流体力学-旋转流体动力学

r g)V
1 R0
1 p
1 Fr
gr
rr Ek2V 2k
r V
20
几个特征无量纲量
1.特征罗斯贝数
特征惯性力 U 2 / L R0 特征偏向力 U U / L 本质上与第三章的定义：R0 U / fL U / 2L sin
一致，是衡量旋转效应的一个重要量。
21
ห้องสมุดไป่ตู้
R0 U / L
dV
F
1
p
2V
dt
r daVa
r dV
rr 2 V
r 2R
dt dt
r dV
r F
1
p
r
2V
rr 2 V
r 2R
dt
偏向力 惯性离心力
12
万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
r dV
gr
1
r
p 2V
rr 2 V
dt
旋转流体力学运动方程
2R
F
g
13
地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
2 V 2k V
14
②地转偏向力的出现，完全是由于旋转参考系下观测 流体运动所产生的旋转效应。当坐标不旋转时，惯性 离心力和偏向力均不出现，运动方程退化为N-S方程
1
低压 高压
2
低压 高压
3
本章将主要介绍考虑地球旋转效应下的流体运动 主要内容
第一节 旋转参考系中的流体运动方程 第二节 旋转流体的无量纲方程和 Rossby 数 第三节 普鲁德曼—泰勒定理 第四节 地转流动
4
第一节 旋转参考系中的流体运动方程
惯性坐标系与旋转坐标系中的运动速度之间满足：
绝对速度 Va V Ve 牵连速度
相对速度
牵连速度：
r Ve
r
rr
5
Va V Ve
darr
drr
r
rr
dt dt
速度---矢径随时间的变化
引进微分算子：
da
d
r
dt dt
①②③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
6
A 对于任意矢量 ，满足：
da A dA A dt dt
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
d
r V
r
rr
r
r V
r
rr
dt
dt
daVa dV 2 V ( r ) dt dt
10
rr
daVa
dV
rr 2 V
r
r (
rr
)
dt dt
r
r (
rr
)
r
r (
r R)
2
r R
R
r
r daVa
r dV
rr 2 V
r 2R
dt dt
11
考虑不可压缩粘性流体的运动方程：
Fr
特征惯性力 特征重力
U2 /L g
24
第三节 普鲁德曼－泰勒定理
旋转与非旋转流体动力学的本质差别在于偏向力的作用。
普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有势力 作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度 将与垂直坐标无关，流动趋于两维化（流动是水平、 二维的）。
25
r
旋转流体运动方程：
在地球物理流体力学或大气动力学中，流体运动方
程大多数是采用旋转流体运动方程的（除小尺度运动
外）。但必须注意：旋转效应与流体运动的尺度密切
相关。
15
第二节 旋转流体的无量纲方程和Rossby数
为了进一步研究旋转流体运动的特征，通常需要对旋转 流体运动方程进行分析和简化。
本节将导出旋转流体运动的无量纲方程，为旋转流体运
第七章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。
假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
L g
U U L2
1
19
旋转流体运动的无量纲方程
1 T
r
V t
U L
rr (V g)V
L U
(
1 p)
g U
gr
L2
rr 2V 2k
r V
U L
L UT
r
V t
r (V
r g)V
1 U
1
p
g 2L
gr
L2
r 2V
r 2k
r V
RO
L
1/Fr
Ek
R0
L UT
r
V t
r (V
22
2.埃克曼数
Ek
特征粘性力 特征偏向力
U / L2
U
L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
Re
特征惯性力 特征粘性力
U2 /L
U/L2
UL
Ek R0 Re
23
3.旋转流体的弗雷德数
Fr
旋转惯性力 重力
(L) 2 g
/L
2L g
反映了旋转流体中旋转作用和重力作用的相对重要性
一般流体的弗雷德数
dV
1
p
gr
r
2V
rr 2 V
dt
无量纲方程为：
R0
L UT
r V t
r (V
r g)V
1 R0
1 p
1 Fr
gr
Ek
r 2V
r 2k
r V
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论偏向力有重 要作用的流体运动，此时，偏向力项远远大于运动的惯性 项和粘性项。
7
da d dt dt
上述算子只适用于矢量的情形，标量在绝对坐标系和 相对坐标系中的时间微商相同。
da F dF dt dt
8
牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：
daVa
dt
i
Fi
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
9
daVa dt
dVa dt
Va
r
daVa
由Rossby数的定义可知：
RO 1 ，地转偏向力的作用大，旋转效应重要； RO 1，地转偏向力的作用小，可不考虑地球的旋转效应。
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
动方程的分析和简化提供依据，并介绍旋转流体力学中
常用到的特征Rossby数。
16
一、选取特征尺度（特征值）
首先选取进行尺度分析所需的各物理量的特征尺度：
特征长度尺度：
L
特征速度尺度：
U
特征时间尺度：
T
重力加速度特征量：
g
密度特征量：
0
旋转参考系的自转角速度特征量： 17
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U 2、02 L2
考虑到讨论 U / L 1的极限情形，通常选取最大
有效尺度 02 L2 作为压力差的尺度。
18
二、旋转流体运动的无量纲方程
r dV
gr
1
r
p 2V
rr 2k V
dt
r
V
rr (V g)V
1
p
gr
r
2V
r 2k
r V
t
U T
U2 L
02 L2 g 0L
U
L2
U
1
U
T L