矩阵的计算方法

,
A2 B2
A2
b3 2b 3b2
2b2 1 b3 2b
,
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ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
a2 0 0
2a2 1 a3 a
0 0
0
0 b3 2b
A1 B1
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0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A2
B2
b 1
1 b b 1
0 2b b 2
1 , 2b
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A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
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例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
a
A
0 00
1 a
1 1
0 0
1 1
0 0
bb
B1 BB32
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a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
A1
A
A2
O
O
,
As
其中 Ai i 1,2, s 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
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A1
o 6设 A
A2
o
, As
若 Ai 0i 1,2, , s,则 A 0,并有
A11
0 b 1
0 1 b
C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
0 1
a 0
0 b
0
1
C1 C3
C2 C4
0 1 1 b
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a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
A E
O B
,
其中OBEA
ab01 10
01 0ba1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成 11 00 0 0 00
AA
00 1111
1 22 11
00 11 00
0 0 1
0 0 1
EA1
O E
,
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1 0 1 0
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(4) 转置
A11 A
A1r
A1T1 AT
AsT1
As1 Asr
A1Tr
AsTr
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A1
A
A2
O
O
A
A1
A2
As .
As
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A1
A
A2
O
O
As
A可逆 Ai可逆i 1,2, , s且
As1
A1r
.
Asr
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例
2,
1 A 3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2 A 32 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2
4 4 6 6 4 2 .
8 10 12
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3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
, B
Asr
Bs1
B1r
Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
A11 B11 A B
As1 Bs1
A1r B1r .
Asr Bsr
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2
设
A
A11
As1
A1r ,
为
数,
那
末
Asr
A11 A
0
0
A2 B2
2a 1 0 0
1 0
2a 0
0 2b
0 1
.
0 0 2 2b
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ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1 A1
0 ,
0
A2B2 A2
A1B1 A1
a
3 a2
a
2a2 1 a3 a
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 0
0 ,
A2
其中
a
A1
0
b
A2
1
1 , a 1 ; b
a
B
1 0
0
0 a 0 0
0 0 b 1
0
0 0
B1 0
b
0 ,
其中
B1
a 1
B2
B2
b 1
0 , a 0 ; b
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A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
Z , Y
则 B 0
D X C W
Z E Y 0
0 . E
BX DW E,
BZ
DY CW
O, O,
CY E.
X B1,
Z
Y C 1, B1DC 1,
W O.
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因此
A1
B 1 O
B 1 DC C 1
1
.
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k 1
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4
设
A
A11
As1
A1r
A1T1
, 则 AT
Asr
AA1Tr1Tr
AAssTT11
.
AsTr
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
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A11 A
As1
A1t , Ast
B11 B
Bt1
B1r , Btr
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Bij
的行数, 那末
C11 C1r
AB
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1, , s; j 1, , r .
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A1
A2
A3
A4
,其中A2431
a0 01b
0 1 1 b
1b0
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二、分块矩阵的运算规则
二、分块矩阵的运算规则
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A11 A
As1
A1r
B11
1 5
;
A21
1 2
1; 3
A1
A11 O
O A21
1
5 0
0 1
0 1.
0 2 3
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三、小结
三、小结
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法 若A与B相乘,需A的列的划分与B的划分相一致
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
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于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
A1 diag A11, A21, , As1 .
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思考题
思考题
设 A B D ,其中B和C都是可逆方阵, 0 C
证明A可逆, 并求A1 .
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思考题解答
思考题解答
证 由B,C可逆, 有 A B C 0, 得A可逆.
设 A1 X W
o
A1
A21
o
. As 1
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A1 0 0 B1 0 0
7
0
A2
0 0
B2
0
0 0 As 0 0 Bs
A1B1
0
0
0 A2B2
0
0
0
.
AsBs
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例1 设
1 0 0 0
A
0 1
第二章 矩阵及其运算
第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结 思考题
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一、矩阵的分 块
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了
简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的
运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将
矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子
0 3
13 .
1 1 3 1
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a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
0 b
0 1
,
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
0 0
0 0 1 b
求 A B, ABA.
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解 将 A, B分块
a 1 0 0
A
0 0
0
3b2
0
0 2b2 1 b3 2b
.
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5 0 0
例3 设 A 0 3 1, 求 A1.
0 2 1
解
5 A 0
0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O ,
A2
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
1, 1
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A11
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
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AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1