数学建模第四次作业-根据层次分析法选择旅游目的地

数学建模期末作业题目：根据层次分析法选择旅游目的地

一、问题提出

假设有杭州、成都、北京、桂林、西安、重庆、武汉、青岛、三亚、厦门、上海、天津、广州、苏州、南京、深圳、洛阳、大连、内蒙古、拉萨共20个地方供你选择，你会根据景色、费用、居住、饮食、旅游等一些条件，去选择一个城市旅游。根据层次分析法，如何选择？

二、层次分析法基本简介

层次分析法(The analytic hierarchy process)简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂

(T.L.Saaty)正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方

法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。

三、模型假设

1.假设同学们以正常的心态旅游。

2.当旅游城市的距离较大时，时间可能比较长，这时，

为了协调时间并达到总费用最少，可以选择不同的交通工具，改变旅游时间，从而改变总费用。当旅游城市距离较少时，时间比较短，假设与一个时段相比可忽略不计，则可以看成当时出发当时可到的情况。

3.假设飞机，火车正常运行，旅行费用只与旅游路线，

时间及交通工具有关。

4.假设乘坐交通工具选用飞机时两城市之间的距离按直

线距离代替

5.假设饮食方面无个人偏好，以大众口味进行评估；

6.假设居住酒店价格为该旅游城市中等水平且便于外出；

7.假设旅行费用均在可接受的范围之内。

四．模型建立

利用层次分析法构造层次分析模型。

五．模型求解

1、杭州、成都、北京、桂林、西安、重庆、武汉、青岛、三亚、厦门、上海、天津、广州、苏州、南京、深圳、洛阳、大连、内蒙古、拉萨共20个城市分别用p1,p2......,p20表示。设选择旅游地为目标O。

通过互相比较准则层五个因素对最上层选择旅游地的影响，设旅游人数为C1，设酒店数量为C2，设旅游花费为C3，设3A景区数为C4，设公交线路数为C5.设它们的权重分别为C1=3，C2=7，C3=9，C4=5，C5=1，参照.L.Saaty的比例九标度法给出各层次的两两判断矩阵（见下表）

2、设要比较各准则C1,C2,C3,C4,C5对目标O的重要性

C i:C j：a(ij) A=(a ij)m*n，a ij>0，a ji=1/a ij

A=[1，3/7，1/3，3/5，3；7/3，1，7/9，7/5，7；3，9/7，1，9/5，9；5/3，5/7，5/9，1，5；1/3，1/7，1/9，1/5，1]

A~成对比较阵A是正互反阵

要由A确定C1,,,,,,C5对O的权向量

3、成对比较阵和权向量

成对比较的不一致情况

A=[1，3/7，1/3，3/5，3；7/3，1，7/9，7/5，7；3，9/7，1，9/5，9；5/3，5/7，5/9，1，5；1/3，1/7，1/9，1/5，1]

a12=1/2（C1:C2）

一致比较-----a23=8(C2:C3)

a13=4（C1:C3）

4、“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵

A=[1，3/7，1/3，3/5，3；7/3，1，7/9，7/5，7；3，9/7，1，9/5，9；5/3，5/7，5/9，1，5；1/3，1/7，1/9，1/5，1]

最大特征根γ= 5.0000

权向量（特征向量）W=[0.2335;0.5449;0.7006;0.3892;0.0778]

一致性指标CI= (5.0000 -5)/(5-1)=0

随机一致性指标RI=1.12（通过查表得到）

一致性比率CR=0/1.12=0<0.1

通过一致性检验

5、组合权向量

记第二层（准则）对第一层（目标）的权向量为W2=（W21,...

同样求第三层（方案）对第二层每一元素（准则）的权向量

方案层对C1（旅游人数）方案层对C2（酒店数量）的成对比较阵的成对比较阵

B1=[1，3，7；B2=[1，1/2，1/4；

1/3，1，3；2，1，1/2；...Bn 1/7，1/3，1]4，2，1]

最大特征根γ1γ2...γn 权向量W31W32 (3)

第三层对第二层的计算结果

RI=1.6292 (n= 20),CI k均可通过一致性检验

方案P1对目标的组合权重为

0.3493x0.2335+0.2696x0.5449+0.6619x0.7006+0.5822x0.3892+0.1677x 0.0778=0.9318

方案P2对目标的组合权重为

0.3222x0.2335+0.1918x0.5449+0.7517x0.7006+0.5369x0.3892+0.0775x 0.0778=0.9214

......

方案P11对目标的组合权重为

0.2388x0.2335+0.5701x0.5449+0.6675x0.7006+0.4072x0.3892+0.0814 x0.0778=0.9989

......

通过计算各个方案对目标的组合权重知，方案P11对目标的组合权重最大，为0.9989，所以考虑景色、费用、居住、饮食、旅游等一些条件，建议游客去上海游玩。