高考数学 大一轮复习 高中数学常用公式及常用结论

高考必备——高中数学常用公式及常用结论

一、集合与简易逻辑 1．德摩根公式

∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )． 2．包含关系

A ∩

B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ⇔∁U B ⊆∁U A ⇔A ∩∁U B ＝∅⇔∁U A ∪B ＝R .

3.集合{a 1，a 2，…，a n }的子集个数共有2n

个；真子集有2n

－1个；非空子集有2n

－1个；非空真子集有2n

－2个． 4．真值表

p

q

非p p 或q

p 且q

真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假

假

真

假

假

5.充要条件

(1)充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件． (2)必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件．

(3)充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件． 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然． 二、函数

1．二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式f (x )＝a (x －h )2

＋k (a ≠0)； (3)零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．函数的单调性

(1)设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，那么 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f x 1－f x 2

x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔

f x 1－f x 2

x 1－x 2

＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

(2)设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f ′(x )＜0，则f (x )为减函数． 3．函数的奇偶性

(1)若函数y ＝f (x )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x －a )； (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )． 4．函数的对称性

(1)函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称 ⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )； (2)对于函数y ＝f (x )(x ∈R )，f (x ＋a )＝f (b －x )恒成立，则函数f (x )的对称轴是函数x ＝

a ＋b

2

；

(3)两个函数y ＝f (x ＋a )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝

a ＋b

2

对称；

(4)若f (x )＝－f (－x ＋a ) ，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2，0对称． 5．函数的周期性(约定a >0)

(1)f (x )＝f (x ＋a )，则f (x )的周期T ＝a ； (2)f (x )＝－f (x ＋a )，或f (x ＋a )＝1

f x

(f (x )≠0)，

或f (x ＋a )＝－

1

f x

(f (x )≠0) ，

或12＋f x －f 2

x ＝f (x ＋a )，(f (x )∈[0,1])，则f (x )的周期T ＝2a . 6．图象平移

若将函数y ＝f (x )的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y ＝f (x －a )＋b 的图象；若将曲线f (x ，y )＝0的图象右移 a 、上移b 个单位，得到曲线f (x －a ，y －b )＝0的图象．

7．分数指数幂

(1)a m n

＝n

a m (a ＞0，m ，n ∈N *

，且n ＞1)．

(2)a －m n ＝1a m n

(a ＞0，m ，n ∈N *

，且n ＞1)．

8．根式的性质 (1)(n

a )n

＝a ；

(2)当n 为奇数时，n

a n

＝a ； 当n 为偶数时，n

a

n

＝|a |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ，a ≥0，

－a ，a ＜0.

9．有理指数幂的运算性质 (1)a r

·a s

＝a

r ＋s

(a ＞0，r ，s ∈Q )．

(2)(a r )s ＝a rs

(a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r

＝a r b r

(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 10．指数式与对数式的互化式 log a N ＝b ⇔a b

＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0) 11．对数的换底公式

log a N ＝log m N

log m a

(a ＞0，且a ≠1，m ＞0，且m ≠1，N ＞0)．

推论log a m

bn ＝n m

log a b (a ＞0，且a ＞1，m ，n ＞0，且m ≠1，n ≠1，N ＞0)． 12．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N

＝log a M －log a N ； (3)log a M n

＝n log a M (n ∈R )． 三、导数

1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．几种常见函数的导数 (1)C ′＝0(C 为常数)． (2)(x n

)′＝nx

n －1

(n ∈Q )．

(3)(sin x )′＝cos x . (4)(cos x )′＝－sin x .

(5)(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1

x ln a .

(6)(e x

)′＝e x

；(a x

)′＝a x

ln a . 3．导数的运算法则 (1)(u ±v )′＝u ′±v ′. (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′. (3)⎝ ⎛⎭

⎪⎫

u v ′＝

u ′v －uv ′

v 2

(v ≠0)． (文)4.判别f (x 0)是极大(小)值的方法 当函数f (x )在点x 0处连续时，

(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则f (x 0)是极小值． 四、三角函数、解三角形 1．同角三角函数的基本关系式 sin 2θ＋cos 2

θ＝1；tan θ＝sin θcos θ.

2．正弦、余弦的诱导公式

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋α＝⎩⎪⎨⎪⎧

－1n

2

sin α，n 为偶数－1

n －1

2

cos α，n 为奇数

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋α＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－1n

2

cos α，n 为偶数－1

n ＋1

2

sin α，n 为奇数

3．和角与差角公式