第八章 数学建模方法及其应用

方法:构造一个通过所 有离散测试点的函数， 构造这个函数过程就 用这个函数来逼近被测 称为插值 函数。
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8.2 插值拟合方法
还有许多这样的实例 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值 yi=f(xi) 或者给出函数表，希望构出能近似代替原来的函数
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8.2.2 插值算法
【例8-2】已知 x y
100 10 , 121 11 , 求 y 115
100 10 121 11
解: 这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11, 利用线性插值公式
x x0 x x1 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
( x ) -----f(x)的插值函数,
f(x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点
求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b],需要计算f(x)的近似值φ(x),则称x为插值点
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8.2.1
插值法的基本原理
用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的 形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数，因为 多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上 机计算，而且其导数与积分仍为多项式。用多项式作为研 究插值的工具，称为代数插值。 即求一个次数不超过n次的多项式
P( x) a2 x a1 x a0
2
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
使满足二次插值条件：
P( xi ) yi
(i 0,1,2)
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 的抛物线 y P(x) 近似代替曲线 y f (x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
数学建模方法
及其应用基础
浙江中医药大学信息技术学院
第8章 数学建模方法及其应用基础
1
2 3 4
数学模型概述 插值拟合方法
模糊数学建模方法
小结
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8.1 数学模型概述
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
• 玩具、照片、飞机、火箭模型… …
• 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … • 地图、电路图、分子结构图… …
x x1 x0 x1
l0(x)
x x0 x1 x0
l1(x)
li ( x) yi
i 0
1
称为拉格朗日基函数（线性插值）
满足条件 li(xj)=ij
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8.2.2 插值算法
基函数的性质
li ( xi ) 1 , li ( x j ) 0 ( j i ) , i , j 0,1
y0 +
x x0 x1 x0
y1
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
（线性插值基函数）
x x0 l1 ( x ) x1 x0
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8.2.2 插值算法
1 i j li ( x j ) ij 0 i j
y1 y0 P1 ( x ) y0 ( x x0 ) （线性插值多项式） x1 x0
=
x x0 x x1 P1 ( x ) y0 y1 y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合
x x1 x0 x1
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8.2 插值拟合方法
8.2.1 问题的提出
在生产实际中，连续函数往往只能由若干个离散点上 的值来表示，而难以得到具体的解析式
时间（时） 温度（ oC ） 4 25.6 8 27.2 12 36.9 16 34.4 20 26.8 24 24.3
40 30 20 10 0 0 10 20 30
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8.2 插值拟合方法
40 30 20 10 0 0 10 20 30
每隔4小时记录一次温 度，以反映某地一天的 气温变化状况 那么如何利用离散点值 来推测其余点上的函数 值,(如11、15、19点温度 ), 从而反映被测函数的 整体状况呢？
40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6
Pn ( x) a0 a1 x an x n
使得
pn ( xi ) f ( xi ), i 0,1, 2,, n
条件：无重合节点，即
i j xi x j
P1 ( x ) a0 a1 x
P ( x0 ) y0 , p1 ( x1 ) y1 1
, x y x0 y0 x1 y1
白箱 灰箱 黑箱
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8.1.3 建立数学模型的方法与步骤
观察 分析
收集 数据 确定主 要因素 简化 假设 及其相 互关系 建立 模型
实际 问题
数学 工具 模型 求解
模型 应用
检验 评价
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8.1.3 建立数学模型的方法与步骤
x y
x0 y0
x1 y1
百度文库
x2 y2
…… xn …… yn
y=p(x)
y=f(x)
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8.2 插值拟合方法
— 某动物实验中心为白鼠服用了某种新产品药物后，在对1 对白鼠在６周内的食物消费量（克,x )及6周间增加的体
（克,y)测量数据如下:
i
xi yi
200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
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8.1.2 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 、医学… 初等数学、微分方程、规划、统计 …
表现特性
确定和随机
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策 … …
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8.1.4 建立数学模型案例
【例8-1】有人借助英文词汇建立了一个用算法表述生活圆满 程度的数学模型： 1）将A、B、C、D、E、…、X、Y、Z这26个英文字母， 分别对应百分数1%、2%、…、26%这26个数值 2）对每一个英文词包含的字母进行对应百分数相加得到 该词的权重数，称其为生活圆满度。 用这个数学模型, 可算出人们所追求的生活圆满度百分比数: MONEY(金钱)：M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72% LEADERSHIP(权利)：L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=97% LOVE(爱情)：L+O+V+E=12+15+22+5=54% ATTITUDE(态度)： A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%
~ 实物模型
~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
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8.1 数学模型概述
• 你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
满足
P( xi ) f ( xi )
y
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。其几何意义如下图所示
y=P(x) y=f(x)
y1 x0 x1
yn xn x
定理5.1
n次代数插值问题的解是存在且惟一的
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8.2.2 插值算法
求n次多项式
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8.2.1
插值法的基本原理
yi f ( xi ),i 0,1,, n
函数y=f(x)给出一组函数值
x: y:
x0 x1 x2 …… xn y0 y1 y2 …… yn
其中x0 f1( x 2) ,…,xi 是区间[a,,b]上的互异点，要构造一个 ( xi ) ,x ,xi , n 0,1, n (插值原则、插值条件 ) 简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，使满足 这类问题称为插值问题。
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
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8.1.1 数学模型的概念 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据 其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的 数学工具，得到的一个数学结构。
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8.2.2 插值算法
P(x)的参数
a0 , a1 , a2
y
直接由插值条件决定，
即 a0 , a1 , a 2 满足下面
的代数方程组：
O y0 x0 y1 x1 y1 x2
y=L2(x) y=f(x) x
2 x0 2 x1 2 x2
x 121 x 100 p1 ( x) 10 11 100 121 121 100
y 115 p(115) 10.714
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8.2.2 插值算法
抛物插值 抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。 设已知f(x)在三个互异点 x0 , x1 , x2 的函数值 y0 , y1 , y2 要构造次数不超过二次的多项式
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
(i 0,1,2,, n)
满足
P( xi ) f ( xi )
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8.2.1
插值法的基本原理
P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
线性插值
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 使得
要构造线性函数 P1(x)=a0 + a1 x 使满足插值条件
P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 .
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8.2.2 插值算法
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750 求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
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8.1 数学模型概述 航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
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1
568 106
2
3
4
5
6
608 636 636 126 134 134
660 684 128 158
试确定白鼠体重 y 与白鼠之食物消费 量x 的函数关系
y=f(x)
那么，左边图形
的y=f(x)解析函 数如何求呢？
8.2 插值拟合方法
—血药浓度问题,为试验某种新药的疗效,研究人员对志愿者
用快速静脉注射方式一次注入该药30mg（毫克）后,在一定 的时刻t(h)采取血样,测得血药浓度C(μg/ml)（微克／毫升） 数据如下:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 t(h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 20 15 19.2 18.1 15.3 14.1 12.9 9.32 7.45 5.24 3.01 C(μg/ml) 1 5 6 10 5 试确定血药浓度C与时间 t 的函数关系 C=f(t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
•调查研究 了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征
形成一个比较清晰的‘问题’ •模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 •建立模型 用数学的语言、符号描述问题 各种数学方法、软件和计算机技术 与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、 适用性
•模型求解
•模型检验 •模型应用