高中数学—二维形式的柯西不等式

=[( a )2 + ( b)2][( 1 )2 + ( 1 )2]
a
b
( a 1 + b 1 )2
a
b
= 4.
即
1 a
+
1 b
4.
(应用柯西不等式, 要点在于构造)
例3. 设 a, bR+,
a+b=1,
求证
1 a
+
1 b
4.
证明: 也可用基本不等式证明
1 a
+
1 b
=
(a
+
b)(a1
+
1b)
(需构造差的完全平方)
x12 + y12 - 2(x1x2 + y1 y2)+ x22 + y22 =(x1-x2)2+(y1-y2)2, 取算术根即得
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
x12 + y12 + x22 + y22 ( x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式?
(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2.
(这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
P1(x1, y1)
O
x
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 +( y1 - y2)2 .
第一课时 第二课时
柯西不等式的应用举例
【复习】 请写出上课时所学的不等式. 柯西不等式: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 柯西根式绝对值不等式:
a2 + b2 c2 + d 2 |ac + bd |. a2 + b2 c2 + d 2 |ac|+|bd |. 向量形式不等式: |a·b|≤|a||b|. 二维三角不等式:
【课时小结】
3. 柯西不等式的向量形式 定理 2 设 a, b 是两个向量, 则 |a·b|≤|a||b|,
当且仅当 b 是零向量, 或存在实数 k, 使 a=kb 时, 等号成立.
【课时小结】
4. 柯西三角不等式
定理 3 设 x1, y1, x2, y2R, 那么
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
当且仅当 ad=bc 时, 等号成立. 若 ad=bc 时, (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2; 若 ac=bd 时, (a2+b2)(c2+d2)=(ad+bc)2.
【课时小结】
2. 柯西根式绝对值不等式 a2 + b2 c2 + d 2 |ac + bd |. a2 + b2 c2 + d 2 |ac|+|bd |.
由于 x1, y1, x2, y2 是任意实数, 所以我们可以 将 x1 换成 x1-x3, y1 换成 y1-y3, x2 换成 x2-x3, y2 换成 y2-y3, 得
(x1 - x3)2 + ( y1 - y3)3 + (x2 - x3)2 + ( y2 - y3)2
(x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
=
1+
a b
+
b a
+
1
2+ 2
a b
b a
= 4.
或
1 a
+
1 b
=
a
+ a
b
+
a
+ b
b
=
1+
a b
+
b a
+1
2+ 2
a b
b a
=
4.
第 1~9 题.
1. 求函数 y = 3 x - 5 + 4 6- x 的最大值.
解: y = 3 x -5 +4 6- x
32 + 42 ( x - 5)2 + ( 6- x )2
分析: 所证不等式类似柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,
我们就构造柯西不等式的形式进行证明. 证明: (a4+b4)(a2+b2)=[(a2)2+(b2)2](a2+b2)
≥(a2·a+b2·b)2 = (a3+b3)2.
例2. 求函数 y = 5 x -1 + 10- 2x 的最大值.
(问: 什么情况下等号成立? 与柯西不等式比较, 不等式的结构形式有什么相同和异同?)
OP1 与 OP2 共线, 则 x1y2=x2y1; OP1 与 OP2反向, 则 x1x2≤0.
x1 x1
y2 x2
=
x2 0.
y1,
与根式绝对值不等式相比较, 以便区别记忆.
下面我们对定理 3 进行代数证明.
当且仅当 ad=bc 时, 等号成立.
a2 + b2 c2 + d 2 = (|a|2 + |b|2)(|c|2 + |d |2) (|a||c|+|b||d |)2 =|a||c|+|b||d| =|ac|+|bd|. (≥|ac+bd| )
当且仅当 |ad|=|bc| 时, 等号成立.
柯西不等式的变形:
a2 + b2 c2 + d2 |ac+ bd |. a2 + b2 c2 + d2 |ac|+|bd |.
这也是两个非常有用的不等式. 约定叫 “柯西根式绝对值不等式” 吧.
问题3. 还记得基本不等式的几何意义吗? 柯西 不等式的几何意义是什么?
基本不等式的几何意义: 直角三角形斜边上的
即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
(两向量模的积不小于积的模.)
定理2 (柯西不等式的向量形式) 设 a, b 是两个向量, 则 |a·b|≤|a||b|,
当且仅当 b 是零向量, 或存在实数 k, 使 a=kb 时, 等号成立.
两向量积的模不大于这两向量模的积. 两向量模的积不小于这两向量积的模. 其中一向量为0或两向量共线时等号成立.
时, 等号成立.
O
将坐标代入得
b (c, d) a (a, b)
x
|(a, b)(c, d)| a2 + b2 c2 + d 2 , 即 |(ac + bd )| a2 + b2 c2 + d 2 ,
当a|c,obsq共|=线1 时, ,
两边平方得 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 则 ad=bc.
