从一道高考题谈学生多种思维的培养

从一道高考题谈学生多种思维的培养-中学数学论文

从一道高考题谈学生多种思维的培养

青海省大通县第一完全中学马维军

立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查，又承载着对空间想象能力的考查，因此学习立体几何重点应放在培养观察能力、作图能力和想象能力上. 学习立体几何的思维方法可分为分析性思维和综合性思维两大类，而求同思维和求异思维又是分析性思维的主要形式[1,2].在立体几何教学中，通过一题多解，可以较好地锻炼学生的各种思维能力[3,4]，因此在教学中会经常使用。

下面结合2011年全国新课标高考理科第18题(立体几何题)来阐述如何培养学生的多种思维，原题是这样的：如右图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD。（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦。

这个问题的第一问是证明PA⊥BD。我们知道PA⊥BD是线线垂直，欲证明空间中两线垂直，一般的思路是使用线面垂直、三垂线定理、内积为零或者平移来做，但本问题平移到一个平面并不十分有效，所以第一问的证法有三种策略。策略1：利用线面垂直，由于P D⊥底面ABCD，故PD⊥BD，若能证明BD⊥AD，则BD⊥平面PAD，从而BD垂直于平面PAD内的任意一条直线，因此PA⊥BD。在这种策略下，只需要证明BD⊥AD即可，而BD⊥AD是平面上两条直线的垂直问题，在平面上证明垂直的关键是夹角为90°。这可以使用多种方法进行证明，

例如使用余弦定理、正弦定理、勾股定理、几何方法(垂线、中线、做菱形)等都是证明BD⊥AD的有效证法，这里从略。

策略2：利用三垂线定理，由于PD⊥底面ABCD，故AD是PA在底面ABCD 的投影，若能证明BD⊥AD，则利用三垂线定理可知PA⊥BD。在这种策略下，只需要证明BD⊥AD即可，而BD⊥AD的多种证法已经在策略1中给出。

通过上述分析我们不难得到，经过适当的排列组合，第一问的证明方法已经不下20种！这些方法的核心是证明线线垂直，而采用的方法包含线面垂直、三垂线定理、内积为零或者平移等。这些解题策略中，具体要使用哪些策略就需要我们平时善于观察、善于积累了，因此在平时的教学中，我们可以有意识地培养学生在这方面的能力，将能解决同一类问题的解决办法进行归类，使学生能够灵活运用。

下面我们来看这个问题的第二问，若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦。一般情况下，计算二面角的方法很多，下面我们先给出本问题的几种策略。

策略1：向量方法，利用法向量的内积算余弦，这里有两种不同的建立坐标系方法，同时法向量的内积可以使用数性积，亦可使用实性积，因而使用向量证明第二问有4种方法。

策略2：二分法，将所求的二面角A-PB-C用第三个半平面分成规则的两个二面角，再用常规思路便易于求解。解题的关键是作DE⊥PB交PB于E，因此二面角A-PB-C等于∠AED+90°，因此二面角的余弦值就等于-sin∠AED，而sin∠AED 的计算可以采用面积公式、海伦公式或勾股定理等。

策略3：定义法，作DE⊥PB交PB于E，过E作EF∥BC，交PC于F，由于BC⊥PB，故EF⊥PB，所以∠AEF是二面角A-PB-C的平面角。然后利用射影定理及余弦定理计算二面角A-PB-C的余弦。这个方法比较麻烦，但也是思考问题的一个方向。

通过第二问的上述解法我们不难看到，第二问的求解方法也有10多种！事实上，除了上述我们使用的方法外，计算两个平面所成的二面角还可以使用的方法很多，如找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；二面角的余弦值等于某一个半平面内的一个平面图形在另一个半平面的射影的面积和该平面图形的面积的比值；过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影求解；当两个半平面所成的二面角为钝角时，常考虑延展其中一个半平面，转化为求其补角的大小；若要求的二面角无棱时，根据题目要求可考虑通过平移二面角的一个半平面求其内错角的大小等。在这些方法中，有些比较简单，而另外一些方法就非常麻烦，各种方法还使用了不同的数学知识点。在历年的立体几何高考题中，求二面角的大小几乎是必考的内容，二面角的求法理所当然成为高三复

习的重点，这就要求我们的学生在平时的学习中要积累数学中的各个知识点，同时要加强理论证明和计算的训练。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州:浙江教育出版社,1993.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社,1997.

[3]王千.如何认识一题多解的教育功能[J].数学通报,2004,(9).

[4]唐绍友.也谈一题多解教学[J].数学通报,2005,(8).