递推关系

例题
• 设有集合A={a,b,c}，an表示A的a不相邻的n-可重 排列的个数。求an 。
an 2an 1 2an 2 (n 3) a1 3 a 8 2 an 2an 1 2an 2 (n 2) a0 1 a 3 1
例题：斐波那契数列
• 兔子数列 • (1202)一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。把一对小兔子（雌、 雄各一只）在某年的开始放到围栏中。如果所有兔子都不 死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
f n f n1 f n2 ( n 3) f1 f 2 1
J(n)的性质
• • • • • • J(n)=n/2何时成立？ 2l+1=(2m+l)/2 l=(2m-2)/3为整数 当且仅当m为奇数 22k+1-2=2(22k-1)=2(4k-1)=2(4-1)a能被3整除 22k-2=4k-2=(3+1)k-2=3a+1-2=3a-1不能被3 整除
J(n)=n/2的例子
齐次线性递推关系的通解
• 定理2 若递推关系(1)的特征方程有k个互异的实特 征根q1,q2, …,qk，则un=c1q1n+c2q2n+ …+ckqkn是(1) 的通解，其中c1,c2, …,ck为任意常数。
例题
• 解递推关系
f n f n 1 f n 2 (n 2) f 0 f1 1
问题
• n个人围成一个圆，编号依次为1到n。由第1 个人开始报数，每报数到第2个人该人就必 须自杀，然后再由下一个重新报数，直到仅 剩一个幸存者为止。 • 例子：
递推关系
• • • • • • 偶数 J(2n)=2J(n)-1 (n ≥ 1) 奇数 J(2n+1)=2J(n)+1 (n ≥ 1) 初始条件 J(1)=1
un 2u n1 1( n 2) u1 1
例题：斐波那契数列
• 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多· 斐波 那契（Leonardo Fibonacci） • 斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584 ，4181，6765，10946，17711，28657，46368 • 特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。
J(n)的计算
• • • • • • 计算J(100) 100=(1100100)2 J(100)=(1001001)2=73 循环？ 问题：J(n)=n何时成立？ 答案：n =(11…11)2=2m-1时
J(n)的性质
• 对n连续实施J，则最终结果为2m-1，其中m 为n的二进制中1的个数。 • 例如：J(100)=J((1100100)2)=(1001001)2 • J(J(100))=J((1001001)2)=(10011)2 • J(J(J(100)))=J((10011)2)=(111)2
递推关系 Recurrence Relations
递推关系
• 建立递推关系 • 解递推关系
• 特征方程法 • 迭代归纳法 • 生成函数法
• 常见数列简介
递推关系的定义
• 给定一个数列a0,a1, …,an, … ，如果an与它前面若 干项可以用一个方程联系起来，并且这个方程对 于所有大于某个整数n0的整数n都成立，则该方程 称为一个递推关系，或称为递推方程。 • 递推关系也叫差分方程。 • 它的一般形式为an =f(an-1, an-2, … an-k) 或 g(an ,an-1, an-2, … an-k) =0 • 初始条件 • 已知递推关系和初始条件，求数列的通项，称为 数列的定解问题。 • 问题：如何建立递推关系？如何解递推关系？
an (k 2)an 1 (k 1)an 2 (n 4) a k 1 a2 k (k 1) a3 k (k 1)(k 2)
Josephus问题（约瑟夫斯）
• 以1世纪著名历史学家Flavius Josephus命名。 • 犹太人和古罗马人战争期间，他是陷入罗马人陷 阱的41个犹太反抗者之一。 • 反抗者宁死不做俘虏，他们决定围成一个圆圈， 由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须 自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都 自杀身亡为止。 • 但是Josephus和他的一个朋友感到自杀是愚蠢的 行为，所以他快速计算出在此恶性循环中他和他 的朋友该站的地方。
例题：斐波那契数列
• 令Tn表示整数0和1所组成的n-长序列的集合，确定T中 不含两个相继的0的序列的个数。 1 2 ( 3)
1 2, 2 3
• 用1×2的骨牌覆盖2×n的棋盘，求完美覆盖的方式数an。
an an1 an2 ( n 3) a1 1, a2 2
an an1 2an2 (n 2) a0 1 a 1 1
an an1 2( n 1)(n 1) a1 2
解递推关系
• 特征方程法 • 迭代归纳法 • 生成函数法
k阶线性递推关系
• k阶齐次线性递推关系的一般形式
un a1 (n)un1 a2 (n)un2 ak (n)unk , n k , ak (n) 0
• 判断前面给出的几个递推关系哪些是线性递推关 系？常系数线性递推关系？齐次？非齐次？
初始条件
• k-阶递推关系的初始条件
