第十一章 压杆稳定问题

通解：

w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
B
x 0, w 0,
dw x 0, q 0 dx
B
Ak 0 或
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
2 EI 欧拉公式可以写成统一形式： Fcr ( l )2
l ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 ——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
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第十一章 习题10-3：AB刚性杆，BC弹性 梁，弯曲刚度EI，求Fcr 解：考虑梁杆结构的临界平 衡，B为刚性接头，在B处 F
压杆稳定问题 F A
F
F k2 EI
压杆稳定问题
d 2w •恢复内力矩 M ( x ) EI dx 2
F
d 2w F w 2 dx EI
•通解：
d 2w k 2w 0 dx 2
w A sin kx B cos kx
x 0, w 0 x l, w 0
B0
•位移边界条件：
A sin kl 0
( kl )a 4.493
y2 kl
x
F l 4.493 EI
F
l
F k 2 EI
4.4932 EI 2 EI Fcr 2 l (0.7l )2 思考讨论题： 力学模型（有条件的随遇平衡）、 数学方程（微分方程）、有条件的 随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。
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第十一章 （2）. 类比法 A •变形曲线观察：与B端相 距约0.7l处有一拐点C •类比：拐点C处弯矩为零， 将C点坐标转动到变形前位 置，BC段类比铰支压杆。 A
拐点
压杆稳定问题
l
B
Fcr
C
0.7l
B
Fcr Fcr B
Fcr
EI
2
Fcr
(0.7l )
2
C
0.7l
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第十一章
压杆稳定问题
§11-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法与类比法确定临界载荷：
固支-自由压杆
固支-固支压杆
铰支-固支压杆
欧拉公式的统一表达式：
相当长度与长度因数
例题
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第十一章 一、解析法与类比法确定临界载荷 1. 固支-自由压杆 （1）解析法：根据微弯临 界平衡状态建立微分方程 A
2 2 r4 M 3 T [ ]
M 2 T 2 [ ] M 2 0.75T 2 [ ] r3 r4 W W
3. 弯拉扭组合
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
*
压杆稳定问题
F
驱动力矩（小变形）： F l cr
2
q
F MB B
A
由平衡条件： 4k * 1 )q 0 Fcr lq 2k *q ( Fcr l 2 *
l 2
B
4k 存在非零解条件： Fcr l q 0 平凡解，不稳定平衡位置
弹性压杆： 连续直线分布的扭簧系统
q
C C
l 2
FR Ak 0 2 EIk
A sin kl B cos kl 0
FR
•A,B,FR存在非零解的条件：
0 k sin kl 1 0 cos kl l EIk 2 1 0 2 EIk 0
F
x
l
tan kl kl
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第十一章
压杆稳定问题
FR
Baidu Nhomakorabea
tan kl kl
y1 tan kl
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第十一章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F
w
cos kl 0
（ n1 2 ） kl ( n 1, 2) 2

A
x
B
l
F 2 注意到： k EI
（ n 1 2 2 EI 2 ） 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
3. 临界载荷与压杆几何与材料性质的关系
w A sin
x
可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定
Fcr
EI
2
l
2
临界载荷与截面抗弯刚度成正 比，与杆长的平方成反比。
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第十一章
y
z
O
压杆稳定问题
四、例：球形铰，确定图示压杆的临界载荷(h>b)
x
F
l
2 EI
F b
y
h
解：临界载荷 Fcr
压杆稳定问题
压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳 F＝Fcr 临界状态 压杆在任意微弯位置均可保持平衡
压杆失稳：当轴向压力达到某一值时，压杆 直线形式的平衡突然改变（破坏）的现象。 临界载荷－ Fcr: 压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定 时的轴向压力值。
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第十一章
压杆稳定问题
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
I y Iz 2
l2 问题：结构在哪个平面内失稳？
I I y Iz 2 cos 2a I yz sin 2a
a
z
hb 3 Iy 压杆在x-z平面内失稳 12 2 EI y 2 EI Fcr when h b 2 2 l l
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bh3 Iz 12
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第十一章 5. 平衡的稳定性——刚杆弹簧系统 刚杆－弹簧系统稳定性演示
压杆稳定问题
F

k
a. F k l
稳定平衡
l
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
F k l
驱动力矩 恢复力矩
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Fcr kl
临界载荷
第十一章 6. 平衡的稳定性——受压弹性细长杆 F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线 F >Fcr 不稳定平衡
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 （1）解析法：根据微弯临 界平衡状态建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d w M ( x) 2 dx EI
F d w F w R (l x ) dx 2 EI EI
2
2
x
M ( x)
压杆稳定问题
F
l
B F

