二自由度机器人的结构设计与仿真

二自由度机器人的结构设计与仿真
学院：专业：姓名：指导老师：机械与车辆学院
机械电子工程
学号：
职称：教授
二自由度机器人的结构设计与仿真
摘要
并联机器人有着串联机器人所不具有的优点，在应用上与串联机器人形成互补关系。

二自由度并联机器人是并联机器人家族中的重要组成部分，由于结构简单、控制方便和造价低等特点，有着重要的应用前景和开发价值。

本论文研究了一种新型二自由度平移运动并联机构，该并联机构采用类五杆机构，平行四边形刚架结构来实现，可有效地消除铰链间隙，提高动平台的工作性能，同时有抵抗切削颠覆力矩的能力。

根据该二自由度平面机构的工作空间，利用平面几何的方法求得连杆的长度，并通过Pro/E软件进行仿真检验，并通过软件仿真的方式，优化连杆长度，排除奇异点，同时合理设计机械结构的尺寸，完成结构设计。

对该二自由度并联机器人，以Pro/E为平台，建立两自由度平移运动并联机器人运动仿真模型，验证了机构的实际工作空间和运动情况。

最后指出了本机构的在实际中的应用。

并使用AutoCAD软件进行了重要装置和关键零件的工程图绘制工作，利用ANSYS 软件分析了核心零件的力学性能。

研究结果表明，本文所设计的二自由度机器人性能良好、工作灵活，很好地满足了设计指标要求，并已具备了一定的实用性。

关键词：二自由度；并联机器人；仿真；结构设计；Pro/E
2-DOF robot structure design and simulation
Abstract
Parallel robot has a series of advantages of the robot does not have to form a complementary relationship between the application and the series robot. The 2-DOF parallel robot is an important part of the family of parallel robots. The structure is simple, convenient and cost control and low, with significant potential applications and the development value. In this thesis, a new 2- DOF translational motion parallel mechanism, the analogous mechanism for class five institutions, parallelogram frame structure, which can effectively eliminate the hinge gap and improve the performance of the moving platform, while resistance to cutting subvert the torque capacity.
The working space of the 2-DOF planar mechanism, the use of plane geometry to obtain the length of the connecting rod, and the Pro/E software simulation test, and software simulation to optimize the connecting rod length, excluding the singular point, while the size of the rational design of mechanical structure, complete the structural design. And important equipment and key parts of the engineering drawings using AutoCAD software, using ANSYS software to analyze the mechanical properties of the core parts.
The 2-DOF parallel robot to the Pro/E platform, the establishment of the 2-DOF of translational motion parallel robot simulation model to verify the organization's actual work space and movement. Finally, this institution in the practical application. The results show that the combination of good motor performance of the 2-DOF parallel robot，good to meet the index requirements, and already have a certain amount of practicality.
Keywords: 2-DOF; parallel robot; simulation; structural design; Pro/E
目录
1前言 (1)
1.1本课题的研究背景及意义 (1)
1.1.1什么是机器人 (1)
1.1.2机器人技术的研究意义 (1)
1.2机器人的历史与发展现状 (2)
1.2.1机器人的发展历程 (2)
1.2.2机器人的主要研究工作 (3)
1.2.3少自由度机器人的发展历程 (4)
1.3本课题的研究容 (5)
2二自由度机器人系统方案设计 (7)
2.1二自由度并联机器人机构简介 (7)
2.2执行机构方案设计及分析 (7)
3二自由度机器人的结构设计与运动分析 (8)
3.1已知设计条件及参数 (8)
3.1.1连杆机构自由度计算 (8)
3.1.2五杆所能达到的位置计算 (8)
3.2对机构主体部分的运动学逆解分析 (10)
3.2.1位置分析 (10)
3.2.2速度与加速的分析 (11)
3.3受力分析 (12)
4基于Pro/E软件环境下二自由度机器人的结构设计 (16)
4.1 Pro/E软件简介 (16)
4.2驱动元器件的选择 (17)
4.2.1步进电机的选择 (17)
4.2.2联轴器选择 (18)
4.3平面连杆机构的结构参数确定 (19)
4.4输入轴的设计 (20)
4.5安装支架的参数确定 (21)
5基于Pro/E软件环境下的机器人装配及动态仿真 (23)
5.1虚拟装配过程 (23)
5.1.1连杆机构的装配 (23)
5.1.2安装支架的装配 (24)
5.1.3完成二自由度机器人的最终装配 (24)
5.2基于Pro/E软件环境下的动态仿真 (25)
6基于AutoCAD软件环境下的机械结构设计 (31)
6.1AutoCAD软件简介 (31)
6.2平面连杆机构的结构设计 (32)
6.3机架的结构部件图绘制 (33)
6.4二自由度机器人工程图绘制 (34)
7基于Ansys软件环境下的有限元分析 (36)
7.1Ansys软件简介 (36)
7.2对输入轴的有限元分析 (37)
7.3对输入连杆的有限元分析 (37)
8 总结与展望 (40)
8.1课题研究工作总结 (40)
8.2研究展望 (41)
参考文献 (42)
致 (44)
附录（一） (45)
附录（二） (53)
1前言
机器人技术是一门光机电高度综合、交叉的学科，它涉及机械、电气、力学、控制、通信等诸多方面。

