能带论 电场下的电子 弛豫时间 电导率公式

对于自由电子模型， 方程为
vd为电子在外场和碰撞下的平均速度，也成为漂移速 度。用它去处理固体中的输运过程称为漂移速度理论。 对于恒定电场的定态情况：
此时的电流密度为
其中n为参与导电的电子浓度。由欧姆定律 得到电导率为
上述理论描述的自有气体的简单唯象理论，对于布洛 赫电子，必须考虑到能带结构，不是所有电子都具有 相同的有效质量和驰豫时间，它们都和电子的状态k有 关，必须考虑电子状态按照能量的分布。
但是实验比热为：
其中第二项来自声子，第一项来自电子，与T成正比。 即使在室温下，Drude模型的电子比热数值要比实验大很 多。 Sommerfeld对此考虑了费米分布，得到了正确的比热与温 度关系。
二、满带、近满带、 金属、半导体
满带电子不导电
布洛赫电子准经典运动方程的一个直接结论是：如 果一个能带所有状态都被电子占据，那么这些电子 对电流没有贡献。
如果碰撞存在，那么电子的准经典运动方程，只在两
次碰撞之间的时间范围内适用。外场作用下电子获得
动量的增量 ，而碰撞使得电子失去这种增量，
它相当于是一个平均的阻力，正比于
。
它限制在外力作用下 的无休止增大，导致一种稳 定的状态。考虑了上述碰撞机制，电子动力学唯象方 程写成：
上面左边第一项为粒子加速项，而后一项代表碰撞效 应。
2.
空穴的能量应该是从满带中失去一个电子，系统能量的变化：
逸失电子在带内位置越低，需要更多的功，系统的能量越 高。如果令价带能量零点位于带顶，并且能带是对称的， 可以构造一个近满带对应的空穴能带，如图所示：
3. 从上面电子和空穴的能带图可以看出：
即空穴的速度等于逸失电子的速度
3.
因为有效质量反比于曲率： 对于空穴能带，这个值和价带电子的有效质量的大小 相等，符号相反。在价带顶附近 为负，而 为正。
§6.8 布洛赫电子在恒定电场中 的准经典运动
一、碰撞、驰豫时间、金属电导率公式 （Drude模型）
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从电子的准经典运动方程出发，得到违背实验的结果 （布洛赫振荡）。实验上，加一个恒定的电场总得到 一个恒定的电流。其原因在于准经典运动方程是一个 无碰撞机制的弹道方程。
自由电子完全忽略了离子实的散射，而布洛赫电子考 虑到了离子实的散射，但它作为严格的周期势出现在 薛定谔方程中，得到的布洛赫函数是一个定态解。
导体
绝缘体 Eg
半导体 Eg
对于一个具有N个初基元胞的晶体，每个能带可容纳 2N个电子。因此每个初基元胞中有奇数个价电子的
晶体时导体。(MnO等除外，Mn有7个价电子， 3d54s2。)
如果每个初基元胞中有偶数个价电子的晶体，如果 存在能带的重叠，则是导体； 如果存在小的能隙 （1 eV），则是半导体；如果存 在大的带隙，则是绝缘体。
如果在这个能带中放入一个ke态的电子，有
由此得到
由此可见，近满带的电流就如同一个带正电荷e的粒子 所荷载的，它具有逸失电子ke态电子相同的速度 这个假想的粒子称为空穴。一个缺少了少数电子的近 满带的性质应该由剩下的所有电子来决定，但也可以 用少数空穴取替代它。
2.空穴的性质
1.
如果满带中失去一个波矢为ke的电子，定义系统中剩 下电子的总波矢为空穴的波矢，有
能带论最大的成功就在于解释了金属、半导体和绝缘 体的性质差异的微观机理，这是自由电子气模型无法 解释的，因为在这种模型中，晶体的电导性质主要取 决于价电子的数目。
但存在一些能带论无法解释的情况，这是由于能带论 是建立在严格周期势场下的单电子近似的结果。
金属铜的能带
半导体硅的能带
4. 在外加电场，磁场中空穴的准经典运动方程为 空穴的运动方程是带正电荷的粒子的运动方程
导体、绝缘体和半导体的能带特征
在一种固体中，存在着未填满的能带，那么它必定 是导体。
如果所有能带中，只有全满带或者全空带，那么它 是绝缘体。
半导体在绝对零度下，所有能带是全满或者全空。 但禁带很窄，在有限温度下有少量的满带电子被激 发到空带中，形成少量空穴的价带和少量电子的导 带。
固体能带具有对称性：
根据
得到
一个能带对电流的贡献，是所有电子携带电流的求 和：
对于一个完全填满电子的能带，每个电子都携带一定 的电流，但由于有一个k态的电子，必然有一个-k态 的电子，所以：
近满带和空穴
1.空穴的引入
满带一旦缺少了少数电子，就构成近满带，就会具 有一定的导电性。假设满带中少了一个ke的电子：
实际上，碰撞或散射总是存在的。任何导致偏离周 期势的机制（晶格振动或者晶格中的缺陷）都将散 射电子，改变电子的速度。这种碰撞是无规的，我 们定义电子两次碰撞之间的平均自由时间为τ，而 1/τ就是碰撞概率。
只有当τ远大于TB（布洛赫振荡周期）时候，即在 两次碰撞间电子的k空间移动的距离远大于布里渊区 的尺度时，才能观测到布洛赫振荡。也就是只有样 品几乎是理想晶体，且温度很低的时候，才有可能 观测到布洛赫振荡。
以上推导基于Drude模型，该模型首次尝试 使用电子气来解释金属的一些行之，它有以 下几个假设：
电子只受到原子核散射
两次散射之间，电子之间无相互作用， 电子与原子核也无相互作用
碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度
电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
Drude模型在电子导电方面获得了比较好的结果，但是在 电子比热方面有很大问题，它预测电子比热为：