M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
w
B F

x
d w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
2
d 2w k 2 w k 2 dx 2
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第十一章
压杆稳定问题 F
w
d 2w k 2 w k 2 dx 2
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第十一章
压杆稳定问题
第十一章
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5
压杆稳定问题
引言 两端铰支细长压杆的临界载荷 两端非铰支细长压杆的临界载荷 中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
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第十一章
压杆稳定问题
本章主要研究：
压杆稳定概念 压杆临界载荷的确定 压杆稳定条件与合理设计
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第十一章
压杆稳定问题
§11-1
1. 问题的提出
引 言
FN 是否适用于下列拉压杆？ 强度条件 A
F F
F
F
短粗杆
F F
F
F
细长杆 结论：对于细长压杆，必须研究稳定问题
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第十一章 2. 稳定问题的研究历史与工程实例
压杆稳定问题
赵州桥历千年风雨（隋） Tacoma 海峡大桥弱不 经风（1940年破坏）
a
q1 B q2 C
q1 q 2
由杆，B处内力偶
2
x 0, w 0 x 0, w ' 0 x l, w 0
FR l B 0 2 EIk
FR
F x
FR Ak 0 2 EIk
l
A sin kl B cos kl 0
如何建立求临界载荷的数学方程？
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第十一章
FR l B 0 2 EIk
压杆稳定问题
第十一章 3. 两端固支压杆：类比法
压杆稳定问题
分析关键：寻找与两端铰支杆受力相同的杆段
（1）根据对称性，AB 中点C可视为固定端 （2）根据AC与CB的 反对称性，两段中点D、 E为拐点 （3）根据对称性，DE段 可类比为两端铰支杆 （4）临界载荷：
拐点
拐点 C D
A
E
B
Fcr
l 4
l 2
Fcr
•存在非零解的条件：
sin kl 0
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第十一章
压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
n2 2 EI F l2
n k l
( n 1, 2)
F k2, 注意到： EI
设： n=1
Fcr
2 EI
l2
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第十一章
压杆稳定问题
2 EI
( 2l ) 2
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第十一章 （2）类比法
l
F F
压杆稳定问题
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长 2l的对应铰支压杆的临界载荷。
Fcr
2 EI
(2l )2

2 EI
4l 2
与解析法结果相同
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第十一章
Fcr
2 EI
l2
三、两端简支压杆临界载荷的欧拉公式的几点讨论
1. 欧拉公式的适用范围
Q 理想均质材料,细长杆 Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F F
d 2w M (x) 2 dx EI
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第十一章 2. 临界平衡挠曲轴曲线特征 w
F
压杆稳定问题
F
x
l ——压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡。
Euler(1707-1783)首先从 理论上研究了压杆稳定问 题(Euler理论）
•科学理论的重要性；
社会生产实践推动科学理论研究
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第十一章 考虑与未考虑稳定问题的设计对比
压杆稳定问题
老Tacoma 海峡大桥 未考虑稳定问题
新Tacoma 海峡大桥 考虑了稳定问题
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第十一章
• 两 端 铰 支 压 杆 临 界 载 荷 实 验 测 定 两 端 铰 支 压 杆 失 稳 动 画 演 示 •
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第十一章
压杆稳定问题
一、简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数k* 1. 模型一个实际背景：下肢。 举重运动员为何可能腿晃？
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第十一章 2. 刚杆-扭簧系统分析，弹簧常数k* 研究临界平衡状态，画BC段受力图 恢复力矩： k (2q )
第十一章
压杆稳定问题
上一讲回顾
组合变形强度计算步骤： 外载分解(解耦为基本变形)、内力计算(内力图危险截面)、 各基本变形应力分析、强度计算(应力叠加危险点) 1. 弯拉（压）组合 2. 弯扭组合(圆轴) 2 2 r3 M 4 T [ ]
max
FN M max [ ] A Wz
F
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第十一章 二、临界载荷的欧拉公式 •两端受压简支杆 •临界平衡状态 •驱动与恢复内力矩 驱动力矩 恢复内力矩
F
压杆稳定问题
F
F
F
M(x) F F x
w
M ( x ) Fw
d 2w M ( x) dx 2 EI d 2w M ( x ) EI dx 2
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第十一章 驱动内力矩 M ( x ) Fw •压杆稳定微分方程
FR
FR
F
w
lx
F
F 2 FR ) (l x ) ( k 通解： w A sin kx B cos kx EI EIk 2
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第十一章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
F (k ) EI
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第十一章 3. 各种各样的失稳现象（续3）
压杆稳定问题
航空科学的重要课题：飞机颤振问题研究
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第十一章 4. 平衡的稳定性——刚体 （1）刚性面上的刚性球
压杆稳定问题
F
FR
F
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置 稳定平衡
W
b. FR为0 临界(随遇)平衡
W
c. FR偏离平衡位置 不稳定平衡
压杆稳定问题
3. 各种各样的失稳现象
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第十一章
压杆稳定问题
F Fcr
3. 各种各样的失稳现象（续1）
窄高梁弯曲
薄壁件受外压
薄壁圆筒轴向受压
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第十一章 3. 各种各样的失稳现象（续2） •风洞颤振试验照片
压杆稳定问题
左侧为风速低于颤振速度，结构振动稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。
l 4
Fcr
Fcr
2 EI
(l / 2) 2
l 2
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第十一章 二、欧拉公式的统一表达式： 2 EI Fcr 1 2
l 2 EI Fcr (2l )2
压杆稳定问题
2
2
Fcr
2 EI
l / 2

1 2
Fcr
2 EI
(0.7l )
2
0.7