管致中《信号与线性系统》(第5版)(名校考研真题 连续时间系统的时域分析)

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H s s
s3
h t t 3e3tu t
三、计算题 1．信号 x(t)，h(t)波形如图 2-1 所示，画出卷积 y(t)＝x(t)*h(t)结果的波形。[北京邮 电大学 2012 研]
图 2-1
解： ht 2 t 2 t 2 yt xt* ht 2xt 2 xt 2
【答案】 h t t 3e3tu t
【解析】 两边拉氏变换可得
y1(t) 3e3tu(t) y0 u t * h t y2 (t) e3tu(t) y0 u t * h t
s
3
3
Y0
s
H
s
s
s
1
3
Y0
s
H
s
s
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两式相减可得
根据卷积积分的微分性质，有 y'(t) x'(t) h(t) 故 x' (t) (t) (t 2) 由 y(t) 波形微分可得 y'(t) 波形，如图 2-5（a）所示，则有
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y'
(t)
u(t)
u(t
1)
解： x(2t) * h(2t) x(2 )h(2(t ))d
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1 x( )h(2t ))d
2
1 y(2t) 2
5．已知当输入信号为 x(t) 时，某连续时间 LTI 因果系统的输出信号为 y(t) ， x(t) 和 y(t) 的波形如图 2-3 所示。试用时域方法求：
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第 2 章 连续时间系统的时域分析
一、判断题
任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和。（
）[北京邮电大学 2012
研]
【答案】×
【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为
零时，仅由输入信号引起的响应。由此可知仅当系统满足线性时，其全响应必为零状态响
-
t sin ( 1)u( 1)d
-
[ t sin d ]u(t) [ t-1sin d ]u(t 1)
0
0
1 [(1 cos t)u(t) (1 cos t)u(t 1)]
将 y0 (t) 代入，可得所求系统输出为
y1(t)
y0 (t)
y0 (t
1)
1
(1
cost)[u(t)
台
u(t
2)
u(t
3)
[
(t)
(t
2)]
[u (t )
u(t
1)]
即 h(t) u(t) u(t 1)
因此，单位阶跃响应为
s(t) h(t) u(t) [u(t) u(t 1)] u(t) tu(t) (t 1)u(t 1)
s(t)的波形如图 2-5（b）所示。
（a）
（b）
图 2-5
x1(t) cos(t)[u(t) u(t )]
x11 t
t
x1 d
t
cos(
)[u(
)
u(
)]d
sin
t u
t
u
t
x2 t t 2 t t 2
根据冲激函数的性质计算可得：
y t sin t u t 2 u t 3
4．如果 x(t) * h(t) y(t) ，证明 x(2t）*（h ）2t 1 y(2t) [电子科技大学 2012 研] 2
应与零输入响应之和。
二、填空题
已知一个 LTI 系统，在某起始状态 y(0) y0 0 下，当输入 x1(t) u(t) 时，全响应 y1(t) 3e3tu(t) ，当输入 x2 (t) u(t) 时，全响应 y2 (t) e3tu(t) 。试求该系统的冲激 响应 h(t) ＝_____。[华南理工大学 2012 研]
。[北京邮电大学
2012 研]
解：由卷积积分的性质可得：
y(t) dx(t) * t h( )d
dt
又因为，
x(t) u(t) u(t 2) dx(t) t t 2
dx
h(t) etu(t) t h( )d t etu(t)d 1 et u t
由此可以得出：
u(t
2)]
y1(t) 的波形如图 2-6 所示。
图 2-6
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其中， y0 (t)
t -
x1(
)d
。
由图 2-4 可得
x1(t) (sin t)[u(t) u(t 1)] sin(t)u(t) sin (t 1)u(t 1)
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y0 (t)
台t sin( )u( )d
（2）由题（1）可得： h(t) u(t) u(t 1) ，则有
d h(t) (t) (t 1) dt
该 LTI 系统当输入 x1(t) 时的输出信号 y1(t) 为
y1(t)
h(t)
x1 (t )
dh(t) dt
t -
x1
(
Fra Baidu bibliotek
)d
t -
x1
(
)d
[
(t
)
(t
1)]
y0 (t) y0 (t 1)
如图 2-2 所示
图 2-2
2．某连续时间 LTI 系统的输入为 x(t) u(t) u(t 2) ，单位冲激响应为
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h(t)
e t u (t )
台
，试利用卷积积分的性质求解系统的输出
y(t)
x(t)
* h(t)
y(t) (1 et )u(t) (1 e(t2) )u(t 2)
3．求 x1(t) cos(t)[u(t) u(t )] 和 x2 (t) u(t) 2u(t ) u(t 2 ) 的卷积。
[中国科学技术大学 2012 研]
解：设 y t x1 t * x2 t x11 t * x2 t
图 2-3
（1）该系统的单位阶跃响应 s(t) ，并大概画出 s(t) 的波形； （2）在系统输入为图 2-4 所示的 x1(t) 时的输出信号 y1(t) ，并大概画出 y1(t) 的波形。
[中国科学院 2005 研]
图 2-4
解：（1）设系统的冲激响应为 h(t) ，则有 y(t) x(t) h(t)