中国科学技术大学概率论与数理统计

4 March 2020
中科大软件学院
第五章 大数定律与中心极限定理
第3页
常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P

1 n
n

i 1
Xi

1 n
n
E(Xi)
i 1


1
则称{Xn} 服从大数定律.
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第五章 大数定律与中心极限定理
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注意点
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. (2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例. (3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
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第五章 大数定律与中心极限定理
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P

900

100 i 1
Xi

930




930 100 9.62 100 0.82




900 100 9.62 100 0.82
§5.2 中心极限定理
第12页
5.2.1 独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
n
Yn Xi i1
➢ 讨论独立随机变量和的极限分布,
➢ 本节指出极限分布为正态分布.
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第五章 大数定律与中心极限定理
第13页
5.2.2 独立同分布的中心极限定理
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第五章 大数定律与中心极限定理
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依概率收敛（续）
推论5.1.3 (多变量函数)
设 Xn P a ，Yn P b ，又设函数
g(x,y)在点(a,b)连续，则 g(Xn,Yn) P g(a,b)
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第五章 大数定律与中心极限定理
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
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第五章 大数定律与中心极限定理
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例5.2.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
由中心极限定理得，所求概率为：
P

200 i 1
Xi

20500

1


20500 200 100 200 100
1 (3.54) = 0.0002
第五章 大数定律与中心极限定理
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第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 §5.3 小结
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第五章 大数定律与中心极限定理
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§5.1 大数定律
➢ 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； ➢ 给出几种大数定律：
伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.
nlim
P

Yn

Y



1

则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
Yn P Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
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依概率收敛的性质
定理5.1.2 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
第五章 大数定律与中心极限定理
第14页
林德贝格—勒维中心极限定理的推论
n i1
Xi

n
~
N (0,1)
n
1
n
X n
i1 i
~ N (0,1)
/ n
X ~ N (0,1)
/ n
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第五章 大数定律与中心极限定理
第15页
例5.2.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一 箱味精的净重大于20500克的概率?
第8页
伯努利大数定律
定理5.1.4（伯努利大数定律）
设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数， 每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
nlim
P


n
n

p


1
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马尔可夫大数定律

( 3.53) (6.85) = 0.00021
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5.2.3 二项分布的正态近似
定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
第五章 大数定律与中心极限定理
第4页
切比雪夫大数定律
定理5.1.1
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律.
证明用到切比雪夫不等式.
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依概率收敛
定义5.1.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
定理5.2.1 林德贝格—勒维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有

lim P
X n
i1 i
n

x

(x)
n
n

应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
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定理5.1.5
若随机变量序列{Xn}满足：
1
n2
Var

n i1
Xi

0
(马尔可夫条件)
则 {Xn}服从大数定律.
Baidu Nhomakorabea
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辛钦大数定律
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定理5.1.6
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的 数学期望存在，则 {Xn}服从大数定律.
P

n np
x (x)
n np(1 p)