第六章 方差分析-贾国梅

促销方式 A1(广告宣传) A2(有奖销售) A3(特价销售) A4(买一送一) 104.8 112.3 143.2 145.6 与上年同期相比(%) 95.5 104.2 107.1 109.2 150.3 184.7 111.0 139.8 103.0 99.2 154.5 122.7
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析 • 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent Factor：% Contrasts选项: Post
List：促销方式
多项式比较
Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
1. 最小显著差数法(LSD法)
(1) 列出平均数多重比较表 比较表中各
处理按其平均数从大到小自上而下排列； (2)计算最小显著差数 LSD
0 . 05
和
LSD
0 . 01
；
LSD


t
s
x1 x 2

S x i x j 2 MS e / n
MSe为处理间误差方差
ta : 通过附表4：学生
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 多重比较方法的选择
三、如何表示多重比较的结果
有三种方法： • 标记字母法 • 列梯形表法 • 划线法
1. 标记字母法
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 A B C D 苗高观察值 18 20 10 28 21 24 15 27 20 26 17 29 13 22 14 32 总和Ti 72 92 56 116 平均 x i 18 23 14 29
行p为测验极差的平均数个数
2. 新复极差测验(SSR法)
A. 计算LSRα
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm)
药剂 苗高观察值 总和Ti 平均 x i
B. 排序
C. 比较
A B C D
18 20 10 28
21 24 15 27
20 26 17 29
13 22 14 32
72 92 56 116
18 23 14 29
药剂处理间 药剂处理内（误差）
总
3 12
15
504 98
602
168.00 8.17
20.56* *
F 0.05(3,12)=3.49 F 0.01(3,12)=5.92
2. 什么叫多重比较
多重比较就是指在 F 测验的前提下，
如果否定了无效假设，只是表明试验的总变
异主要来源于处理间的变异，这也仅仅说明
原创：贾国梅 作者单位：湖北三峡大学
第六章 方差分析ANOVA
（Analysis of Variance)


方差分析的基本原理
多重比较


单向分组资料的方差分析
两向分组资料的方差分析 数据转换
t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数间差 异显著性检验。 1、计算工作量大 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低 对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜 采用t检验法，须采用方差分析法。
2 3 4
凡两极差≥LSRa，则为在a水平上差异显著； 反之，不显著。
处理 D B A C 平均数 29 23 18 14 P=2 D-B=6* B-A=5* A-C=4 P=3 D-A=11** B-C= 9** P=4 D-C=15**
3. q测验
• 与SSR法相似，唯一区别仅在计算LSRa 时，不是查SSRa，而是查qa（附表7）， 查qa后 LSRa=SE· a q 所以不再详述。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变
异分解为若干部分，再通过比较各部分的
变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和(SS)的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和(SS)的分解
设有k组数据，每组有n个观察值
组别 １
观察值(xij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n)
氏t值表可得到
(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差 数与 LSD
0 . 05
、LSD
0 . 01
比较，作出统计推断。
2. 新复极差测验(SSR法) A. 计算LSRα B. 排序 C. 比较
LSRa=SE· a SSR
SE se n
2
或
MS n
e
SSR通过查附表8求得 查表时：列为误差自由度
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和(SS)的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe
总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
sT
2
总的均方(方差)： MS
(x
ij
x)
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ 18 苗高观察值 21 20 13 总和Ti 平均 72 18
x
i
Ｂ Ｃ Ｄ
x
20 10 28
24 15 27
26 17 29
22 14 32
处理 D B A C
平均数 x i 29 23 18 14
2. 新复极差测验(SSR法)
P SSR 0.05
3.08 3.23 3.33
SSR 0.01
4.32 4.55 4.68
LSR 0.05
4.40 4.62 4.76
LSR 0.01
6.18 6.51 6.69
A. 计算LSRα
B. 排序
C. 比较
方差分析结论：
特价销售的效果最好， 买一送一次之，广告宣传 和有奖销售的效果最差， 两者间无显著差异。
第六章
第二节 多重比较
为什么要进行多重比较 怎样进行多重比较 如何表示多重比较的结果 如何选择多重比较的方法
一、为什么要进行多重比较
为什么要进行多重比较
什么叫多重比较
多重比较的优点
92 56 116
23 14 29 T=336
=21
自由度和平方和的分解
总变异自由度：
药剂间自由度：
DFT=(nk-1)=(44)-1=15
DFt=(k-1)=4-1=3
药剂内自由度：
矫正数
C
DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
T
2

