高斯烟羽模型

模型假设：

1、

2、 坐标系

高斯模型的坐标系如图所示，原点为排放点（若为高架源，原点为排放点在地面的投影），x 轴正向为风速方向，y 轴在水平面上垂直于x 轴，正向在x 轴的左侧，z 轴垂直于水平面xoy ，向上为正向。在此坐标系下烟流中心线或烟流中心线在xoy 面的投影与x 轴重合。

2、模型假设

(1)污染物的浓度在y 、z 轴上的分布是高斯分布（正态分布）的；

(2)污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布；

(3)扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射；

(4)泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程；

(5)在水平方向，大气扩散系数呈各向同性；

(6)取x 轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随地点、时间变化而变化；

(7)地面对泄漏气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用；

(8)整个过程中，泄漏气体不发生沉降、分解，不发生任何化学反应等。

3、模型公式推导

由正态分布假设可以导出下风向任意一点X （x,y,z ）处泄漏气体浓度的函数为：

2

2)(),,(bz ay e e x A z y x X --=

（1）

由概率统计理论可以写出方差的表达式为：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞00220022Xdz

Xdz z Xdy Xdy y z y

σσ （2）

由假设可以写出源强的积分公式：

⎰⎰

∞∞-∞∞-=uXdydz Q （3）

式中：y σ、z σ为泄漏气体在y 、z 方向分布的标准差，单位为 m ；X （x,y,z ）为任一点处泄漏气体的浓度，单位为 kg/m 3；u 为平均风速，单位为 m/s ；Q 为源强（即泄漏速度），单位为 kg/s ；

将（1）式代入（2）式，积分可得：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2221

21z y b a σσ （4）

将（1）式和（4）式代入（3）式，积分可得：

z

y u Q x A σσπ2=）（ （5）

再将（4）式和（5）式代入（1）式，可得：

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222222exp 2,,z y z y z y u Q z y x X σσσσπ）（ （6）

上式为无界空间连续点源扩散的高斯模型公式，然而在实际中，由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图所示。可以把任一点p 处的浓度看做两部分的贡献之和：一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的泄漏物浓度。该处的泄漏物浓度即相当于不存在地面时由位于（0,0,H ）的实源和位于（0,0,-H ）的像源在P 点处所造成的泄漏物浓度之和。

其中，实源的贡献为：

))(21exp()21exp(2),,(22

221z

y z y H z y u Q z y x X σσσσπ---= （7）

其中，像源的贡献为：

))(21exp()21exp(2,,22

222z

y z y H z y u Q z y x X σσσσπ+--=）（ （8）

则该处的实际浓度为：

）

（）（）（z y x X z y x X z y x X ,,,,,,21+= （9）

由以上条件公式可得到高架连续点源扩散的高斯烟羽模型公式为：

)])(21exp())(21[exp()21exp(2,,,,22

2222

z z y

z y H z H z y u Q H t z y x X σσσσσπ+-+--⨯-=）（ （10）

其中：X （x,y,z ）为下风向x 米、横向y 米、地面上方z 米处的扩散的气体浓度，单位为kg/m 3；Q 为源强（即源释放速率），单位为kg/s ；u 为平均风速，单位为m/s ；y σ为水平扩散参数，单位为m ；z σ为垂直扩散参数，单位为 m ；t 为泄漏后是时间，单位为s ；H 为泄漏源有效高度，单位为m ；y 为横向距离，单位为m ；z 为垂直方向距离，单位为m 。

如：式中，令z=0，即可得到地面气体浓度计算公式：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=22

22exp 21exp ,0,,z y z y H y u Q H y x X σσσσπ）（）（ (11)

令y=z=0，即可得到地面轴线气体浓度计算公式：

)2exp(),0,0,(22

z z y H u Q

H x X σσσπ-= （12）

其中，X （x,y,0）为下风向x 米、横向y 米处的地面扩散气体浓度，单位为kg/m 3；若令y=0，则可以得到下风向中心线上的浓度分布。

4、泄漏源有效高度（烟云抬升高度的计算）：

以上式中的泄漏源有效高度是指泄漏气体形成的气云基本上变成水平状的时候气云中心的离地高度。实际上，泄漏源有效高度就等于泄漏源几何高度加泄漏烟云抬升高度。

影响烟云抬升高度的因素有很多，主要包括：泄漏气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及风速岁高度的变化率、环境温度及大气稳定度。

有效源高： H H H

S ∆+=

其中，s H 为泄漏源几何架高，H ∆为烟云抬升高度。

实验表明，泄漏源抬升高度可以用下面公式近似计算：

V d V H S /.42=∆ （13）

其中，S V 是气云释放速度，单位为m/s ；d 是泄漏出口直径，单位为 m ；V 为环境风速，单位为m/s ；

（13）式是20世纪70年代末、80年代初，Wilson 根据管道破裂泄漏实验所得的实验公式。实验时气体的喷射方向与风速垂直并且气体喷射路径上无障碍物。实验表明，当气体喷射方向垂直向上时，预测值与实际值之比在洗漱2以内。