控制工程基础第三版课件 第九章 非线性系统

饱和特性
e > +e0 + M, f (e) = ke , − e0 ≤ e ≤ +e0 − M, e < −e0
f(e) +M k -e0 0 +e0 -M e
R(s) + Gc(s) -
e
+M k -M
f(e) Go(s)
C(s)
死区特性
f(e) -∆e k e +M -∆e 0 +∆e -M f(e) e f(e) +e0 +M -∆e k e 0 +∆e -M -e0
滞环特性
f(e) +M -∆e -e0 k +M -∆e 0 f(e) +∆e e -M 0 f(e) e
+e0 e 0 +∆e -M
饱和滞环
继电滞环
齿轮间隙 滞环
摩擦特性
f(e) M2 M1 0 e
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相轨迹 1.相平面与相轨迹 二阶微分方程 独立变量
••
x+ f (x, x) = 0
• x 轴对称
若
f (x, x) = f (x,− x)
• •
•
x
x 0
则相轨迹对称于x 则相轨迹对称于 轴 • x 轴对称
若 f (x, x) = − f (x,− x)
• •
•
•
x
x 0
则相轨迹对称于 x 轴
•
• 原点对称 原点对称 若
f (x, x) = − f (−x,− x)
• •
•
x
x 0
dx/dt x
稳 焦点 定
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 相轨迹振荡趋于原点， 稳定焦点。 稳定焦点。
••
x+ 2ζωn x+ωn x = 0
2
•
−1 < ζ < 0
dx/dt x
不稳 定焦 点
相轨迹振荡远离原点， 相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点。 不稳定焦点。
••
x+ 2ζωn x+ωn x = 0
• •
dx f (x, x) 0 =− • = dx 0 x
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
x+ 2ζωn x+ω x = 0
2 n
•
试分析其奇点运动性质。 试分析其奇点运动性质。
••
x+ 2ζωn x+ωn x = 0
2
•
α
例：二阶线性定常系统
试用等倾线法作该系统的相平面图。 试用等倾线法作该系统的相平面图。 解：
等倾线方程为
1 x=− x 1+ α
•
1 x=− x 1+ α
•
α
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-1
-2 1
-3 1/2
0 -1
1
2
等倾线斜率 ∞
-1/2 -1/3
•
-1
x
α= -5/4 -3/2 -5/3 -2
-3/7 -3 -5 x -∞ 3 1 1/3 0 -3/4 -1/2 -1/3
2
•
ζ =0
dx/dt x
中 心点
相轨迹为同心圆， 相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点。 中心点。
••
x+ 2ζωn x−ωn x = 0
2
•
jω
dx/dt
σ
s 平面
x
鞍 点
系统特征根一正一负， 系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 迹先趋向于 然后远离原 称为鞍点 点，称为鞍点
• •
则 xα + f (x, x) = 0 相轨迹的等倾线方程
•
dx f ( x, x ) =− • dx x
•
=α
•
x=−
•
f ( x, x)
α
x=−
•
•
f ( x, x)
给定一个斜率值α 由等倾线方程 由等倾线方程， 给定一个斜率值α，由等倾线方程，便可以 在相平面上一条线， 在相平面上一条线，在这条线上的所有的点 的切线的斜率是相同的，均为α 的切线的斜率是相同的，均为α ，因此该线 等倾线。 称为等倾线 改变α的值， 称为等倾线。改变α的值，便可以作出若干 条等倾线充满整个相平面。 条等倾线充满整个相平面。
则相轨迹对称于原点 则相轨迹对称于原点
相平 面
x/ ω0
x 0
•
•
(0,10)
x
x
0
相 面 平
(0,-10)
4. 相轨迹的奇点
定义： 定义：二阶系统 x+ f (x, x) = 0 在相平面上满足
& x =0 & f (x, x) = 0
••
•
的点
在奇点上相轨迹的斜率不定， 在奇点上相轨迹的斜率不定，为
dx/dt
ζ >1
稳定节 点
x
相轨迹趋于原点， 相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
x+ 2ζωn x+ω x = 0
2 n
•
ζ < −1
dx/dt x
不 稳定节 点
相轨迹远离原点， 相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点。 不稳定节点。
••
x+ 2ζωn x+ωn x = 0
2
•
0 < ζ <1
3.相轨迹的运动特性 3.相轨迹的运动特性 相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹 右行； 右行； 下半平面的相轨迹 左行； 左行； 过实轴相轨迹斜率 ±∞。 为±∞。
•
右 行
x
增 幅、 增速 增 幅、 恒速 增 幅、 减速
减幅 、增 速 增幅 、恒 速 减幅 、减 速
0
垂 直穿 越 左行
x
相轨迹的对称性
•
•
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图 二阶系统如下，
••
x+ω x = 0
2 0
解：
•
f (x) = ω x
2 0
x⋅ d x = −ω x ⋅ dx
2 0
•
相平面
& x
x
得椭圆方程
& x +ω x = c2
2 2 2 0
0
等倾线法作图
••
x+ f ( x, x) = 0
•
思路： 思路：以切线代替曲线 相轨迹的斜率方程
0 +∆e
线性+ 线性+死区
0, f (e) = ke, e e
继电+ 继电+死区
+ M, < ∆e f (e) = 0, − M, ≥ ∆e
饱和+ 饱和+死区
e > +e0 e < ∆e ∆e ≤ e ≤ e0 e < −e0
+ M, e ≥ +∆e 0, e (e) = f < ∆e ke, e ≤ −∆e − M,
第七章 非线性系统分析 目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法 描述函数法
§7.1 控制系统的非线性特性
1.本质非线性特性的基本特征 1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理 不能采用线性化方法处理问题
2.典型的非线性特性 2.典型的非线性特性 继电特性
+ M, f (e) = − M, e>0 e<0
•
•
& x x
x
x 0
相平面
相轨迹
例：一阶线性系统
x+ ax = 0, 画出其相平面图。 解：
•
•
x0 = b
x
x 0 b
0
a<0
a>0
•
x
b x
2.相轨迹作图 2.相轨迹作图 解析法作图（ 解析法作图（适用方程不显含
••
& x）
x+ f (x) = 0
相轨迹方程
∫
xd x = ∫ − f (x)dx