u0 b0 u b 1 1 uk 1 bk 1
特解与通解
• 特解
• 通解
齐次线性递推关系的特解
• 定理1 un=qn(q≠0)是递推关系(1)的解当且 仅当q是方程 xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak-1x-ak=0 的根。 • 特征方程 xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak-1x-ak=0 • 特征根
• 小明和洋洋玩上楼游戏，规定一步只能上一级或两级台 阶，玩着玩着两人发现：当楼梯台阶数为1级、2级、3 级……，楼梯的上法次数依次为：1、2、3、5、8、13、 21、……，（斐波那契数列）则上十级台阶共有多少种 an an1 an2 ( n 3) 方法？
a1 1, a2 2
• k阶非齐次线性递推关系的一般形式
un a1 (n)un1 a2 (n)un2 ak (n)unk f (n), n k , ak (n) 0
线性递推关系解的性质
• 解的和仍是解 • 解的数乘仍是解 • 解的线性组合仍是解
线性无关
• 线性无关的定义 • 线性无关的充要1) a0 1
an (k 2)an 1 (k 1)an 2 (n 4) a k 1 a2 k (k 1) a3 k (k 1)(k 2)
an 2an 1 2an 2 (n 2) a0 1 a 3 1
几个例子
猜想： J(2m+l)=2l+1 其中，m≥0，0≤l<2m
对m用数学归纳法证明：
m=0时， 有l=0， J(1)=1成立。 下证J(2m+l)=2l+1 设J(2m-1+l)=2l+1，其中，0≤l<2m-1
若l为偶数， J(2m+l) =J(2(2m-1+l/2)) =2J(2m-1+l/2)-1 =2 (2×l/2+1)-1 =2 l+1
例题
• 解递推关系
an an 1 12 an 2 0(n 2) a0 3, a1 26
齐次线性递推关系的通解
• 定理3 设q1,q2, …,qt是递推关系(1)的不相等的特 征根，则这个递推关系的通解中对应于qi (i=1,2, …,t)的部分是，
ui (n) c q c2nq c n q cei n
un un 1 d (n 1) u0 a un un 1 q(n 1) u0 a
un 2un 1 1( n 2) u1 1
f n f n 1 f n 2 (n 2) f 0 f1 1
例题
• 一个停车场有n个空格，可停放A,B,C三种汽车。 A,B两种汽车每辆要占两个空格，C种汽车每辆只 占一个空格。如果不限制三种汽车的辆数，问有 多少种停放汽车的方法？ • 分类讨论：第一个位置是A、B、C
an an 1 2an 2 (n 2) a1 1, a2 3
k阶常系数线性递推关系
• k阶常系数齐次线性递推关系的一般形式
un a1un1 a2un2 ak unk , n k , ak 0
• k阶常系数非齐次线性递推关系的一般形式
un a1un1 a2un2 ak unk f (n), n k , ak 0
an an1 n(n 1) a0 1
例题
• 若将上例中的直线改为锯齿线，每根锯齿线都和其它锯齿 线两两相交，且无三线共点的情况。试问n条锯齿线将平 面分成多少个区域？
u n a2 n 2 n
例题
• 设有分成n个扇面的圆面，用k种颜色给扇面染色，每个 扇面染一种颜色，相邻的扇面染不同的颜色。令an表示 不同的染色方案数，求{an}n≥1的定解问题。这里，k是固 定的，且k ≥ 3 。
若l为奇数，J(2m+l) =J(2×(2m-1+(l-1)/2)+1)
=2J(2m-1+(l-1)/2)+1 =2 (2×(l-1)/2+1)+1 =2 l+1
J(n)的计算
• 计算J(100) • 100=26+36 • J(100)=2×36+1=73
用二进制表示
• • • • • • • n=(bmbm-1 … b1b0)2 n=2m+l, m≥0，0≤l<2m n=(1bm-1 … b1b0)2 l=(bm-1 … b1b0)2 2l=(bm-1 … b1b00)2 2l+1=(bm-1 … b1b01)2 =(bm-1 … b1b0bm)2 J(n)=(bm-1 … b1b0bm)2
• 定理4 当特征方程有复根时，因为复数根总是成对 i 出现的，而且任意复数a+bi都可以写成 e 的形式， 故可设复根分别为
1 i ei (cos i sin ) i 2 i e (cos i sin )
常见数列的递推关系
• 等差数列的递推关系
• 等比数列的递推关系
建立递推关系
例题：汉诺塔问题
• 设A，B，C为3根柱子，n个圆盘按照从小到大的次序套 在A上。每次从一根柱子上只能搬动一个圆盘到另一根 柱子上，搬动过程中不允许大圆盘放在小圆盘上面。问 至少需要多少次才能使所有的圆盘从A移动到B上？
例题
• 设平面上有n个椭圆，其中任意两个椭圆恰有两个交点， 同时没有三个椭圆共点，这样的n个椭圆把平面分成an个 区域，确定序列{an}n≥0的定解问题。
an an1 2(n 1)(n 2) a1 2
例题
• n条直线将平面分成多少个区域？假定无三线共点，且 两两相交。
n 1 i n i 2 n 3 i
ei 1 n i
q
• 其中qi是特征方程的ei重根，e1+e2+…+et=k而un= u1(n) +u2(n) +…+ut(n)是该递推关系的通解。
例题
• -1，-1，-1,3,3,2
例题
• 解递推关系
an 4an 1 4an 2 0(n 2) a0 1, a1 4