机器人技术的发展，应该说是利用科学技术发展的一个综合性的结果，同时，也是为社会经济发展产生了重大影响的一门科学技术。

随着社会的发展，人们不断探讨自然、改造自然、认识自然过程中，实现人们对不可达世界的认识和改造，这也是人们在科学技术发展过程中的一个客观需要。

1.1本课题的研究背景及意义
1.1.1什么是机器人
机器人(Robot)的研究是由仿生学、机械工程学和控制工程学等多学科相互融合而形成的一门综合性学科，它代表了机电一体化的最高成就，所研究的机器人是一种能够代替人从事多类工作的高度灵活的自动化机械，而机器人技术研究的一个主要目的就是使其能够代替人劳动，能够灵活自如地完成人所能完成的和难以胜任的工作。

1.1.2机器人技术的研究意义
机器人技术的出现和发展不仅使传统的工业生产发生根本性的变化，而且对人类的社会生活也产生了深远的影响。

最初人们应用开环串联作为机器人操作机，因为它们具有像人手臂一样的广阔运动空间以及灵活机动性等优点，但由于它们是悬臂结构，故承载能力差，在重载情况下容易弯曲变形，在高速运动时容易振动，且精确定位能力也不理想；后来人们观察生物世界，发现动物肢体由多个并行的腿支撑，负载时平稳，人类自身用双手配合拿起重物时也较单臂时轻松，三个并行手指精确的使用能够完成像书写这样的精细工作，人类从中受到启迪，开始研制并联机器人，并希冀并联机器人具有较好的刚性和定位能力，从而更大限度满足人们生活娱乐的需要[1]。

近20年来并联机器人备受人们关注，越来越多的国外学者开始从不同方向从事并联机器人技术的研究工作，越来越多的并联机器人在机械加工、仿生、军事、医疗、生物、宇航和海洋工程等领域得到应用作为一种先进的生产工具，利用机器人不仅能够完成大量简单重复性工作，而且可以完成许多以前必须通过人工才能完成的复杂工作，在提高效率的同时改善了质量。

但传统的串联机器人存在关节误差累积效应、末端执行器刚度较低和负载驱动能力有限等问题，这都限制了串联机器人在实际应用中的性能。

为了弥补串联机器人的不足，人们提出了一种新型的具有多运动链结构的机器人——并联
机器人。

从机构学上看，并联机器人具有运动惯量低、刚度大、负载能力强等优点，这恰恰弥补了串联机器人的不足，使得并联机器人成为一个潜在的高性能运动平台。

由于实际应用的需要，目前对机构简单、驱动元件少、成本低、工作空间比较大的少自由度机构的研究，已成为机构学领域的一个热点问题。

目前，国际学术界和工程界对研究和开发并联机床非常重视，对这种新型数控装备的工程应用前景和市场潜力极为乐观，纷纷投入人量人力和物力竟相开发，并从20世纪90年代初以来相继推出多种结构相似而名称各异的产品化样机。

