第六章 静态线性系统最优化模型及求解方法7

min w 2 x1 3 x2 4 x3 min w 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
矩阵形式描述与单纯形表
区分
系数矩阵
基变量XB
非基变量
XN XS
等式右端 RHS
B 1 B I
0
B N
1
B 1
B 1b
检验数
CN CB B1N
CB B 1
CB B1b
C N C B B 1 AN 是非基变量的系数， 基变量的系数均为零 C C B B 1 A 0
x5
1/5 -2/5 1/5
x2
x1
cj z j
b列非负，检验数全为正 ，故问题的最优解为 X (11/ 5,2 / 5,0,0,0) 对偶问题的最优解为： Y (8 / 5,1 / 5)
回顾运输问题
平衡型运输问题
设有m个供应地，n个需求地，现需求编制产品调运计
划，使产品运输费用最省。
min z
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij
m xij b j j 1,2, , n i 1 n s.t. xij ai i 1,2, , m j 1 x 0 ij
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变 量，(m+n)个约束方程。其系数矩阵的结构比较 松散，且特殊。
* 1
max z=4y1+3y2 y1+2y2≤2 y1-y2≤3 2y1+3y2≤5 y1+y2≤2 3y1+y2≤3 y1，y2≥0
① ② ③ ④ ⑤
原问题和对偶问题最优解之间的关系
原问题
XB
0
XN
CN CB B1 AN
XS
CB B 1
判断数行 对偶问题
YS1
进基
cj
CB
0 0
Leabharlann Baidu
2
3
4
0
0
XB
b
-3 -4
x1
-1 [-2] 2
x2
-2 1 3
x3
-1 -3 4
x4
1 0 0
x5
0 1 0
x4
x5
cj z j
出基
~ ~~ （4）选br min bi bi 0 行, r 2。
~ c 4 ~ 2 j ~ ~ cS min ~ a2 j 0 min , c1 2 3 a2 j
目标要求 变量数与约束数 C与b 系数矩阵
min S 1000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5 y2 250 2.5 y1 y2 500 y1 , y2 0
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 目标函数minZ 约 束 条 件 对偶问题（原问题） 目标函数maxZ
CB B b ，当b增加一 ，CB B 1 称为单纯形乘
1
1 由判断准则 C CB B A 0 知，在最优基时只有非
基变量所对应的判断数才大于零，基变量的判断数 均为零。因此对原问题来说，松弛变量不为零，则 它一定是基变量，且在基矩阵中，因基变量的判断 数为零，故根据对偶原理，它的影子价格为零，这 种资源增长不会使目标值增加，故它是长线资源。 如果松弛变量为非基变量，其值为零，且判断数大 于零，这说明系统取最优解时，该资源已用尽，其 数量的增加可使目标函数值增加，它的影子价格就 是它所对应的判断数。
需求地
供应地
1
2
….
n
拥有量
1 2
c11 c21
c12 c22
…. …..
c1n c2n
a1 a2
….
m 需求量
…
cm1 b1
…
cm2 b2
…
…. …
…
cmn bn
…
am
a b
i
i
xij为第i个生产地向第 j个需求地运输的产品数 量； ai为第i个生产地的生产量； b j为第j个需求地的需求量； cij为第i个生产地向第 j个需求地供应单位产品 的运费。
YS 2
Y
原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解。
设原问题
max Z CX AX b X 0
设B是原问题的一个可行基 ， 于是A B N ; 原问题可以改写为： max Z C B X B C N X N BX B NX N IX S b XB, X N , XS 0
② 在处理问题时，经常需从不同角度来研究。

如某建材厂生产两种产品，其单位消耗量及单位 利润见表，现欲安排生产计划。
甲产品
原料A 原料B 单位利润 2 0.5 250
乙产品
2.5 1 500
拥有量
1000 600
max Z 250x1 500x2 s.t. 2 x1 2.5 x2 1000 0.5 x1 x2 600 x1 , x2 0
C CB B A 0
令Y CB B 1 0
Y C B B 1 两边同时乘以 b Y b C B B 1b ~ z
1
C Y A 0 AY C
Y CB B 1 （表示 0 Y无限大） Y b只能存在最小值
如果从另一个角度研究，现将原料出售，又不低于
产品生产所获得的利润，两种原料出售的最低利润 （在成本的基础上的加价）应为多少合算？
甲产品
原料A 原料B 单位利润 2 0.5 250
乙产品
2.5 1 500
拥有量
1000 600
设：y1、y2为两种原料的最低利润 min S 1000y1 600y2 s.t. 2 y1 0.5 y2 250 2.5 y1 y2 500 y1 , y2 0


