关于电荷分布及接地问题

有导体和电介质存在时的静电场

一、 关于自由电荷的分布

1.真空中有球形导体系统，A 是个球形导体，B 、C 为与A 同心的球壳导体。已知各导体带电量分别为C B A Q Q Q ,,，求从内到外五个导体表面上的电量54321,,,,q q q q q 分别为多少？ 答：由静电平衡可知，A 球电荷全部分布在A 球的外表面，A Q q =1

再应用高斯定理和电荷守恒定律可得：

B 球壳内表面：A Q q -=2

外表面：A

B Q Q q +=3

C 球壳内表面：)(4A B

Q Q q

+-=

外表面：A B C Q Q Q q ++=5

结论：当多层导体腔（不一定是球形）不接地时，每一导体的内表面带电量与它包围的电荷代数和等值反号，其外表面带电量等于该层导体的带电量与导体层包围的电量的代数和。当最外层接地时，接地层外表面不带电，其余各表面带电情况仍如上所述。

2.两个无限大不接地的带电导体平板A 和B 平行放置，电荷怎样分布？

按照作业中的情况利用静电平衡条件、静电场中的高斯定理及电荷守恒定律可以证明。 结论：对于两个无限大不接地的带电导体平行平板（不论各板带电量的大小和正负如何），相对的两面上面电荷密度总是等值反号，即内内B A σσ-=。相背的两面上面电荷密度总是等值同号，即外

外B A σσ=。

若其中有一个板的外侧接地，则相对的两面上面电荷密度总是等值反号，即内内B A σσ-=。相背的两面上面电荷密度总是等于零。以上结果详见课件中的例题

二、关于导体接地

1.接地导体附近有一个带电体时，接地端是否一定没有电荷？a 、b 两个图哪个正确？

当接地导体附近有一个带电体时，接地端不一定没有电荷。上图a 为正确的。即当导体靠近带电体的一端接地时，接地端仍有电荷。可用反证法证明：若接地端的负电荷电荷全部转移)(a )(b

到地球，远端保留正电荷（如图中（b ）），则必有电场线从这些电荷发出。这些电场线不能终止于B （同种电荷），也不能终止于自身或地球（等电势），也不能终止于无穷远处（因00===∞U ，U U A 及地），因此A 上不可能有正电荷，只可能有与B 的电荷异号的负电荷。A 上的负电荷应在靠近B 的一端，与接地在何处无关。

2.设有导体空腔A ，带有电荷+Q,空腔内有带电+q 的导体B 。问A 接地或B 接地的情况下，接地的导体面是否都没有电荷？

答：两种情况不一样。当外球壳A 接地时，其外表面的电荷全部转移到地球，球壳A 的内表面保留与内球B 具有等值异号电荷-q ，这样保证了导体的静电平衡条件和00===∞U ，U U A 及地。

当内球B 接地时，内球上的电荷与地球上的电荷可以相互转移，外球壳A 的内、外表面电荷也都重新分布，以达到导体静电平衡和接地内球B 的电势00===∞U ，U U B 及地的结果。静电平衡后，内球B 带电由q +变为'q -，外球壳的内表面带'q +，外表面带'q Q -。下面分别用反证法和定量计算论证内球B 一定带负电：

1． 反证法：假设达到静电平衡后内球B 仍带正电，则外壳A 的内表面带与之等量的负电，

A 的外表面带正电。于是一方面有电场线从内球

B 表面发出终止外壳A 的内表面，因为电场线总是从高电势点到低电势点，说有0=∞U U A 。于是同时有0A U 的互相矛盾的结论，所以此接地内球B 的电荷不能是正电，只能是负电。

2． 计算证明：设静电平衡后接地内球B 带电量1q （正负待定），则外壳A 的内表面还电1q -，

外表面带电1q Q +，由电势叠加原理和0=地U ，得内球的电势04443

01201101=++-+=R q Q R q R q U πεπεπε内 式中R1、R2、R3分别代表内球半径、外壳内半径和外半径。 由此式解出3

13221211R R R R R R R QR q ++-= 因3221R R R R < 故01

[结论] 当导体接地时，导体与地球等电势。接地端导体表面不一定没有电荷，有限大导体接地表面的电荷分布可由0=导体U 和0=∞U 共同决定。

3.A 、B 、C 是三块金属板，面积相等，AB 间距为AC 间距的二倍，B 和C 两板都接地，如图所示。设A 版带正电q ，不计边缘效应。（1）若平板间为空气（00.1≈r ε），求B 板和C 板上的感应电荷及A 板上的电势；（2）若在AB 间另充以5=r ε的均匀电介质，再求B 板和C 板上的感应电荷及A 板上的电势。

解：因为B 和C 均接地，与大地等电势，所以AB AC U U =

忽略边缘效应，所以这三块平行金属板间均为匀强场，

由S

q E r r εεεεσ00==及Ed U =可得 AB S

q AC S q r B r C

1020εεεε= 又因为21r r εε=，所以有

1

2==AC AB q q B C 又由静电感应可知，A 、C 相向两面带等量异号电荷，A 、B 相向两面也带等量异号电荷，有 0=++C B A q q q

所以有 A B q q 31

-=，A C q q 3

2-= 且 AB r B AB AB AC AB A d S q d E U U U 10)(εε=

== （2）问类似