随着并联机器人技术的发展，少自由度并联机构因其结构简单、经济，引起了许多学者的广泛兴趣。

1.2机器人的历史与发展现状
1.2.1机器人的发展历程
并联机器人的出现可以追溯至20世纪30年代。

1931年，Gwinnett[2]在其专利中提出了一种基于球面并联机构的娱乐装置，如图1.1所示；1940年，Pollard[3]在其专利中提出了一种空间工业并联机构，用于汽车的喷漆；如图 1.2 所示；之后，Gough[4]在1962年发明了一种基于并联机构的六自由度轮胎检测装置；如图 1.3所示；三年后，Stewart[5]首次对Gough发明的这种机构进行了机构学意义上的研究，并将其推广应用为飞行模拟器的运动装置，如图1.4所示，且把它命名为Gough-Stewart机构或Stewart 机构，目前“Stewart Platform”已成为并联机器人领域中使用最多的名词之一。

图1.1 并联娱乐装置图1.2 Pollard并联机构
图1.3 Gough并联机构图1.4 Stewart 并联机构近几十年来，德国、意大利、法国及英国的机器人产业发展比较快。

目前，世界上
机器人无论是从技术水平上，还是从己装备的数量上，优势集中在以美日为代表的少数几个发达的工业化国家。

我国工业机器人起步于20世纪70年代初，大致可分为三个阶段:70 年代萌芽期，80年代的开发期，90年代的实用化期。

1965年美国的D.Stewart发明了六自由度并联机构并用于飞行模拟器中训练飞行员；澳大利亚著名机构学教授K.H.Hunt[6]在 1978 年提出可以应用6自由度的Stewart 平台机构作为机器人机构将并联机构Parallel Manipulator用于机器人手臂并提出多种形式的并联结构对其可行性进行了系统研究。

自1978年Hunt提出并联机器人结构模型以来,并联机器人的研究受到许多学者的关注，美国、日本先后有Rooney Ficher、Duffy Sugimoto等一批学者从事研究；英国、德国、俄罗斯等一批欧洲国家也在研究Ficher对六自由度并联机器人机构的基础理论、基本结构及其奇异性等。

国燕山大学的黄真教授自1982年以来在美国参加了此项容的研究，并于1983年取得了突破性的进展。

在国，黄真教授在并联机器人方面做出了较突出的贡献，1991年他研制出我国第一台六自由度并联机器人样机，如图1.5所示；1994年又研制出柔性铰链并联式六自由度机器人误差补偿器，如图1.6所示；然后在1997年出版了我国第一部关于并联机器人理论及技术的专著。

图1.5 并联机器人样机图1.6 机器人误差补偿器迄今为止，多自由度机械手的样机各种各样，包括平面、空间不同的自由度的机构以及超多自由度并串联机构。

大致说来，60年代曾用来开发飞行模拟器，70年代提出并联机械手的概念，80年代末期开始研制并联机器人机床，90年代利用并联机构开发起重机。

日本的田和雄、山胜等人则利用并联机构开发宇宙飞船空间对接器等。

1.2.2机器人的主要研究工作
多自由度机械手的理论研究涉及到许多现代控制、现代测量、建模仿真等科技。

因此，有大量理论研究工作在深入进行。

目前，主要的研究工作有以下几个方面：
1.设计理论研究。

由于有些机械手具有作业空间小和奇异点多的不足，目前理论的
研究有是围绕着扩大作业空间、改善灵活性、回避奇异点的运动特性和运动规律，这涉及到结构学、运动学、动力学、机构学、数学等研究领域。