（5）如果所有arj 0, 则问题解无解，否则转 （6）； ~ c j ~ ~ ~。 （6）选cS min ~ arj 0列，得旋转中心 a rs a rj （7）进行旋转变换，转（ 3）。
例子：
min w 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x1 , x2 , x3 0
Optimization Model
徐晓鸣 Guangdong Ocean University Engineering College E-mail:gdouxxm@163.com
6.6对偶规划及影子价格
应用线性规划处理问题经常出现以下情况：
①所建模型变量不多，但约束却很多。求解这类问题
时，由于引入松弛变量和人工变量，导致矩阵A的 规模急骤增大。 如两个变量，10个约束的线性规划 模型，如果都 是大于等于约束，则引入松弛变量和人工变量20 个，是矩阵A的阶次由10×2增大为10×22，使计 算工作量增大。
③ 在研究问题中，经常需要分析某种资源的增加或
减少对目标值的影响程度。有些资源的增减并不 影响目标值，这类资源是长线资源，某些资源的 增减对目标值影响很大，这种资源是较稀缺的资 源，称为短线资源。为了确定资源的长短程度， 需要一种评价方法。
6.6.1线性规划的对偶理论
max Z 250x1 500x2 s.t. 2 x1 2.5 x2 1000 0.5 x1 x2 600 x1 , x2 0
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn u1 1 u2 um v1 1 v2 vn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
m ax z 5 y1 4 y 2 6 y 3
'
y1 2 y 2 2 y y 3 1 3 3 y1 2 y 2 y 3 5 y1 y 2 y 3 1 y1 0 , y 2 0 , y 3无约束
目标函数： max Z CX AX b 约束条件： X 0
1 1
6.6.2影子价格
由单纯形法知，目标函数值
个单位时，Z增加 CB B 1 子。 它体现了资源增加一个单位时，目标函数的增长 量，起到了资源参考价格的作用，因此又称为影子 价格。又称为机会成本、会计价格、隐含价格、最 优计划价格、完全竞争条件下的市场价格以及最优 分工协作方案的实现价格等。是经济管理中相当重 要的参数之一。
约束的系数矩阵为AT 约束常数项为C 指标因素为b
变 量
求下述线性规划原问题的对偶问题
min z 2 x1 3x2 5 x3 x4
1 y1 x1 x2 3x3 x4 5 2 x 2 y2 2 x3 x4 4 1 x x x 6 3 y 2 3 4 3 x1 0, x2 , x3 0, x4无约束


cj
CB
0 2
2
3
4
0
0
XB
b
-1 2
x1
0 1 0 2
x2
[-5/2] -1/2 4 3
x3
1/2 3/2 1 4
x4
1 0 0 0
x5
-1/2 -1/2 1 0
x4
x1
cj z j
cj
CB
0 2
XB
b
2/5 11/5
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
-1/5 7/5 9/5
x4
-2/5 -1/5 8/5
min w Y b AY C Y 0
对偶问题问题可表示为
min w Yb BY YS 1 C B N Y YS 2 C N Y , YS 1 , YS 2 0
求得原问题的一个基解
X B B 1b 其相应的检验数为 C N CB B N与 CB B 。 令Y CB B 1 得出YS1 0 代入BY YS1 CB 得出YS 2 C N (CB B 1 N ) 代入N Y YS 2 C N
已知线性规划问题
min w 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5 x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 4 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 4 * 3 已知其对偶问题的最优 解为y , y2 , z 5。 5 5 求其原问题的最优解。
6.6.3对偶单纯形法
对偶单纯形法的计算步骤；
（1）将模型标准化
min Z CX AX b X 0
（2）求初始基解（判断数均大于零的基解，可不
是基可行解）
~ (3)如果bi 0, 则得最优解，计算就结 束，否则转（ 4）。 ~ ~~ （4）选br min bi bi 0 行。
min w Y b AY C Y 0
max Z CX
原问题
AX b X 0
对偶理论
① 一对对偶问题，是一个问题的两个侧面，其目标
是一致的，若原问题有最优解，那么对偶问题也 有最优解，且目标函数值相等；若原问题解无 界，对偶问题无可行解。 1 C C B A ，对应于对偶问题的 ② 原问题的检验数 B 一组基解，基矩阵B为最优基，则最优基下的检 验数对应于对偶问题的最优解。 ③ 对偶问题的最优解是原问题的最优基下的检验 数。 ④ 在线性规划最优解中，若对应的某一约束条件的 对偶变量值非零，则该约束条件取严格等式，如 果约束条件取严格不等式，则对应的对偶变量一 定为零。
约束条件数为m
约束条件为≥ 约束条件为≤ 变 量
对偶变量数为m个
对偶变量为yj≥0 对偶变量yj≤0
约束条件为=
变量数为n个 变量xi为自由变量 变量xi≥0 变量xi≤0
约束的系数矩阵为A 约束常数项为b 指标因素为C
对偶变量yj为自由变量
约 束 条 件 约束条件为n个 约束条件为= 约束条件为≤ 约束条件为≥