高二数学 《双曲线的参数方程》(课件)
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双曲线的参数方程
[例1] 如图，以原点O为圆心，a，b(a>0，
b>0)为半径分别作同心圆C1，C2.设A为圆C1上
任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线AA'
与x轴交于点A'，过圆
y
C2与x轴的交点B作圆 C2的切线BB'与直线OA 交于点B'.过点A'，B'分
别作y轴，x轴的平行线
B'
A
M
O B A' x
***练习***
2. 设P为等轴双曲线x2 y2 1上 的一点, F1, F2是两个焦点, 证明:| PF1 | | PF2 || OP |2 .
作业：P27
双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行线, 分 别 为 两 渐 近
线交于A, B两点.探 求平行四边形MAOB 的面积,由此可以发
y A
M
OB
x
现什么结论?
解 : 双曲线的渐近线方程为: y b x. a
不 妨 设M为 双 曲 线 右 支 上 一 点, 其 坐 标
为(a sec , b tan ),
2
2
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
2
2
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
2
2
说明：
(1) 这里参数叫做双曲线的离心
角与直线OM的倾斜角不同.
(2) 双曲线的参数方程可以由方
程
x2 a2
y2 b2
1与三角恒等式sec2
1
tan2 相比较而得到,所以双曲线的
参数方程的实质是三角代换.
则 直 线MA 的 方 程 为:
y b tan b ( x a sec )...(1)
a
将y b x代入(1), 解得点A的横坐标为 a
xA
a 2
(sec
tan )
同 理 可 得, 点B的 横 坐 标 为x B
a (sec
2
tan )
设AOx , 则tan b .
a
所以MAOB的面积为
说明：
(1) 这里参数叫做双曲线的离心
角与直线OM的倾斜角不同.
(2) 双曲线的参数方程可以由方
程
x2 a2
y2 b2
1与三角恒等式sec2
1
tan2 相比较而得到,所以双曲线的
参数方程的实质是三角代换.
[例2]
如
图,
设M为
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1
(a 0, b 0)任意一点,O为原点,过点M作
A'M，B'M交于M。
求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数
方程.
双曲线的参数方程
y
a A B' M
O B A' x b
双曲线的参数方程
在M( x, y) 在OAA'中, x | OA'|
| OA | b b sec , cos cos
y
a A B' M
O B A' x b
在OBB'中, y | BB'|| OB | tan b tan .
所
以M的
轨迹方程是
x y
a b
sec tan
(为参
数)
消去参数后, 得
x2 a2
y2 b2
1,
这是中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线.
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
S
MAOB
| OA | | OB | sin 2
xA
cos
xB
cos
sin 2
a2 (sec2
4 cos2
tan2 )
sin 2
a2 2
tan
a2 2
b a
ab 2
***练Biblioteka Baidu***
1. 双曲线 x 3 tan (为参数)的 y 4sec
焦点坐标为__________, 渐近线方程是 ___________ .
[例1] 如图，以原点O为圆心，a，b(a>0，
b>0)为半径分别作同心圆C1，C2.设A为圆C1上
任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线AA'
与x轴交于点A'，过圆
y
C2与x轴的交点B作圆 C2的切线BB'与直线OA 交于点B'.过点A'，B'分
别作y轴，x轴的平行线
B'
A
M
O B A' x
***练习***
2. 设P为等轴双曲线x2 y2 1上 的一点, F1, F2是两个焦点, 证明:| PF1 | | PF2 || OP |2 .
作业：P27
双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行线, 分 别 为 两 渐 近
线交于A, B两点.探 求平行四边形MAOB 的面积,由此可以发
y A
M
OB
x
现什么结论?
解 : 双曲线的渐近线方程为: y b x. a
不 妨 设M为 双 曲 线 右 支 上 一 点, 其 坐 标
为(a sec , b tan ),
2
2
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
2
2
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
2
2
说明：
(1) 这里参数叫做双曲线的离心
角与直线OM的倾斜角不同.
(2) 双曲线的参数方程可以由方
程
x2 a2
y2 b2
1与三角恒等式sec2
1
tan2 相比较而得到,所以双曲线的
参数方程的实质是三角代换.
则 直 线MA 的 方 程 为:
y b tan b ( x a sec )...(1)
a
将y b x代入(1), 解得点A的横坐标为 a
xA
a 2
(sec
tan )
同 理 可 得, 点B的 横 坐 标 为x B
a (sec
2
tan )
设AOx , 则tan b .
a
所以MAOB的面积为
说明：
(1) 这里参数叫做双曲线的离心
角与直线OM的倾斜角不同.
(2) 双曲线的参数方程可以由方
程
x2 a2
y2 b2
1与三角恒等式sec2
1
tan2 相比较而得到,所以双曲线的
参数方程的实质是三角代换.
[例2]
如
图,
设M为
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1
(a 0, b 0)任意一点,O为原点,过点M作
A'M，B'M交于M。
求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数
方程.
双曲线的参数方程
y
a A B' M
O B A' x b
双曲线的参数方程
在M( x, y) 在OAA'中, x | OA'|
| OA | b b sec , cos cos
y
a A B' M
O B A' x b
在OBB'中, y | BB'|| OB | tan b tan .
所
以M的
轨迹方程是
x y
a b
sec tan
(为参
数)
消去参数后, 得
x2 a2
y2 b2
1,
这是中心在原点, 焦点在x轴上的双曲线.
双曲线的参数方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的参数方程为:
y
a A B' M
x y
a b
sec tan
(为参
数)
O B A' x b
通常规定 [0,2 )且 , 3 .
S
MAOB
| OA | | OB | sin 2
xA
cos
xB
cos
sin 2
a2 (sec2
4 cos2
tan2 )
sin 2
a2 2
tan
a2 2
b a
ab 2
***练Biblioteka Baidu***
1. 双曲线 x 3 tan (为参数)的 y 4sec
焦点坐标为__________, 渐近线方程是 ___________ .