2.控制技术研究。

目前对控制方法、控制精度、数控编程等方面分别进行了研究，其关键技术是通过机械手各个驱动杆的控制，实现X轴、Y轴和Z轴的控制，使指定点精确地到达指定位置。

3.误差分析研究。

由于存在着许多其它影响精度的因素，如制造和安装误差，连接杆上下铰接处的间隙，杆长偏差对动平台位置精度的影响等等。

一些学者对此进行了专门的研究并建立了相应的精度分析模型。

近年来，随着控制控制理论和计算机技术的快速发展，以机器人为核心的自动化生产设备成为现代产业的一个重要支柱，它大大提高了生产的质量和效率。

由于机器人在生产、生活等方面的广泛应用，对机器人的控制研究一直是该领域专家的研究重点。

1.2.3少自由度机器人的发展历程
在并联机器人机构体系中，有着多种机构种类划分方法，按照自由度划分，有2个自由度、3个自由度、4个自由度、5个自由度和6个自由度并联机器人，其中2~5个自由度机器人被称为少自由度机器人；按照机器人机构结构划分，可分为平面结构机器人、球面结构机器人和空间结构机器人。

多自由度机械手以其独特的结构和先进的控制技术，其在生产生活中的地位越来越重要。

当制造业面临全球市场竞争，必须以快速响应求生存、求发展的时候，机械手的一些优点具有明显的市场潜力和良好的发展前景就显现了出来。

现代社会对工业机器人的操作性能和运行速度的要求不断提高，实际工程应用的要求促使人们去研究具有刚度好、运行速度快负载能力强的新型机器人。

80年代以来世界各国纷纷开展基于并联机构机器人的研究与开发并在部分场合得到了应用。

但是目前仍然存在着工作空间较小、运动围有限的缺点。

因此，如何做工作空间较大的工业机器人臂、如何开发具有高速重载特点的机器人，也就是说具有新的功能特点的并串联复合机器人，这是个值得深入研究和探讨的问题。

由于多自由度的机器人存在建模困难、运动耦合和对元件精度要求高等不足，而且在许多情况下用户并不需要六自由度机械手，低于六自由度即可满足实际要求。

因此，近年来一些少自由度并联机构成为新的研究热点，少自由度机构具有结构简单、造价低等特点，在实际领域中有着广泛的应用前景。

许多学者研究了少自由度机构，有两转动一平动、三转动两平动、两转动两平动机构等，科技大学研制并出了平面 2 自由度驱动冗余并联机器人样机，如图1.7所示，通过增加一个串联分支同时增加一个驱动，构建了平面2自由度驱动冗余并联机器人，这种驱动冗余并联机器人的特点在于能克服瞬时自运动奇异而改善机构的灵巧性，同时减小了原非驱动冗余机构的理论可达工作空间。

由于驱动冗余可以改善机器人力传递的一致性，既减少了工作空间的奇异，同时增
加了机器人的承载能力和刚度，能够有效完成非冗余并联机器人的工作任务，所以，
平面2自由度驱动冗余并联机器人可以完成平面上点的定位，实现平面任意轨迹。

图1.7 平面2自由度驱动冗余样机图1.8 汽车变速器
球面机器人机构是一种各转动轴线相交于一点的空间机构，由于制造相对简单经济，结构紧凑，特别适用于空间姿态变化的地方，因而球面机构在工业上得到了比较广泛的应用，如广泛使用的万向节就是最典型的球面四杆机构，大多数实用的机器人的手腕就是一个球面三杆开链机构，如图1.8所示的作为汽车变速器为一种球面5R并联机构。

这些少自由度机构的出现，大大丰富了并联机器人的机理，拓宽了这些新机犁的应用前景。

但有些少自由度机构的许多结构、运动学等办面的性质尚未被认识，目前国外现有的空间机构综台与组成原理上不成熟，仍存在许多及待解决的问题。

因此分析少自由度机构的结构特性及运动特性，对少自由度机构的应用具有重要的理论意义，而且具有极高的研究价值[7]。

1.3本课题的研究容
本课题的预期目标是首先对两自由度平移运动并联机构的自由度数进行理论上的证明和仿真验证。

在此基础上对机器人工作空间进行详细分析，研究工作空间的区域，面积与机构尺寸间的关系，并根据各项性能跟机器人机构尺寸的关系，进行并联机器人结构设计。

最后对其进行运动学的仿真，验证并联机器人的工作空间和运动情况。

本论文的主要研究容如下：
第1部分阐述课题的研究背景和意义，综述国外相关领域研究情况，论述了本课题研究的主要容。

第2部分介绍了两自由度平移运动并联机器人结构，并对它的自由度进行了理论证明和仿真验证，确定机构的执行方案及机械系统的结构方案，为具体结构设计做好准备。

第3部分在机构尺寸模型的基础上，详细地讨论了有效工作空间的形状，面积大小
与机构尺寸的关系，求出机构在运动平面的等效杆长，并在Pro/E软件环境下，建立模型，通过计算、仿真优化机构尺寸。

