矩阵微分方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九讲 矩阵微分方程
一、矩阵的微分和积分
1. 矩阵导数定义：若矩阵ij m n A(t)(a (t))⨯=的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可
微函数，则称A(t)可微，其导数定义为
ij m n da dA
A (t)()dt dt
⨯'== 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则
（1）d dA dB [A(t)B(t)]dt dt dt
±=±
（2）
d dA dB [A(t)B(t)]B A dt dt dt
=+ （3）d da dA
[a(t)A(t)]A a dt dt dt
=+
（4）
()
()()()tA
tA tA d d
e Ae e A cos tA A sin tA dt
dt
===- ()()()d
sin tA A cos tA dt
=
(A 与t 无关) 此处仅对tA
tA tA d (e )Ae e A dt
==加以证明 证明：
tA 2233223d d 111
(e )(1tA t A t A )A tA t A dt dt 2!3!2!
=++++=+++ 22
tA 1A(1tA t A )Ae 2!
=++
+=
又22
tA 1(1tA t A )A e A 2!
=++
+= 3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij
=⨯的每个元素ij a (t)都是区间
01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ]
上的积分为
1
100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n
⎛⎫
=⎰⎰ ⎪⎝⎭⨯
4. 矩阵积分性质
（1）1
1
1
000
t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±⎰⎰⎰
（2）1
1110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
（3）t b
a
a
d
A(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-⎰⎰
二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组
1
1111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dt
dx a x (t)a x (t)a x (t)
dt
⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪
⎨⎪⎪
⎪=+++⎪⎩ 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),=
ij a (i,j 1,2,,n)= 是常系数。
令
T 12n x(t)[x (t),x (t),,x (t)]= ，11121n 21
222n n1
n2
nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
则原方程组变成如下矩阵方程
dx
Ax(t)dt
= 其解为
tA tA x(t)e x(0)e c == −−−−→更一般的
0(t t
)A
0x (t )e
x (
t )-=
对该解求导，可以验证
tA dx(t)
Ae c Ax(t)dt
== 且t ＝0时，0A x(t)e c Ic c x(0)==== 表明x (t )确为方程的解，积分常数亦正确
例：求解微分方程组1
2
21
dx x dt
dx x
dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 初始条件为1122x (0)r x (0)r ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解：01A 10⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，tA f (A)e = → t f ()e λλ= o
1求出A 的特征多项式，12()(1)(j)(j)1
λ-ϕλ=
=λ+=λ-λ+λ
，
j = 1122j,m 1;j,m 1λ==λ=-= o 2定义待定系数的多项式 g()c c 01λ=+λ
o
3解方程
101
201
jt
g()f()e
cost jsin t c jc
1jt
g()f()e
cost jsin t c jc
2λ=λ==+=+-λ=λ==-=-
01c cost c sin t
=⎧⎨=⎩
o 4
01cos t
00sin t cos t sin t g(A)c I c A 0cos t sin t 0sin t cos t tA
f(A)e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
==
11212212r r c o s t r s i n t x (t )c o s t s i n t tA x(t)e x(0)sint cost r r cost r sint x (t)+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
1
1111221n n 122112222n n 2n n11n22nn n n dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)dt
dx a x (t)a x (t)a x (t)b (t)
dt
⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪
⎨⎪⎪
⎪=++++⎪⎩ 令
方程组化为矩阵方程
dx
Ax b dt
=+ 12n 1
2
n
11121n 21
222n n1
n2
nn T
x(t)[x (t),x (t),,x (t)]T
b(t)[b (t),b (t),,b (t)]a a a a a a A a a a ==⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