336
2
nk
4 4
2 ij
2
7056
总的平方和：
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别 记为 MST（或T2 S （或 S e2 ）。 即
MS
T
）、MSt（或t2 S

2 ST
）和MSe
SS T / df T
MS
MS
t
e
S
S
2 e
2 t
SS
SS
e
t
/ df
e
t
/ df
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
F临界值 F0.05(3,1 2)=3.49 F0.01(3,1 2)=5.95
处理内（误差）
总
12
15
98
602
8.17
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属4个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4个月的试验。 • 试验结果如下：
2
T
nk 1
n (xi x) 2 k 1
组间的均方(方差)： MS t s t 组内的均方(方差)： MS e s e
2
2

( x ij x i )
2
k ( n 1)
df df df
T t e
kn 1 k 1 df
T
df
t
均方差，均方(mean square，MS)
进一步的分析
由 SPSS 软件的运行输出结果还可得：
x1
x3
101 . 875 ，
158 . 175
x2
106 . 95
x4
129 . 775
• 由 SPSS 软件的运行输出结果还直接可得 到对各 i 的 t 检验结果如下（ =0.05）： • 1 2 4 • (广告宣传) 1 • (有奖销售) 2 • (买一送一) 4 * * • (特价销售) 3 * * *
x11 x12 „ x1j „ x1n
总和 平均 均方 T1
x1
x2
s12
２
„ i „ k
x21
„ xi1 „ xk1
x22
„ xi2 „ xk2
„
„ „ „ „
T
x2j
„
„
x2n
„ xin „ xkn
x
T2
„ Ti „ Tk
s22
„ si2 „ sk2
„
x
i
xij
„ „
„
x
k
wenku.baidu.com
xkj
„

x ij
ni
2
S S 组 内 (Yij Yi )
i 1 a j 1 2 i
a
( n i 1) S
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
变异来源 处理间
二、F分布与F测验
F ( 1 ,
2
)
s1 s2
2 2
DF 3
SS 504
MS 168
F 20.56**
了k个处理的平均值有显著差异，但是并不
能说明两两平均数间的显著差异，这就需要
进行多个平均数间的两两比较，即多重比较
3. 多重比较的优点
• 比较的精确度增大了
• 所得到的结论更全面，更可靠了
二、怎样进行多重比较
常用的有： 最小显著差数法(Least significant difference, LSD法) LSD－t检验 （有专业意义的均数间比较） 最小显著极差法(Least significant ranges, LSR法):这个方法是不 同平均数间的比较采用不同的显著差数标准，克服了LSD法的 局限性，用于平均数间的所有相互比较） ☆ 新复极差测验(SSR法)又称Duncan法 （new multiple range method) ☆ SNK－q检验(student Newman Keuls) （多个均数间全面比较）又 q检验 Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） Tukey(真正显著差法HSD: 用单一值作为判断的标准) 、 • 还有Scheffe、 Waller 、BON等比较方法
1. 为什么要进行多重比较？
例：水稻不同药剂处理的苗高(cm) 药剂 苗高观察值 总和Ti A 18 21 20 13 72 B 20 24 26 22 92 C 10 15 17 14 56 D 28 27 29 32 116 经方差分析得下表：
变异来源 DF SS MS F 显著F值
平均
x
i
18 23 14 29

x
平方和与自由度的分解 在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。 将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间（ between
group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变
组间平方和： 组内平方和：
SS T
SS
t
x

C 602
504

Ti n
SS e SS T SS t 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总
N
Y ij Y
i 1 j 1
a
ni

2

2
Y C
2 ij i 1 j 1
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著 性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。 • F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的 临界值 F。 • ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著 影响。
异平方和两部分；
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度两部
分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异； 组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异； 组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
a
ni

Y C＝ ( N 1) S
2 ij i, j
总 N 1
2
校正系数： C
(
a
Y ij )
N
ni
( Y ij )
i, j
N
2
i 1 j 1
N
SS组间
n i (Yi Y )
2 i 1
ni
a
a
( Y ij )
j 1
ni
2
C
i 1