最后设计整体机械结构，并使用Pro/E模拟仿真。

第4部分AutoCAD软件环境下对各个机械结构进行设计，并确定该并联二自由度机构的驱动元件。

第5部通过以Ansys，对主要机构，即连杆机构强度进行分析验证。

最后指出了本高刚度两自由度平移运动并联机器人的实际应用。

2二自由度机器人系统方案设计
2.1二自由度并联机器人机构简介
二自由度并联机器人机构（如图2.1），将两电机设置在固定支架上，固定平台与作两自由度平移运动的运动平台通过两条运动支链并形成一个封闭的结构。

可以在水平面的X和Y轴上移动，并保证平面上的一点可以到达一定围（200×180/长×宽）的任何一个位置。

该机构中有两根杆是平行四边形杆，用以保证平面的运动形式。

图2.1 二自由度并联机器人机构结构简图
2.2执行机构方案设计及分析
移动架的主体部分是由主动连杆和中间连杆组成的。

主动连杆有两根，安装在连杆安装座上。

一侧的主动连杆是一个平行四边形机构，用以保证运动的准确性。

主动连杆由电机驱动。

系统的主体部分是一个二自由度的类五杆机构，由于其特殊的结构，它具有以下特点：
1.根据结构布局特点，四根连杆近似成对称分布，便于加工、装配和保证配精度要求。

2.采用平行四边形刚架结构，可有效地消除铰链间隙，提高动平台的工作性能。

同时有抵抗切削颠覆力矩的能力，进而有利于改善整机结构的静、动态特性。

3.该系统结构简单，采用伺服电机驱动，具有较高的实用价值。

3二自由度机器人的结构设计与运动分析
3.1已知设计条件及参数
根据平面连杆机构的机构运动简图和已知的工作空间参数200×180mm，经过计算、分析，设定其他已知参数，如两电机间距、初始位置以及主动杆件的摆角围等，求解连杆长度。

3.1.1连杆机构自由度计算
图3.1 连杆机构结构简图
类五杆并联连杆机构的结构简图如图3.1所示，工作机构位于中间三角形部分，为满足工作条件，需要L1，L4两个杆件主动运动，即可控制工作机构在所需空间运动。

由图3-1可知，本机构包括8个活动构件，11个转动副，由自由度的计算公式F=3n-(2Pl+Ph)可知，整体自由度为F=3×8-2×11=2。

机构整体自由度为2，符合要求。

3.1.2五杆所能达到的位置计算
选取图3.2所示五连杆为模型。

已知五杆杆长AB、BC、CD、DE、EA分别为L1、L2、L3、L4、L5在五连杆运动过程中，欲求出点 C的运动轨迹域，需先找出点C 的几个极值位置的点，分析可知点C可达到的距固定铰支点A的最远距离为以点A为圆心以l1+ l2为半径的圆，同样可达到的距铰支点E的最远距离为以E点为圆心，以l3+ l4为半径的圆，而点C可达到的距固定铰支点A的最近距离为以点A 为圆心以l1−l2为半径的圆区域，同样可达到的距铰支点E的最近距离为以E点为圆心，以l3−l4为半径的圆，如图
3.2所示，现令
121
221
334
434 r l l r l l r l l r l l ⎧=-⎪
=+⎪
⎨
=-⎪
⎪=+⎩
根据上述原理，选定工作空间为200×
180mm2，对4杆进行研究， L1的工作空
间是半径为L1的圆域（设为圆1），L2
的工作空间在以半径L1+L2为半径的圆
2和圆1间，L3的工作空间是半径
为L3的圆域（设为圆3），L4的工作空
间在以半径L3+L4为半径的圆4和圆3
间。

