金融经济学第五章之三

注：均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它 在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有 数理分析的简易性和丰富的实证检验。
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重要的性质
定理2
当资产的回报率r服从以 r 为均 值、以 为标准差的正态分布时，风险 厌恶者的回报与风险之间的替代率是正 的，无差异曲线是凸的，并且越是位于 西北方向的无差异曲线，其效用越高。
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一、现代投资组合理论的起源
马科维茨(H. Markowitz, 1927～) 《证券组合选择 理论》 瑞典皇家科学院决定将 1990年诺贝尔奖授予纽约 大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz）教授,为了表彰 他在金融经济学理论中的先 驱工作—资产组合选择理论。
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主要贡献
发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操 作的选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance methodology. 这个理论演变成进一步研究金融经济学的基 础；这一理论通常被认为是现代金融学的发 端。 马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM 理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一 系列金融学理论的重大突破。
金融经济学
第五章之三
投资组合理论
通过证券市场投资配置资源的两部分工作：
（１）证券与市场的分析，对投资者可能选择的所 有投资工具的风险及预期收益的特性进行评估． （２）对资产进行最优的资产组合的构建，涉及在 可行的资产组合中决定最佳风险－收益机会，从可 行的资产组合中选择最好的资产组合．
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围绕风险的三个议题
43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14
元[因为（76.14-62）/62=22.8%]。
证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式 得到相同的结果。
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（1）证券和证券组合的值
证券 名称
A
在证券组合 中的股数
100
每股的初始 市场价格
40元
总投资
4000元
在证券组合的初始市场 价值中的份额
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实现方法
收益——证券组合的期望报酬
风险——证券组合的方差
风险和收益的权衡——求解二次规划
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二、投资组合的收益与不确定性
首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它 的期望回报率（均值）（2）可能的回报率围绕其 期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度 量在分析上是最易于处理的。 其次，理性的投资者将选择并持有有效率投 资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报 最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率 水平上使风险最小化的投资组合。
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(三）投资组合收益和风险的度量
设一项投资组合含有n项风险资产，令： ~ r : 风险资产i的随机收益率；
i
ri
ij
~ E [ ：风险资产i的期望收益率 ri ] ， i 1, 2, , n；
ri i2 : ~
的方差
：风险资产i和j的收益间的相关系数；
ij ：风险资产i和j的收益间的协方差； 则有 E[(~ r r )(~ r r )]
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假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算
可以交换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成： 1 '' ]) 2 (W ) E[u (W )] u ( E[W ]) u ( E[W 2 1 (n) n n 3 u ( E[W ])m (W ) n! 上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与
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再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差 和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差 度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理 论上是可行的。 最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的 集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份 额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期 望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。 注：二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即 u(W)=a+bW+CW2。
ij ij
ij i i j j
i
j
即
ij ij i j
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从“历史”样本估计收益和风险
r 1 , ..., r n 1 r n
n
r
t 1
t

2
n 1 2 (r t r) n 1 t 1
x i ：投资组合中风险资产i所占的百分比；
~ rp ：投资组合的随机收益率；
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（3）利用证券的期望回报率计算 证券组合的期望回报率
证券名称 A 在证券组合初始 价值中的份额 0.2325 证券的期望回 报率 16.2% 在证券组合的期望回报率 中所起的作用 0.2325*16.2%=3.77%
B
C
0.4070
0.3605
24.6%
22.8%
0.4070*24.6%=10.01%
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投资组合理论的基本思想
投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投 资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。 ——“nothing ventured, nothing gained” ——"for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“ ——“Don’t put all eggs into one basket”
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处理不确定性的三种数学方法
预期效用函数分析
基于偏好假定，非常完美 但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能
均值—方差分析：投资组合理论
尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以） 避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验
套利分析：APT
