第十二讲：不定方程的整数解

上海市中学生数学业余学校讲义
第十二讲 不定方程的整数解
【例题】
例1、求方程5x －9y =18整数解的通解.
例2、求方程90226=+y x 非负整数解.
例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解.（练习：求方程2510737=+y x 的整数解）
例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与
7617相邻且排在76
17之前的一个数.
例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.
例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。

如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。

如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.
例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数.
【练习】
1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
① 4x ＋2y =11, ②10x -5y =70, ③9x +3y =111,
④18x -9y =98, ⑤91x -13y =169, ⑥120x +121y =324.
2、求方程5x +6y =100的正整数解.
3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？
（答案：最多答对12题）
5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”.
（答案：⎪⎩
⎪⎨⎧===75250z y x 或
⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩
⎪⎨⎧===84412z y x ）
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第十二讲 不定方程的整数解（教师用）
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。

例如方程32=+y x ，或 方程组
⎩
⎨⎧=+-=-+235432z y x z y x ，它们的解都是不确定的。

象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程组。

如何求解整系数二元一次方程c by ax =+的整数解？
一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程c by ax =+中，
若b a ,的最大公约数能整除c,则方程有整数解。

即如果（a,b ）|c 则方程c by ax =+有整数解，显然b a ,互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。

二、二元一次方程整数解的求法：
若方程c by ax =+有整数解，一般都有无数多个，常引入整数t 来表示它的通解（即所有的解）。

t 叫做参变数。

整数解的通解的表达方式不是唯一的。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=
5111y -=y y y y 25
15101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是⎩⎨
⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法：
设c by ax =+ ① 有整数解，其中b a ,互质，且方程有一组整数解⎩⎨⎧==0
0y y x x ，则通解
是⎩
⎨⎧+=-=at y y bt x x 00其中t 为整数 证明：因为00,y x 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②，因此
c by ax at y b bt x a =+=++-0000)()(，
这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解。

反过来，若','y x 是方程①的解，则有c by ax =+''③，③-②得
)'()'(00y y b x x a --=-④，由于1),(=b a ，所以0'|y y a -，即at y y +=0'，其中t 为整数，代入④得bt x x -=0'，因此','y x 都可以表示为bt x x -=0，a y y +=0的形式，所以⎩
⎨⎧+=-=at y y bt x x 00表示方程①的一切整数解。

用公式法求解二元一次方程组的关键是找到一组特殊解。

例1、求方程5x －9y=18整数解的通解
解：特解2,000-==y x ，所以通解为⎩
⎨⎧+-==t y t x 529（t 为整数） 例2、求方程90226=+y x 非负整数解
解：因为2)22,6(=，所以方程两边均除以2得45113=+y x ，特解
3,400==y x ，所以通解为⎩
⎨⎧+=-=t y t x 33114（t 为整数） 由⎩⎨⎧≥+=≥-=0
330114t y t x （t 为整数），得01≤≤-t
当0=t 时，3,4==y x ；当1-=t 时，0,15==y x
例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解。

分析：这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。

解：用方程 213197=+y x ①的最小系数7除方程中的各项，并移项得
753230719213y y y x -+-=-=，因为y x ,为整数，故u y =-7
53也是整数，于是有375=+u y 。

再用5除以此式的两边得
5
23573u u u y -+-=-= 此时，由观察知2,1=-=y u 是方程的解。

从而25=x 。

于是方程①有一组解
2,2500==y x ，所以它的一切解为⎩⎨⎧+=-=t
y t x 721925
由于y x ,为正整数，所以1,0=t ，因此原方程的正整数解为
⎩⎨⎧==2
25y x 或 ⎩⎨⎧==9
6y x （课内练习：求方程2510737=+y x 的整数解）
（答案：t x 1078--= ，t y 373+=，t 为整数）
例4、将所有分母不大于99的最简分数从小到大排列，求与
7617相邻且排在7617之前的一个数。

解：设p q 是与符合条件的数，且p q 76
17<，其中n m q p ,,,为正整数，则07617>-q p ，于是17617≥-q p ，先考虑17617=-q p 中满足99≤p 且使p 最大的正整数解。

为此需先找到它的一个特解2,9==q p ，于是不定方程的通解为t q t p 172,769+=+=，t 为整数。

这时在条件99≤p 下，
p 最大为85，此时19=q 。

另一方面
p
q p q p 7676177617-=-，可知， 若27617≥-q p ，则 85
19761785761993813817627617-=⨯>⨯≥=≥-p p q p 所以在所给条件下，比
7617小且最接近它的数为85
19。

例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解。

解：原方程化简为 471325=++z y x ，（1） 把方程①分为两个方程 ⎩
⎨⎧=+=+(3)47(2)1325z u u y x 对于方程（2），由观察得u u u =⨯+-⨯213)(25
于是方程（2）的解为⎩⎨⎧+=--=1
125213t u y t u x （I ）
对于方程（3），不难看出417)3(1=⨯+-⨯
于是方程（3）的解为⎩
⎨⎧+=--=22173t y t u （II ） 由（I ）（II ）消去u 得⎪⎩
⎪⎨⎧+=-+-=+-=221211142567133t z t t y t t x （21,t t 为整数）
例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。

如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。

如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数。

解：设获得一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,人，于是由题意有
⎩⎨⎧=++=++)
2()1(284634
235z y x z y x 从（1），（2）中消去z ，得 2257=+y x （3）
由观察可得3,1==y x 是方程（3）的一组特解，所以（3）的解为
⎩⎨⎧+=-=u
y u x 7351 （4），将（4）代入（2）得102=-u z （5） 而10,0==z u 是方程（5）的一组特解，所以（5）的解为
⎩⎨⎧=+=t u t z 210，将t u =代入（4），得⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t x 2107351（t 为整数） 由于z y x ,,都是正整数，所以t 只能取0，于是得10,3,1===z y x ，
因此获得一、二、三等奖的人数分别为1人，3人，10人。

例7、求不定方程2196313029=++c b a 正整数解的组数。

解：将原方程变为)
2()1(2196)2()(312196
)2()(29⎩⎨⎧=+-++=++++b a c b a c b c b a 因为c b a ,,是正整数，由方程（1）得)2(2196)(29c b c b a +-=++
2193)121(2196=⨯+-≤，所以29
1875≤++c b a （3） 由方程（2）得2199)112(2196)2(2196)(31=+⨯+≥++=++b a c b a
所以，31
2970
≥++c b a ， 由（3）（4）得71=++c b a 或72或73或74或75 当71=++c b a 时，与原方程组合，解得,66,25+=-=a c a b 由1≥b ，得125≥-a ，解得1=a 或2。

此时原方程有2组正整数解。

同理，当75,74,73,72=++c b a 时，分别可得出原方程有17，33，24，10组正整数解。

因此，原方程的正整数解共有86102433172=++++组。

练习
1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
② 4x ＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
2、求方程5x+6y=100的正整数解。

3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？
（答案：最多答对12题）
5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题”。

（答案：⎪⎩
⎪⎨⎧===75250z y x 或
⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===81118z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x ）。