
(1)
(1)
3
300
221()
lim ()33kk kk kk t
I M t M t dt c c ξ
ττ→=
=
⎰
（2-21）
由（2-20）式可得
2
4323kk L kk I C c ω=
（2-22）（2-21）式给出了(偶)极矩为M kk (l )
（t ）的偶极子的瑞利散射光强。

需特别注意
的是：与M kk (l )
（t ）相反，M km (l
)
（t ）是复的。

要找出与(2-17)式中个别真实偶极
子经典辐射相关联的情况，必须用到克莱因(Klein)的结果：
若ωkm <0,即ωk −ωm <0, 初态能量小于末态能量，k 、m 别为初、末态，则exp()km km M i t ω-分量的辐射发射为零，就等价于真实偶极子的经典辐射，则有
exp()exp()k m km km km km M M i t M i t ωω*
→=-+
若ωkm >0，即ωk −ωm >0, 初态能量小于末态能量，k, m 分别为初、末态。

为了能应用(2-17)式，必先考虑构成真实偶极子的情况，即 ()
1(1)
(1)(1)(1)
k m km
km
km mk
M M M
M M *→=+=+ exp()exp()km km km km M i t M i t ωω*
=-+
[][]exp ()exp ()km km L km km L C i t C i t ωωωω*+-+++ [][]
exp ()exp ()km km L km km L D i t D i t ωωωω*+--+- (2-23)
与(2-11)式相同，散射光光强由下式决定：
2
(1)
3
2()
3km k t
I M t c ∧
→∞=
(2-24)
在对时间取平均时消去交叉项后有
22244432()()3km km km km L km km L km I M C D c
ωωωωω∧
⎡⎤=
+++-⎣⎦ (2-25) 由辐射发射的原理知：仅对ωkm >0,ωk −ωm <0和ωk −ωm >0的条件下才能产生辐射，下面对（2-25）中各项的意义作以讨论。

I ̂km 表示式（2-25）中的的第一项初态能量（E k =ħωk ），大于末态能量（E m =ħωm ）。

它描述了与外来激光频率ωL 无关的伴随k →m 跃迁的自发辐射，见图2-1(a)。

(2-25)式中的第二项是正常拉曼散射，即E m <E k ∓ħωk 。

末态(m)的能量比始态(k)的能量大，也可以比它小：
(1) E m >E k 末态能量大于始态能量；散射辐射能量小于激光(单)光子能
量,
即ħωs >ħωL 这对应于斯托克斯过程。

（2）E m <E k 态能量小于始态能量；散射辐射能量大于激光(单)光子能量，即ħωs <ħωL 这对应于反斯托克斯过程。

需要指出的是：光谱仪所接收到的信
号是ħωs，见图（2-2）（b）。

（2-25）式中的第三项表示伴有两个量子感应发射，即k→m的跃迁。

这类发射只有在受激粒子数剧增时才能被观测到。

图(2-2)（c）给出了这一过程的量子跃迁，特别注意激光器的能量与初末能态相应能级的关系。

中间态r
伴有两个量子感应发射图2-2斯托克斯跃迁(E m<E k)，r1，r2和r3是跃迁过程中的中间能级
与正常拉曼效应相关的第二项系数C km由(2-18)式确定，其中跃迁矩的求
和是从初态k到所有未受微扰系统的r态及跃迁矩从r态回到末态m的求和。

并不是说真实的散射过程中存在如上的跃迁过程，完全是因为考虑到数学上处理微扰问题的需要，即受到微扰系统的波函数完全用未受到微扰波函数来表示，也就是在C km的表示中包括了矩跃迁M kr和M rm的积，而不是单独的某一个跃迁矩。

跃迁矩既可以是正的，也可以是负的；既属于不同的态r，也可以附加在另一
个态上。

当它们所处的态被湮没为另一个使C km变为零的态时，就不能产生拉曼散射，常称之为拉曼散射的禁戒条件。

在对(2-18)式的求和中，不仅包括了初态k之上的中间态r，也包括了低于
k态的任何r态。

因为中间态是在吸收了入射光子后产生的高于初态的激发态，所以(2-18)式求和过程中包含的低于初态k的概念显然是不合适的。

还应强调
的是：确定自发初末态间跃迁概率的跃迁矩M kr并没有全部写入C km的表达式。

因此，自发辐射(或吸收)与拉曼散射强度间无直接的联系，它们的选择规律也全然不同。

由上述的讨论可知：整个空间4兀立体角内拉曼散射强度为
44
34()3km km L km
I C c ωω∧
=
+
（2-26） 对于k=m ，就是瑞利散射强度。