由于三角形连接中的工作空间已知，
又机构做平动，由上述约束条件加上实图3.2 类五杆机构简图
际情况的附加条件可得到一系列的驱动尺寸，最后得到从动尺寸L1、L2和H（矩形工作空间下边线与水平轴L5的垂直距离。

作图过程中，需要考虑杆会干涉的点）。

作图步骤：
建立200×180mm2的矩形ABCD，使AB=CD=180mm，考虑到工作面是个三角形，估ABCD 向右平移25mm得到L2端点的工作空间。

以O为端点建立水平轴，以O为圆心，以L1和L2为（目前均未知）半径画同心圆，其中圆2过BC中点。

L2端点的工作空间就在圆1和圆2间。

同理在水平轴上取一点为圆心做半径为L3，L4的同心圆，使圆4距AB边20mm。

在上述约束条件下，驱动L1、L2以及AD与水平轴的垂直距离H有了取值方向，考虑到实际情况中，杆间角度不宜过小，甚至干涉。

做两处调整：使约束L2端点的工作空间与圆1有一定距离，从而避免L1和L2干涉，考虑到L3和L4的平行杆间比L1和L2更容易干涉，使整体工作空间往左偏移中线20mm。

通过上述尺寸预算，再经过Pro/E的模拟，进行尺寸的确定、验证、排除奇异点等。

最后确定各值如图3-3。

由图3.3可知，L1=243mm，L2=237mm，L3=175mm，L4=195mm，L5=690mm。

图3.3 连杆长度示意图
3.2对机构主体部分的运动学逆解分析
图3.4 五杆构件运动学分析参考图
3.2.1位置分析
如图3.4所示，由于机构的特殊性，O 点平动，其运动和受力同C 点一致，为了简化计算过程，可分析C 代替O 点，期中l 1，l 2，l 3，l 4，l 5代表五杆杆长，两原动件相位角为1ϕ和4ϕ，角速度为1ω和4ω，角加速为1α和4α。

C 点的位置为(),c c x y ，则C 点的位置方程为
2233
2233cos cos sin sin c b d c
b d x x l x l y y l y l ϕϕϕϕ=+=+⎧⎨
=+=+⎩ （3.1） 已知：原动件为杆1和杆4，l 1，l 2，l 3，l 4和l 5为五杆构件的杆长尺寸，运动输出
点C 的位置(),c c x y 、速度(),c c x y ''和加速度(),c c x y ''''，求两原动件的位置，角速度1ω、4ω，角加速为1α、4α。

由图3.2可知，B 点的位置坐标为
11
11
cos sin B A B A x x l y y l ϕϕ=+⎧⎨
=+⎩ （3.2） 令
()()2
2
22
012
C A C A A x x y y l l =-+-+-； ()012C A B x x l =--； ()012C A C y y l =--。

由式（3.1）和式（3.2）联立可得
00101cos sin 0A B C ϕϕ++= （3.3）
令()1tan /2T ϕ=，并将其带入式（3.3），可得
T =则12arctan T ϕ=，1ϕ有两组解。

同理可以求出2ϕ，3ϕ，4ϕ，这样也就求出了B 、D 点的坐标。

因为五杆机构的位置逆解是唯一的，取哪一组解取决于五杆机构的初始位置形式。

3.2.2速度与加速的分析
对式（3.1）和式（3.2）求导，联立得
111222
112222sin sin cos cos c A c
A x x l l y y l l ϕϕϕϕϕϕϕϕ''=--⎧⎨
''=++⎩ （3.4） 由式（3.4）可得
()()()()()()22
111121122112sin cos sin sin cos sin C A C A C
A C A y y x x l y y x x l ϕϕωϕϕϕϕϕωϕϕϕ''''-+-⎧==
⎪+⎪
⎨
''''-+-⎪==⎪-⎩
对式（3.4）求导，得
()()()()2211111122222222
111111222222sin cos sin cos cos sin cos sin C A C A x x l l l l y y l l l l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎧''''''''=-+-+⎪⎪
⎨
⎪''''''''=+-+-⎪⎩
（3.5） 由式（3.5）可得
()()()()
2222111222
11112sin cos cos sin A C A C y y x x l l l ϕϕϕϕϕϕαϕϕϕ''''''''-+----''==
- 同理可以求得4α和4ω的值。

