最新14.3.1-空间直线与平面的位置关系(含答案)

【课堂例题】

例1.如图长方体中,令,,,A B C D 所在平面为α,试判断下列哪些说法是正确的?并简述理由.

(1)直线1AA 与平面α垂直;

(2)直线1BB 与直线AC 垂直;

(3)直线1A B 与平面α垂直;

(4)直线1AA 与直线1AC 垂直.

例2.求证:若两条平行线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

例3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱1,,AA AB AD 的长分别为3,4,5,求下列距离:

(1)点B 和平面

1111A B C D 的距离;

(2)直线1CC 和平面11ADD A 的距离;

(3)平面1A B 和平面1DC 的距离;

(4)异面直线1A B 和1CC 的距离.

【知识再现】

1.线面垂直的定义： .

2.定理2(线面垂直判定定理)： .

3.异面直线的公垂线是指与两条异面直线分别 且分别 的直线,其夹在两条异面直线间的线段的长叫做这两条异面直线的距离.

【基础训练】 1.如图，90BCA ︒∠=，PC ⊥平面ABC ，则在

,ABC PAC ∆∆的边所在的直线中：

(1)与PC 垂直的直线有 ；

(2)与AP 垂直的直线有 .

2.根据下列条件能否判断直线与平面图形所在平面垂直:

(能够的，画“√”；不能的，画“×”)

(1)直线垂直于三角形的两条边( );

(2)直线垂直于梯形的两条边( );

(3)直线垂直于圆的两条直径( ).

3.如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，

竖立在桌面上，

折痕与桌面的关系是 .

4.如下左图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1

(1)点A 到平面11BB C C 的距离为________________；

(2)直线11B D

和平面

ABCD 的距离为________________；

(3)直线11A B 和平面11ABC D 的距离为________________.

5.如上右图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有一条长为10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一条直线上),.C D 如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

6.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，写出下列异面直

线的公垂线并求异面直线的距离.(1)AB 和1DD ；(2)1AA 和

1BC ；(3)1AD 和1B C .

7.如图，已知,PA PB αβ⊥⊥，垂足分别为,,A B 且

αβ求证：l ⊥平面APB

【巩固提高】

8.在Rt ABC ∆中，两直角边,AC BC 的长分别为9、12，PC 垂直于平面ABC ，6PC =，求点P 到斜边AB 的距离.

9.下列正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)

A.一条直线与平面上的两条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直;

B.平行线中的一条与平面不垂直，那么另一条也不与这个平面垂直；

C.过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；

D.过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；

E.若直线与平面不垂直，那么直线与该平面内的任何一条直线都不垂直;

F.若直线与平面上的每一条直线都垂直，那么直线与这个平面垂直;

G.垂直于同一个平面的两条直线平行;

H.与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线；

I.一条直线上有两点到一个平面距离相等，且距离大于零，则直线与平面平行；

J.有无数条直线与两条异面直线都垂直；

K.有且仅有一个平面经过两条异面直线中的一条且与另一条平行；

L.异面直线的公垂线有且仅有一条.

(选做)10.(以下两题任选一题)

(1)如下左图，长方体1111ABCD A B C D -，写出一个可以确保1BC ⊥平面11DA B C 的条件，并证明之.

(2)如下右图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，试画出异面直线1A B 和11B D 的公垂线并求它们的距离.

【温故知新】 11.已知向量(1,2),(,2)a b m =-=-满足()a a b ⊥-，则实数m = .

A

A 1

【课堂例题答案】

例1. (1)正确;(2)正确;(3)错误;(4)错误

例2.证:在平面α内任取两条相交直线,a b 交点为M

,,,l a b l a l b ααα≠≠⊂⊂⊥⇒⊥⊥

又由于//l m ,因此,m a m b ⊥⊥

,,,,m a m b a b a b M m ααα≠≠⊂⊂⊥⊥=⇒⊥

证毕

例3.(1)1||3BB =;(2)||4DC =;(3)||5AD =;(4)||5BC =

【知识再现答案】

1.如果一条直线与一个平面上的任何直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.

2.如果直线与平面上的两条相交都垂直,那么直线与平面直线垂直.

3.相交;垂直

【习题答案】

1.(1),,AC CB AB ;(2)CB

2.(1)√;(2)×;(3)√.

3.垂直

4.(1)1;(2)1;(3)

2

5.2226CB CB AB AC AB CB =⇒+=⇒⊥,同理AB BD ⊥又,CB BD 是地面上的两条

相交直线,因此AB 与地面垂直. 6.(1)1;(2)1;(3)1

7.证:,PA l l PA l α⊂⊥⇒⊥≠,同理PB l ⊥,又PA

PB P l =⇒⊥平面APB 证毕

提示:若过P 作PH AB ⊥于H .

连结CH ,可证明CH AB ⊥,

求出CH 后利用勾股定理求PH .

9.BCDFGJKL

10. (1)答案不唯一,条件:11BC B C ⊥ 证:111111111,A B B C A B B B A B ⊥⊥⇒⊥平面11BCC B

11111,A B B C BC B C B C ⇒⊥⊥⇒⊥平面11DA B C

(2)取11A B 中点M ,连结1,AM C M 分别交111,A B D B 于点,E F ,再连结EF ,则直线EF 即异A