一次函数专题突破讲义及答案

第一讲 坐标的应用
1. 将点A （6，0）绕着原点按顺时针方向旋转150°得到点B ，则点B 的坐标是
____________.
2. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 坐标为（0，3），点E 坐标为（1，0），
将△COE 沿直线CE 折叠，点O 落在点D 处，则点D 的坐标为 ． 第2题图 第3题图
3. 如图，点A 的坐标为（-1，
0），点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点
B 的坐标为 ． 4. 如图，O 为坐标原点，四边
形OABC 为矩形，顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，B
（23 ，2）．
（1）求对角线AC 所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC 以AC 所在的直线为对称轴翻折，点O 落在平面上的点D 处，求点D 的坐标；
（3）在平面内是否存在点P ，使得以A ，O ，D ，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，平面直角坐标系中，A （-4，0），将线段OA 绕点O 逆
时针旋转90°，点A 落在y 轴负半轴的点B 处，P 为y 轴上
B 点下方一点，PB =m （m ＞0），以P 为直角顶点作等腰Rt △APM ，点M 落在第三象限，则点M 的坐标为_________________．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，1），B （4，-1），C （3，4），则△ABC 的
形状是______________．
7. 如图，一次函数y =kx +b 的图象经过A （-2，4），B （1，3）两点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积； （3）求证：∠AOB =45°．
(挑战题)如图，△AOB 为正三角形，点B 坐标为（2，0），过点C （-2，0）作直线l 交
AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△COD 的面积相等，则直线l 的函数解析式为 ．
A O
x
y
B
A
O
C D B
x
y A
O
C D B
x
y
第二讲 一次函数相关的分类讨论
1. 在一次函数2
1
21+=
x y 的图象上，
与y 轴距离等于1的点的坐标为______________． 2. 已知等边△ABC 的两个顶点坐标为A （-4，0），B （2，0），则点C 的坐标为
______________．
3. 在平面直角坐标系中，点O 为原点，直线y =kx +b 交x 轴于点A （-2，0），交y 轴
于点B ．若△AOB 的面积为8，则k +b 的值为____________.
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +8与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P （x ，
y ）是直线AB 上一动点（点P 不与点A 重合），点C （6，0），O 是坐标原点，设△
PCO 的面积为S ．
（1）求S 与x 的函数关系式．
（2）当点P 运动到什么位置时，△PCO 的面积为15？
（3）过点P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于点E ，F ，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 已知直线y =kx -3与直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的四边形的面积是12，则k 的
值为____________.
6. 如图，直线3
=+34
y x -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是y 轴上一点，把
坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是______________． 7. 在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（0，0），（0，-3），（-2，
-1），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个点的坐标为：____________________．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P （2，1），点T 是x 轴上的一个动点，当△
PTO 是等腰三角形时，点T 的坐标为：______________________________．
第三讲 一次函数相关的数形结合
1. 已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线1
22
y x =-+上，则y 1，y 2的大小关系是
______________． 2. 一次函数32
1
+=
x y 的图象上两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），当12x x <时，1y ______2y （填“>”、“<”或“=”）．
3. 两条相交直线y 1与y 2的图象如图所示，当x ______时，y 1=y 2；当x ______时，y 1>y 2；
当x ______时，y 1<y 2．
第3题图 第4题图
4. 已知一次函数y =kx +b 的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ＜2
D ．x ＞2
5. 如图，直线y ＝kx ＋b 交坐标轴于A (-3，0) ，B (0，5)两点，当-3<x <0时，y 的取值范围是 ．
6. 如图所示，函数y 1=x ||和y 2=14
33
x +的图象相交于（-1，1），（2，2）两点．当y 1>y 2
时，x 的取值范围是( )
A ．x <-1
B ．-1<x <2
C ．x >2
D ．x <-1或x >2 7. 如图，直线
y =kx +b 经过点A （-1，-2）和点B （-2，0），
直线y =2x 过点A ，当2x ＜kx +b ＜0时，x 的取值范围是( )
A ．2x <-
B ．21x -<<-
C ．20x -<<
D ．10x -<<
第7题图 第8题图
8. 如图，直线y =kx +b 经过A （2，1），B （-1，-2）两点，
当1
22
x kx b >+>-时，x 的取值范围
是 ．
9. 如图，直线y 1=kx ?b 过点A (0，2)，且与直线y 2=mx 交
于点P (1，m )，当mx ?2<kx ?b <mx 时，x 的取值范围
是 ．
10. 已知直线1y x =，2113y x =+，34
55
y x =-+的图象如图
所示，若无论x 取何值，y 总取y 1、 y 2 、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ． 11. 已知整数x 满足-5≤x ≤5，y 1=x +1，y 2=-2x +4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较
小值，则m 的最大值是( ) A ．1
B ．2
C ．24
D ．-9
a
O y 2y 1
x
y
1
2
y
x
O
x
y B A O A
y x
O
P
y 2=mx
y 1=kx+b
-1,1()
2,2()
y 2
y 1y
x
O A
O x
y
B
(挑战题)如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB 的端点坐标为A （-2，4），B （4，2），直线y =kx -2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是( ) A ．-5
B ．-2
C ．3
D ．5
第四讲 轴对称在坐标系中的应用
1． 已知A （5，5），B （2，1），若要在x 轴上找一点P ，使AP +BP 最短，由此得点P
的坐标为_______．
2． 如图，在平面直角坐标系中，A （2，4），B （4，2），点M 为y 轴上的一个动点，当
点M 的坐标为______时，△ABM 的周长最小，最小值为________．
3． 如图，已知A （0，1），B （5，3），定长线段PQ 在x 轴上平行移动，且PQ =1，问
PQ 移动到什么位置时，能使AP+PQ+QB 的值最小，求出此时Q 点的坐标．
4． 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，B 分别在x 轴，y
轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点．
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E ，F 为边OA 上的两个动点（E 点在F 点的左边），且
EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E ，F 的坐标． 5． 已知点A （2a +3b ，-2）和点B （8，3a +2b ）关于x 轴对称，
那么a +b =______________．
6． 若直线l 与直线y =5x +1关于x 轴对称，则直线l 的解析式
为_______________________．
第五讲 旋转、四边形在坐标系中的应用
1．如图，三角板OAB 的顶点O 是坐标原点，OA 边在x 轴正半轴上，∠ABO =90°，∠A =30°，AB =6．将三角板绕直角顶点B 逆时针旋转，当点O 的对应点O ′落在x 轴上时停止转动． （1）求A 点转过的路径长； （2）求A ′点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝60°，B （2，0），线段OA 的长为6，将△AOB 绕点O 逆时针旋转60°后，点A 落在点C 处，点B 落
在点D 处．求直线BC 的解析式．
3．如图，矩形ABCD 中， AB 在y
轴上，AB =2，BC =3，
A (0，1)，在A
B 边上有一点E (2，1)，过点E 的直线与B
C 交于点F ．若EF 平分矩形ABC
D 的面积，则直线EF 的解析式为 ． 4．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （0，0），C （10，4），直线y =ax -2a -1将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分，求a 的值．
O'
y
A'
B
A O x
O D
C
B
A
y x
5．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 各点的坐标为
A （0，3），
B （4，3），
C （6，0），O （0，0），点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）分别是AB 和OC 边上的动点，且421=+x x ．
（1）当M ，N 在何处时四边形MBCN 是平行四边形？
（2）四边形MBCN 有可能成为等腰梯形吗？如果能，请求出此时直线MN 的解析式．若不能，请说明理由．
6．如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交射线BC 于点F ．
（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想 ∠QFC ＝ ；
（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．
第六讲 一次函数相关的规律探究
1．如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （-1，1），
C （-1，-2），
D （1，-2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A -B -C -D -A -…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A ．（1，-1）
B ．（-1，1）
C ．（-1，-2）
D ．（1，-2）
第1题图 第2题图
2．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…），且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A ．（4，0）
B ．（5，0）
C ．（0，5）
D ．（5，5）
3．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是____________．
4．如图，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P 1，
P 2，P 3，…，P 2012，则P 2012的坐标是__________．
5．在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，···和B 1，B 2，B 3，···分别在直线y =kx +b
和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…
B 1
B 2
B 3
y=kx+b
y
A 1
A 2
A 3
x
O
都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），273
()22A ，，那么点A n 的纵坐标
是 ．
6．在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，A n B n C n C n -1按如图所示的方式放置，其中点A 1，A 2，A 3，…，A n 均在一次函数y =kx +b 的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，
C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），则点A n 的坐标为 ．
7．如图，在直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点 （2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…直线l n ⊥x 轴于点
（n ，0）．函数y =x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…A n ． 函数
y =2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…B n ．如果△OA 1B 1的面积记为S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…四边形A n －1A n B n B n －1的面积记作S n ，那么S 2011= ．
8．如图，在x 轴上有五个点，横坐标依次为1，2，3，4，5，分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y =ax ，y=(a +1)x ，y=(a +2)x 相交，其中a ＞0．则图中阴影部分的面积是 ．
【参考答案】
第一讲 坐标的应用
1. (333)--，
2. 33
()22， 3. 11()22
--， 4. （1）AC ：3
+23
y x =
（2）(33)D -，
（3）1(33)P ，，2(333)P -，，3(33)P --， 5.（-4-m ，-8-m ） 6.
等腰直角三角形 7. （1）110
+33
y x =-； （2）5； （3）略（提示：作
横平竖直的线证明AB =OB ，且AB ⊥OB ） 挑战题： 323
=
+77
y x 第二讲 一次函数相关的分类讨论
1.（-1,0）或（1,1）
2. (133)-，
或(133)--， 3. 12或-12 O y
x
y=ax
y=(a+1)x
y=(a+2)x
12345
4. （1）
3+24<8
=
324>8
x x
S
x x
-⎧
⎨
-
⎩
；（2）P1（3，5），P2（13，-5）；
（3）P（0，8）
5. 9
2
或
3
2
- 6.
4
(0)
3
，或(012)
-
，
7. （-2，-4），（-2，2）或（2，-2）
8.
5 (50)(50)(40)(0)
4 -，，，，，或，
第三讲一次函数相关的数形结合
1.y1>y2
2. <
3. =a；<a；>a
4. B
5. 0<y<5
6. D
7. B
8. -1<x<2 9. 1<x<210. 37
17
11. B 12.B
第四讲轴对称在坐标系中的应用
1.
5
(0)
2
， 2.
10
(0)
3
，；210+22 3.（2，0）
4. （1）（1，0）；（2）
1
(0)
3
E，，
7
(0)
3
F，
5. 2
6. y=-5x-1
第五讲旋转、四边形在坐标系中的应用
1. （1）2π；（2）'(436)
A， 2.
3363 =+
55 y x
-
3. y=2x-3
4. a=1
5. （1）M（1，3），N（3，0）（2）能，MN：
33 =
22 y x-
6. （1）30°，60°；（2）60°；证明略（提示：证明△ABP≌△AEQ）（3）
3
=+3
2
y x
（x>0）
第六讲一次函数相关的规律探究
1.B
2. B
3. （14，14）
4. (40233)
，
3 () 2n- 6. 11
(212)
n n
--
-， 7.
4021
2
8.
25
2
5. 1。