应用实例:原子弹爆炸的能量估计
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0.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 97.3 62.0 185.0 *������的单位为 ms, ������的单位为 m. 然后通过量纲分析法建立了蘑菇云半径������与时间������和爆炸能量������的关系式,利用上述数据 最后求出了爆炸的能量. 二. 数学模型 考虑到原子弹爆炸在极短的时间内释放出巨大的能量,蘑菇云半径������主要与时间������、爆炸 能量������、以及空气密度������等几个参数有关. 通过仔细分析这几个量的单位,采用量纲分析法得 到如下的蘑菇云半径的近似表达式:
0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0
0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0
– 20 –
0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0
−2.236068
0
������ = ������(3) =
0Hale Waihona Puke 0 [0根据算法 6.3,需求解方程������1������ = ������,其中
−3.354102
0.790569
0
.
0 0]
������1 = [−2.2306068 −03.7.39504516092] ,
������ = [−04.3.29096810373].
– 21 –
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
0.10 11.1 0.80 34.2 1.50 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5
解得:������ = [1.1225 0.5057]������,即拟合公式为���̃��� = 1.1225 + 0.5057������,它与例 6.6, 6.7 得到的
结果是一样的.
根据表格函数与其函数值向量的对应关系可证明,算法 6.3 与通过 Gram-Schmidt 正交
化过程求最佳逼近函数的方法在数学上是等价的. 不同之处在于:前者不涉及正交函数族,
应用实例:原子弹爆炸的能量估计
一. 问题背景
1945 年 7 月 16 日,美国科学家在新墨西哥州 Los Alamos 沙漠试爆了世界上第一颗原子弹,这一事件令全球震惊. 但在当 时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的,而很多其他国家的
科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大. 两年之后,美国政府首次公开了这次爆炸的录像带,而其
他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家 G. I. Taylor
(1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带,建立数学模型对爆 炸所释放出的能量进行了估计,得到估计值与若干年后正式公
布 的 爆 炸 能 量 21 kt 相 当 接 近 (1 kt 为
1 千吨 TNT 炸药的爆炸能量).
图(A) 原子弹爆炸的蘑菇云.
比. 图(B)是根据蘑菇云半径与对应时刻的数据
画出的散点图,它大体反映了这个趋势. 接下
来的问题是如何求未知的参数������.
三. 求解过程
首先,改写蘑菇云半径的公式为������ = ������������������的
形式,通过测量数据拟合出参数������和������,来验证
量纲分析法得到的公式. 要作线性最小二乘拟
近,从而验证了量纲分析得到的公式.
为了更为准确地计算爆炸能量������,将蘑菇云半径公式改写为:
������ 5ln������ − 2ln������ = ln (������) .
此时可根据测量数据得到5ln������ − 2ln������对应的一组数据,将它拟合为 0 次多项式(常数),设
1
������2������ 5 ������ = ( ������ ) .
其中������, ������, ������的单位分别为米(m), 秒(s)和焦耳, 而空气密度������的值为1.25 (kg⁄m3). 对这次原 ������
2
子弹爆炸来说,������为一固定值,因此������与������5成正
直接 得到原基函数 对应的拟 合系数 ;前者 的主要计 算是 矩阵 的 QR 分解,它 可通过
Householder 变换或 Givens 旋转变换等不同方法实现. 由于算法 6.3 直接利用矩阵的 QR 分解
的特点,它更易于实现和应用,而且稳定性比算法 6.2 好. 最后说明一点,若初始的表格函
数������1(������), … , ������������(������)线性相关,矩阵������不是列满秩的,QR 分解也能进行,但得到的上三角阵������1奇 异. 可以证明,这种情况下有无穷多个最小二乘解,详细的讨论请参考[6].
Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢?主要是通过测量爆
炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的(如图(A)). 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传
播,爆炸的能量越大,在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过 研究录像带,测量了从爆炸开始的不同时刻������所对应的蘑菇云半径������(������),如下表所示.
合,进一步改写公式为: ln������ = ln������ + ������ln������ .
根据测量数据我们得到ln������和ln������的数据,将它
������ 图(B) 蘑菇云半径与对应时刻的数据
们的函数关系拟合为 1 次多项式,得到系数������ = 0.4094,其值与前面分析的结果2/5非常接
−4.206133
���̃���
=
������(3)
=
������(2)
−
2
������2������ ������(2) ������2������ ������2
������2
=
0.399807 −0.00475013 0.000951283
,
[ 0.00195269 ]
此时矩阵������经变换为:
得到拟合系数为 c,则
������ ≈ ������ ∙ ������������ .
根据此方法算出������ ≈ 8.6418 × 1013,单位为焦耳,查表得知 1kt=4.184× 1012焦耳,因
此爆炸能量约等于 20.65 kt.