C km 的分量可以写成如下的形式：
()()km km C C A ββϕϕ
ϕ
=∑
（2-27）
式中β、φ代表Portor 表示中入、散射的偏振方向，式（2-27）中
()()()()1
()()()kr rm kr rm km r rk L rm L M M M M C ϕββϕβϕωωωω⎡⎤
=
+⎢⎥--⎣
⎦∑
（2-28） (2-28)式就是散射张量，通常它是复数，而且是非对称的张量。

对于k=m ，则有
()()()()1
()()()kr rk kr rk kk r rk L rk L M M M M C ϕββϕβϕωωωω⎡⎤
=
+⎢⎥
--⎣⎦∑
（2-29） 因
()()kk kk
C C βϕϕβ*=
（2-30）
因此，若()kk C βϕ是实的，则它是对称的，该结论不仅对ωL =0的静电场微扰是正确的，而且对哈密顿量为实的系统也是适用的。

若不再考虑(2-20)式中的永久偶极矩M kk ，而利用在（2-9）式中的系数关系()()kk kk C C βϕϕβ=，再从(2-20)式可得矩阵元表示式，为 1()()kk kk M C E E ββϕϕϕ
ϕ
ϕ
==∑∑
(2-31)
式中αβφ
（k ）
是实的，就是k 态的电极化率，将(2-27)式代入(2—26)式中有
2
434
()()3km km L km I C A c βϕϕβϕ
ωω∧
=
+∑∑
（2-32）
再用A =|A |e ̂，e ̂是入射光偏振方向的单位失，而入射光光强为I 0=c
2π|A |2，则有
2
4038()()3km km L km km I C e Q I c βϕϕβϕ
π
ωω∧
=
+=∑∑
(2-33)
式中2
438()()3km km L km Q C e c βϕϕβϕπ
ωω=+∑∑被定义为k →m 跃迁的拉曼跃迁截面。

Q km
的量纲是L 2，I
̂m 和I 0的单位分别是erg*/s 和erg ∙s −1cm −2。

若入射光沿β方向偏振，在沿φ方向用分析检测器观察散射光，则单位立体角d Ω中散射强度为 ()24
04
1()()km km L km I C I c βϕβϕωω=
+
(2-34) 用()kk C βϕ直接从(2-31)到(2-33)式计算散射强度只有在简单系统(如谐振子、自由电子、和某些简单原子)中是可行的。

对于分子、晶体及复杂能级系统中，(2-28)式中出现的受激中间态r 都无法进行直接的计算。

Plaezek ’s 近似为直接计算一般结果提供了新的途径[9][10]。

2.2.3 Placzek 近似
首先考虑电子态不发生变化的散射过程，即初、末态是相同的基态。

该情况中，仅是振动态发生了变化，而且满足能量守恒条件，即L s q ωωω=。

因为光散射是由于系统中的电子引起的，光能转移到各个核上，反之亦然，通过核和电子运动间的耦合可以产生拉曼散射效应。

假设电子的基态是非简并的，而且原子核被固定在仅产生瑞利(辐)散射
的位置，则散射光的强度由电极化率张量0
00()C βϕβϕβϕαα==确定，(2-31)式下
标中的k=0表示电子的基态。

电子的极化率是实的，而且具有对称性：在(2-29)式中，对具有00()C βϕ固定核系的本征频率TO ω和本征函数影r ψ不仅取决于核的位置，而且也取决于电子极化率αβφ，该分量是核组态R 的函数，即αβφ=αβφ（R ）。

在以下的假设中，认为振动着的核系统中散射强度是一样的。

Plaezek 假设有以下三点内容：
1．电予的基态必须是非简并的； 2．绝热近似必须是有效的；
3．激发光源的频率必须小于任何一电子的跃迁频率，但远大于振动的频率，即
ω≪ω激光≪ω电子跃迁
若具有振动核系统从()k O υ=态跃迁到'()k O υ=态，其中O 表示电子的基态而υ、
'υ是振动态。

