测量精度

测量精度指测量的结果相对于被测量真值的偏离程度。在测量中，任何一种测量的精密程度高低都只能是相对的，皆不可能达到绝对精确，总会存在有各种原因导致的误差。为使测量结果准确可靠．尽量减少误差，提高测量精度．必须充分认识测量可能出现的误差，以便采取必要的措施来加以克服。通常在测量中有基本误差、补偿误差、绝对误差、相对误差、系统误差、随机误差、过失误差与抽样误差等。

•测量误差及其产生的原因

•测量误差的分类与处理原则

•偶然误差的特性

•精度评定的指标

•误差传播定律及其应用

一、观测误差

当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。

用数学式子表达：△i = Li – X (i=1,2…n)

L —观测值X—真值

二、测量误差的来源

测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：

1、仪器的原因

①仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。

DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。

使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。

②仪器构造本身也有一定误差。

例如：

水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角误差或交叉误差。

水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。

2、人的原因

观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。

3、外界条件

例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。

人、仪器和外界环境通常称为观测条件；

观测条件相同的各次观测称为等精度观测；

观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。

三、测量误差的分类

先作两个前提假设：

①观测条件相同.

②对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。

先看两个实例：

例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。

丈量结果见下表5-1：

可以看出：

误差符号始终不变，具有规律性。

误差大小与所量直线成正比，具有累积性。

误差对观测结果的危害性很大。

例2：

在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。

大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右

可以看出：

②从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。

②多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响

引进如下概念：

1.系统误差---- 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。

2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。

3.粗差----观测中的错误叫粗差。

例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。

一旦发现，应及时更正或重测。

(二) 测量误差的处理原则

在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。

系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。

消除系统误差的常用的有效方法：

①检校仪器：使系统误差降低到最小程度。

②求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。

③采用合理的观测方法：如对向观测。

研究偶然误差是测量学的重要课题。

消除或削弱偶然误差的有效方法：

①适当提高仪器等级。

②进行多余观测，求最或是值。

偶然误差的特性

⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；

⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；

⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；

⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。

用公式表示为：

[]

lim

lim2

1=

∆

=

∆⋅⋅⋅+

∆

+

∆

∞

→

∞

→n

n n

n

n

实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。

若误差的个数无限增大(n →∞)，同时又无限缩小误差的区间d △，则图5-1中各小长条的顶边的折线

就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P 。 即当n →∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。 正

态

分

布

曲线的数学方程式为

e

f y σπσ

221

)(22

∆=

∆=-

σ

为标准差，标准差的平方为

σ

2

方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：

正态分布曲线的数学方程式为 :

e f y σπσ

221)(2

2

∆=

∆=- ， []n

n

n n n ∆∆∆∆∞

→∞

→=⋅⋅⋅++=2222212lim lim σ，[][]n

n

n n ∆∆±

=∆=∞

→∞

→lim

lim

2

σ

从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:

1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。

2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之，△愈大，f(△)愈小。当n →±∞时，f(△) →0,这就是偶然误差的第一和第二特性。

3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标： △拐=±

如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特征。

观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ； 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；

具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降； 具有 较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。

e

f y σ

πσ

221

)(∆=

∆=-

最大纵坐标点：σ

π21