通过Pro/E 仿真模拟可以得到速度与加速的值
3.3受力分析
下图，图3.5为带有牛顿参考系的二自由度平面五杆机构动力学建模简图，1e 、2e 、
3e 为空间3个方向的单位矢量. 已知各杆杆长为 1l 、2l 、3l 、4l 和5l ,假设质心位置处于
杆长的1/2处，载荷 F 作用在C 点处,，大小不变，方向与 C 点的速度方向相反.，且已知主动件 (两连架杆 )的运动规律，构件的质量和绕质心的转动惯量。

我们的目的是通过列出动力学方程来求出作用在驱动杆件上的平衡力矩。

约定各构件质心代号为 1、2、3、4, 求解过程如下。

图3.5 五杆机构动力学建模简图
1.求各质心点、外力作用点的偏速度和各刚体偏角速度。

以构件1l 、4l 的角位移1ϕ、
4ϕ为独立变量可构成完整的多刚体系统，Kane 方程用广义速率11u ϕ=、24u ϕ=来描述系统。

由11313e u e ωϕ==得
11131e u ωω∂=
=∂，1122
0u ω
ω∂==∂ 由44323e u e ωϕ==得
44110u ωω∂=
=∂，44232
e u ω
ω∂==∂ 又由质心1处的速度()1
11
2111cos sin 2
l v u e e ϕϕ=-得 ()11
1121111cos sin 2v l v e e u ϕϕ∂=
=-∂ 1
122
0v v u ∂=
=∂ 由()4
42
2414cos sin 2
l v u e e ϕϕ=-得 4
411
0v v u ∂=
=∂ ()44
4224142cos sin 2
v l v e e u ϕϕ∂=
=-∂ 构件3、4的偏速度、偏角速度可由约束条件获得，把机构虚拟成封闭的矢量图，可得
112254433
11224433
cos cos cos cos sin sin sin sin l l l l l l l l l ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=++⎧⎨
+=+⎩ （3.6） 对式（3.6）两端求导得
111222444333
111222444333
sin sin sin sin cos cos cos cos l l l l l l l l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+⎧⎨
+=+⎩（3.7） 由式（3.7）可得
()()()()()()2443111323
2231112242433332sin sin sin sin sin sin u l u l e l u l u l e l ϕϕϕϕωϕϕϕϕϕϕωϕϕ⎧⎡⎤---=⎪⎢⎥-⎪⎣⎦
⎨
⎡⎤-+-⎪
=⎢⎥⎪-⎣⎦⎩
从而
()()1132
2131223sin sin l e u l ϕϕωωϕϕ-∂=
=-∂- ()()
44322232223sin sin l e u l ϕϕωωϕϕ-∂=
=∂- ()()
11233131332sin sin l e u l ϕϕωωϕϕ-∂==∂- ()()
42433232332sin sin l e u l ϕϕωωϕϕ-∂=
=∂- 因为
()2
22
2212cos sin 2
B l v v e e ωϕϕ=+- ()112111cos sin B v l e e ωϕϕ=- 所以
2221112122112121cos cos sin sin 22l l v l e l e ϕωϕϕωϕ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
22222212cos sin 2l v e e ωϕϕ=
- 同理可得 ()()111221*********cos cos sin sin C v l l e l l e ϕωϕϕωϕ=+-+ ()22222212cos sin C v l e e ωϕϕ=-
()3
3131231213cos sin 2
l v e e ωϕωϕ=
- 3332443232443231cos cos sin sin 22l l v l e l e ϕωϕϕωϕ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2.广义主动力、广义惯性力和Kane 方程在Kane 方程中，理想约束力所对应的广义。