根据近似条件，'.()O O C βϕυυ可认为矩阵元是由电子极化率分量矩阵元'.()O O R βϕυυα所确定，也就是由下式表示：
''
'..()()()()()O O O O O O C R R R dR R βϕβϕυβϕυυυυυαα*⎡⎤=ψψ=⎣⎦⎰ (2-35) 式中()O R υψ是电子基态O 和振动态υ的振动波函数。

将(2-35)式代入(2-34)式，而且略去下指标O ，就可以得到伴随'υυ→振动跃迁光散射强度的表示式为
()'''240
41
()()L I A I c βϕυυυυυυβϕωω=+
(2-36) 式中的υ、'υ分别是两个振动态确定的布局数即q υυ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅和''
q υυ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，而
'υυω由下式确定：
'
'
'
()q q q q E E υυυυωυυω=-=-∑ （2-37）
式中的q 式简正坐标的脚码，表示可能出现的声子振动频率的个数。

在Placzck 近似条件下由n 态跃迁到n ′态的拉曼散射的光强还需做进一步的讨论。

若入射光沿着β方向偏振，沿φ方向观测散射光，则按(2-34)式可得到单位立体角内散射光强，为
'''
2
40
()L nn nn nn I I βϕωωα=+常数（）
(2-38)
因为极化率αβφ=αβφ（R ）取决于核的配置R ，所以可以将极化率按简正坐标Q s 展成以下的级数：
''',,1
=+2q q q qq q q
qq
Q Q Q βϕβϕβϕβϕαααα+
+∑∑（0）
(2-39)
这是所有量子数假设不变伴有n q →n q ′跃迁的极化率αβφ矩阵元。

若略去式中的Q q Q q ′正比项，则有
''
',()q q
q q
q q
q q n n n n n n Q βϕβϕβϕααδα=+（0）
（）
(2-40)
若n q =n q ′、'q q
n n
βϕβϕαα=（0）
（），则有ωnn =0，这是瑞利散射。

由（2-38）式知可以得到它的散射光强，为
2
4
()nn L I I βϕωα=常数（）
（2-41）
因为在式(2-40)中略去了(2-39)式中的二次项，所以瑞利散射光强与温度T 无关。

以下讨论拉曼散射光强：对第一级拉曼散射有n q ′=n q ±1，而斯托克斯散射有n q ′=n q +1。

由此可得
1212
,1,1,()(
)(1)2q q q q n n q n n q q q
Q n βϕβϕβϕαααω++==+（）
（2-42） 对于反斯托克斯散射有n q ′=n q −1，由此可得
1212,1,1,()(
)()2q q q q n n q n n q q q
Q n βϕβϕβϕαααω--==（） （2-43） 由(2-38)、(2-42)和(2-43)式可得拉曼散射强度表示式。

由(2-37)式可知：对斯托克斯和反斯托克斯散射分布有ωnn ‘=−ωq 和ωnn ‘=ωq 相应于这两个散射的光强分别为
()
4
2,()12Stokes L q q q
q
I n βϕωωαω=-+常数
（2-44）
4
2,()2Anti L q q q q
I n βϕωωαω=+常数 （2-45）
式中的q n 是某一元激发q 的平均布居数，若元激发是(热)声子，则它满足玻色一爱因斯坦分布即
1
exp()1q q B n k T ω-⎡⎤=-⎣
⎦ （2-46） 图2-3给出了声子平均布居数随温度增加而变化的情况：由于温度升高，处于较高能级的布居数也随之增加，分布状况发生了变化，使可能参与跃迁的声子“种类”有所增加，也就是拉曼谱峰中峰的数目增加，由原来的ω1，ω2两种，增加到ω1，ω2，ω3，ω4四种。

在小于100K 的低温区，仅实现了ω1（ϑq =50K ）的声子，随着温度增加又激发了ω2（ϑq =100K ），ω3（ϑq =200K ）和ω4（ϑq =400K ），三种声子且ω1>ω2>ω3>ω4。

图2-3 玻色．爱因斯坦分布得出的平均布居数随温度的变化 图2-3是低、高温能级布居数变化情况的示意。

拉曼散射光强与受激后跃迁的元激发数成正比，因此可以得出以下结论：I 1>I 2>I 3>I 4。

这就是拉曼谱中振动“热带”产生的原因。

由(2-46)式可得出参与热激发的声子数，为
B
q q
k n T ω=
（2-47）。