基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定 简化计算，使用方便，可以检验 方法论的里程碑
i 1
n
i
1
W
i 1
n
i0
xW i 0 W0
i 1
31
n
组合的方差
＝Wi
2 p 2 i 1 2 i n n i 1 j i , j 1
WW
i j
n
ij
wi w j ij
i , j 1
n
证明：D(rp ) E[rp E (rp )]2 E[ wi ri E ( wi ri )]2
4000/17200=0.2325
B
C
200
100
35元
62元
7000元
6200元
7000/17200=0.4070
6200/17200=0.3605 总的份额=1.0000
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证券组合的初始市场价值W0=17200元
（2）利用期末价格计算证券组合 的期望回报率
证券名称
A B C
在证券组合 每股的期末预 中的股数 期价值
0.3605*22.8%=8.22%
证券组合的期望回报率= r =22.00%
p
来自百度文库19
（二）期望效用分析与均值－方差分析的 关系
一般来说，资产回报的均值和方差并不能完 全包含个体做选择时所需要的全部信息 但在一定条件下，个体的期望效用函数能够 仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数， 从而投资者可以只把均值和方差作为选择的 目标 条件为：预期效用函数为二次效用函数或者 资产回报服从正态分布
rp ：投资组合收益的期望值 E[~ rp ] ；
2 p ：投资组合收益的方差。
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~ ~ rp ri xi
i 1
n
rp ri xi
i 1
n
xi x j i j ij ij xi x j
2 p i 1 j 1 i 1 j 1
n
n
n
n
x
方差，还依赖于财富的高阶矩。 但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶
矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用
函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。
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下面的定理证明了：当预期效用函数为二次函数或者
资产回报服从正态分布时，均值—方差与预期效用函数等
价，可以完全刻画投资者的偏好特征。 定理1: 如果u是一个解析函数，则 （a）对任意分布的期末财富
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证券投资理论的发展
西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、 职业化阶段和科学化阶段。 1952年，Harry Markowitz发表的“投资组合 选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。 1963年，Willian Sharpe提出了单指数模型。 1964年，Sharpe，Lintner, Mossin分别独立 地提出了资本资产定价模型（CAPM）。 1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的 期权定价模型即Black-Scholes公式。 1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。
100 200 100 46.48元 43.61元 76.14元
总的期末预期价值
46.48元*100=4648元 43.61元*200=8722元 76.14元*100=7614元
证券组合的期末预期价值W1 =20984元 证券组合的期望回报率 rp =（20984元-17200元）/17200元=22.00%
基本原则，即投资者规避风险并对风险投资要求有相 应的回报，回报采取的是风险溢价的形式，即预期收 益率高于可供选择的无风险投资所能提供的收益率． 概括并确定投资者个人在资产组合风险与预期收益之 间的权衡．我们引入效用函数，假定投资者能够根据 风险与收益情况为所有的资产组合标定一个福利或效 用的数值． 我们无法脱离资产组合而对其中某一部分资产的风险 进行单独的评估．测度单个资产的风险的正确方法是 评价它对整个投资组合变动的影响．因为一些看起来 有风险的资产也许正是资产组合的稳定器．
，存在函数 v(, ) : R R R W
) a bW cW 2 使得 E[u(W 当且仅当 u(W )] v[ E(W ),Var (W )] 这里， a, b, c 为常数
则存在函数 v(, ) : R R R ，使得
0 ~ ~ ~ j j! [Var (W )]1/ 2 E[W E[W ]] 1/ 2 j 2 ( )! 2 j为奇数 j为偶数
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（一）假定条件
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2.收益率
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假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富 W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进 行投资。 投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、 24.6%和22.8%。 这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别
为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、
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假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各
种金融资产来最大化他的期末财富 W 带来的期
望效用。设个体的Von-Neumann-Morgenstern
效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对
效用函数进行Taylor展开：
) u ( E[W ]) u( E[W ])(W E[W ]) u (W 1 2 u ''( E[W ])(W E[W ]) R3 2
1 (n) ])(W E[W ]) n R3 u ( E[W n 3 n !
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冯· 纽曼--摩根斯坦效用函数（von Neumann-Morgenstern utility function） 也称VNM效用函数 VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯· 纽曼和 摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern) 在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具， 建立了不确定条件下对理性人(rational actor) 选择进行分析的框架。
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服从正态分布， （b）对任意偏好函数u，如果期末财富 W
二次效用函数的假设和正态分布的假设不符 合实际的消费者投资情况
因为二次函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个 性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效 用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质 品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品 的投资者不符。此外，正态分布的中心轴对称与一般 股票的有限责任不一致。
i 1 i 1 n n
E[ w1r1 w2 r2 ... wn rn w1E (r1 ) w2 E (r2 ) ... wn E (rn )]2 E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]2