6.4 函数插值与拉格朗日插值法
函数插值可看作一种“特殊”的函数逼近问题,其逼近采用的“度量”准则是要求在插 值节点处误差函数的值为 0. 本节先介绍关于插值(interpolation)的一些基本概念,然后讨论 最简单的一种多项式插值——拉格朗日插值法.
0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0
0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0
– 20 –
0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0
−2.236068
0
������ = ������(3) =
0Hale Waihona Puke 0 [0根据算法 6.3,需求解方程������1������ = ������,其中
−3.354102
0.790569
0
.
0 0]
������1 = [−2.2306068 −03.7.39504516092] ,
������ = [−04.3.29096810373].
– 21 –
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
������
������(������)
0.10 11.1 0.80 34.2 1.50 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5
解得:������ = [1.1225 0.5057]������,即拟合公式为���̃��� = 1.1225 + 0.5057������,它与例 6.6, 6.7 得到的
结果是一样的.
根据表格函数与其函数值向量的对应关系可证明,算法 6.3 与通过 Gram-Schmidt 正交
化过程求最佳逼近函数的方法在数学上是等价的. 不同之处在于:前者不涉及正交函数族,
应用实例:原子弹爆炸的能量估计
一. 问题背景
1945 年 7 月 16 日,美国科学家在新墨西哥州 Los Alamos 沙漠试爆了世界上第一颗原子弹,这一事件令全球震惊. 但在当 时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的,而很多其他国家的
科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大. 两年之后,美国政府首次公开了这次爆炸的录像带,而其
他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家 G. I. Taylor
(1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带,建立数学模型对爆 炸所释放出的能量进行了估计,得到估计值与若干年后正式公
布 的 爆 炸 能 量 21 kt 相 当 接 近 (1 kt 为
1 千吨 TNT 炸药的爆炸能量).
图(A) 原子弹爆炸的蘑菇云.
比. 图(B)是根据蘑菇云半径与对应时刻的数据
画出的散点图,它大体反映了这个趋势. 接下
来的问题是如何求未知的参数������.
三. 求解过程
首先,改写蘑菇云半径的公式为������ = ������������������的
形式,通过测量数据拟合出参数������和������,来验证
量纲分析法得到的公式. 要作线性最小二乘拟
近,从而验证了量纲分析得到的公式.
为了更为准确地计算爆炸能量������,将蘑菇云半径公式改写为:
������ 5ln������ − 2ln������ = ln (������) .
此时可根据测量数据得到5ln������ − 2ln������对应的一组数据,将它拟合为 0 次多项式(常数),设
1
������2������ 5 ������ = ( ������ ) .
其中������, ������, ������的单位分别为米(m), 秒(s)和焦耳, 而空气密度������的值为1.25 (kg⁄m3). 对这次原 ������
2
子弹爆炸来说,������为一固定值,因此������与������5成正
直接 得到原基函数 对应的拟 合系数 ;前者 的主要计 算是 矩阵 的 QR 分解,它 可通过
Householder 变换或 Givens 旋转变换等不同方法实现. 由于算法 6.3 直接利用矩阵的 QR 分解
的特点,它更易于实现和应用,而且稳定性比算法 6.2 好. 最后说明一点,若初始的表格函
数������1(������), … , ������������(������)线性相关,矩阵������不是列满秩的,QR 分解也能进行,但得到的上三角阵������1奇 异. 可以证明,这种情况下有无穷多个最小二乘解,详细的讨论请参考[6].
Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢?主要是通过测量爆
炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的(如图(A)). 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传
播,爆炸的能量越大,在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过 研究录像带,测量了从爆炸开始的不同时刻������所对应的蘑菇云半径������(������),如下表所示.
合,进一步改写公式为: ln������ = ln������ + ������ln������ .
根据测量数据我们得到ln������和ln������的数据,将它
������ 图(B) 蘑菇云半径与对应时刻的数据
们的函数关系拟合为 1 次多项式,得到系数������ = 0.4094,其值与前面分析的结果2/5非常接
−4.206133
���̃���
=
������(3)
=
������(2)
−
2
������2������ ������(2) ������2������ ������2
������2
=
0.399807 −0.00475013 0.000951283
,
[ 0.00195269 ]
此时矩阵������经变换为:
得到拟合系数为 c,则
������ ≈ ������ ∙ ������������ .
根据此方法算出������ ≈ 8.6418 × 1013,单位为焦耳,查表得知 1kt=4.184× 1012焦耳,因
此爆炸能量约等于 20.65 kt.
6.4 函数插值与拉格朗日插值法
函数插值可看作一种“特殊”的函数逼近问题,其逼近采用的“度量”准则是要求在插 值节点处误差函数的值为 0. 本节先介绍关于插值(interpolation)的一些基本概念,然后讨论 最简单的一种多项式插值——拉格朗日插值法.