当且仅当
x1 x1
y2 x2
=
x2 y1, 0.
时等号成立.
一般地, 设 x1, y1, x2, y2, x3, y3R, 则有
(x1 - x3)2 +( y1 - y3)3 + (x2 - x3)2 +( y2 - y3)2 (x1 - x2)+( y1 - y2)2 .
【课时小结】
5. 柯西不等式的几何意义
52 + ( 2)2 ( x -1)2 + ( 5- x )2
=6 3.
当且仅当 5 5- x = 2 x -1 时, 等号成立,
解得
x
=
127 27
时,
函数取得最大值6
3.
例3. 设 a, bR+,
a+b=1,
求证
1 a
+
1 b
4.
证明: ∵a+b=1,
1 a
+
1 b
=
(a
+
b)(a1
+
1b)
中线不小于斜边上的高.
C
AD + 2
DB
=
OC
DC
=
AD DB.
A
OD B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d),
a 与当ba|之aab间,b=b|的=|a中|夹a||有b|角|b|零c为|o|向csqoqs量,,q ,|0≤或|qa≤||cp|ob.s|q, |=1 y
= 5 x -5+ 6- x
= 5.
当且仅当 3 6- x = 4 x -5 时, 等号成立,
解得
x
=
134 25
时,
向|a量形b|式= |:a
|| b
||cosq
|
| a
|| b
|.
y b (c, d)
a (a, b)
基本形式: |ac+ bd | a2 + b2 c2 + d 2 , (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 三角形式:
|OP1|+|OP2|≥|P1P2|,
O
x
y P2(x2, y2)
分析: 要求两数和的最大值.
在二维不等式中有根式绝对值不等式
a2 + b2 c2 + d 2 |ac|+|bd |,
即 |ac|+|bd | a2 + b2 c2 + d 2 .
于是考虑将函数构造成根式绝对值不等式的形式,
使右边两根式的积为常数.
解: y = 5 x -1+ 10-2x
= |5 x -1|+| 2 5- x |
问题4. 若将定理 2 中的向量改成三角形 OP1P2,
P1(x1, y1), P2(x2, y2), 由三角形的边长关系, 你能得
出怎样的不等式?
两边之和大于第三边,
y
bP1(c(x, 1d,)y1)
|OP1|+|OP2|>|P1P2|,
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 ,
一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式 三 排序不等式
第一课时 第二课时
1. 柯西不等式有哪些形式?
2. 柯西不等式的各种形式是怎样推证 的? 它有什么几何解释?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式也属于这样的不等式.
定理1 (二维形式的柯西不等式)
若 a, b, c, d 都是实数, 则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,
当且仅当 ad=bc 时, 等号成立.
(问: 不等式写成 (a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc)2 成立吗? 如果成立, 取得等号的条件是什么?)
四个数的位置是平等的, 交换一下位置就可以了. (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式?
很容易想到的是 a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd,
(a2+b2)(c2+d2)≥4abcd 吗? 成立的, 由 a2=|a|2 即可推证.
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式.
当OP1与OP2共线且反向时,
O
|OP1|+|OP2|=|P1P2|, 则
P2a(x(a2,, yb2))
x
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
这叫二维形式的三角不等式.
定理3 (二维形式的三角不等式)
设 x1, y1, x2, y2R, 那么 x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
x12 + y12 + x22 + y22 ( x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .
证明: ( x12 + y12 + x22 + y22 )2 = x12 + y12 + 2 x12 + y12 x22 + y22 + x22 + y22
(用根式绝对值不等式)
x12 + y12 + 2| x1x2 + y1 y2 |+ x22 + y22
x12 + y12 + x22 + y22 (x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 . (x1 - x3)2 + ( y1 - y3)3 + (x2 - x3)2 + ( y2 - y3)2
(x1 - x2)2 + ( y1 - y2)2 .

【柯西不等式的应用举例】
例1. 已知 a, b 为实数, 证明 (a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.
=a2d2+b2c2+2abcd-2abcd+a2c2+b2d2 =(ad+bc)2+(ac-bd)2 ≥(ad+bc)2. ac=bd 时, 等号成立.
问题2. 根据柯西不等式, 对于式子 a2 + b2 c2 + d2 你能推出什么样的不等式?
a2 + b2 c2 + d 2 = (a2 + b2)(c2 + d 2) (ac + bd )2 =|ac+bd|. (≥(ac+bd).)
(问: 你能说出这一不等式的几何意义吗?) 这是 P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) 的二维形 式的三角不等式. 定理 3 是 P1(x1, y1), P2(x2, y2), O(0, 0) 的二维 形式的三角不等式.
【课时小结】
1. 柯西不等式
定理 1 若 a, b, c, d 都是实数, 则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,