第5章 点的一般运动与刚体的基本运动
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r r S v lim lim ( ) t 0 t t 0 S t S r dS dr lim lim t 0 t t 0 S dt dS dS τ vτ dt
11
运动学
4.点的加速度
第六章 点的运动学
dv d dv dτ d 2 S dτ a (vτ) τ v 2 τ v dt dt dt dt dt dt (1)切向加速度 （表示速度大小的变化） dv d2S at τ 2 τ dt dt (2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化） dτ τ τ S an v v lim v lim ( ) t 0 t 0 S t dt t τ v 2 lim t 0 S
S dS ( lim v) t 0 t dt
12
运动学
第六章 点的运动学
| τ || τ' τ | 2 | τ | sin 2 sin 2 2 当t 0时, S 0, sin 2 2
2 sin sin 2 lim ( 2 ) d 1 t 0 S S dS 2
C M O A φ B P x
H
x r ( t sin t ) y r (1 c os t )
这方程说明 M 点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间
T=2π/ω ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P
是尖点。
19
运动学
例 题 6-7
y D v M OA
r xi yj zk
二.点的速度 dy dr dx dz v i j k dt dt dt dt
v vxi v y j vz k
v v x 2 v y 2 vz 2
vx cos( v i ) v
vy cos( v j ) v
6
vz cos( v k ) v
一.运动方程，轨迹
r r (t )
二.点的速度 平均速度
v r / t Δ r dr v lim r Δt 0 Δ t dt
*
三.加速度
Δ v dv d 2r a lim 2 r Δt 0 Δ t dt dt
5
§5-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
第六章 点的运动学
解: y B
考虑任意位置， M点的坐标 x， y可以表示成
x ( a b ) cos y b sin
A
消去上式中的角 ，即得M点的 C y M
轨迹方程: x
O
x
x2 y2 2 1 2 (a b ) b
16
运动学
例 题
第六章 点的运动学
半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（纯滚动）。 轮缘上一点 M ，在初瞬时与轨道上的 O 点叠合；在瞬时 t 半径 MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车 轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。
x OA OH AH 弧 MH MB r r sin
Fra Baidu bibliotek
B
x
y AM HB HC BC r r cos
18
H
运动学
例 题 6-7
第六章 点的运动学
对
x r r sin y r r cos
以
y D
E
t
代入，
得M点的运动方程
变 它的轨迹
可以是曲线
可以是直线
一.刚体平动的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A,B 两点的运动方程式: rA rA( t),rB rB(t) 而 rB rA rAB
drB d drA drAB vB (rA rAB ) v A ( 0) dt dt dt dt
2
v
sin
2
sin
2
2
MD
vy v
cos
t
2
cos
BD MD
M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。
20
运动学
例 题 6-7
y D
2
第六章 点的运动学
3.求M点的瞬时加速度。 求vx，vy对时间的一阶导数，得
E
a x r 2 sin t
a y r 2 cos t
22
位臵就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚 体内某一个有代表性的直线或平面的位臵即可。
OB作定轴转动，CD作平动
AB、凸轮均作平动
刚体平行移动的定义: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与 它的初始位臵平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
23
[例 ]
AB在运动中方向和大小始终不
s M
M s
ds d
1
O
圆的曲率半径就是圆的半径。直线的曲率为0， 曲率半径 。
三、自然坐标系 密切面——令点 M 无限趋近于点 M 时， 由 τ 和 τ 所确定的极限平面。 法平面——与切线垂直的平面。 主法线——密切面与法平面的交线。 其单位矢量用n表示。 副法线——法平面内垂直于密切面的法线。 其单位矢量用b表示。
25
运动学
二.定轴转动刚体的转动方程
如图所示转角,是固定面A与固连在转动刚体上 的动平面B的夹角。 确定了刚体的位臵，它的 符号规定如下：从z 轴正向看去,逆时针为正 ，
顺时针为负。因而刚体绕定轴转动的运动方程为
= (t)
单位用弧度(rad)
26
运动学
3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程S=s (t)
r f1 ( t )
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
8
f2 ( t )
二、曲率和曲率半径 定义曲线在M点处的曲率为
(+)
d lim s 0 s ds
曲率的倒数称为曲率半径，M点处 的曲率半径为
这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
x f 1(t) y f 2(t) z f (t) 3
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
7
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
三. 加速度.
dvz dv dvx dvy a i j k dt dt dt dt d 2x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k a xi a y j az k dt dt dt
a
[注 ]
a2
x
a 2
y
a 2
z
ax cos( a i ) a
y D
C
M
O
φ H
17
x
运动学
第六章 点的运动学
解：
1.求M点的运动方程。
在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道， 并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置， 因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐 标为
y D
C M O A φ
φ 2
第六章 点的运动学
2.求M点的瞬时速度。 求坐标 x，y 对时间的一阶导数， 得
φ
C
B P x
2
v x r (1 cos t )
v y r sin t
故得M点速度 v 的大小和方向
2
H
v v
2
x
cos( v , i )
cos( v , j )
t v y r (1 cos t ) sin t 2 r sin 2 vx t MB
ax MB cos(a, i ) sin a MC
这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。 这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
21
[例 ]
刚体的基本运动是指 刚体的平行 移动和转 动。
基本运动
§5-5
刚体的平行移动(平动)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又 由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的
角速度： 描述定轴转动方向及快慢的量是 角位移对时间的变化率称为角速度， 用ω表示
Δ d lim Δt 0 Δt dt
(代数量 )
角速度也为代数量。单位用rad/s(弧度 /秒）。 工程中常用单位还有 n 转/分(r / min) n与 的关系为:
2 πn π n 60 30
故得M点加速度 a 的大小 和方向，有
P x
C M O A φ a B
H
a a 2 x a 2 y r 2 ,
BC cos(a , j ) cos , a MC
ay
当t = 0时，有
2 a r x=0, y=0; v x 0, v y 0; a x 0, y
1
引 言
运动学的一些基本概念
①运动学
是研究物体在空间位臵随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。 :参考体(物);参考系;静系;动系。
②运动学研究的对象 ③运动学学习目的 ④运动是相对的 ⑤瞬时、时间间隔
(匀变速直线运动) (匀速圆周运动)
(匀速直线运动或静止)
<4> a n 0 , (直线运动) <5> a 0, v 常数 (匀速运动) <6> 常数 (圆周运动) <7> a 0 <8> a n 0
(匀速运动) (直线运动)
<9> a 0, an 常数 <10> a 常数, an 常数
27
运动学
描述角速度变化方向及快慢的量是角速度对时间的变化率， 称为角加速度，用α表示 角加速度:
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
单位: rad/s2
如果与 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动 下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当 =常数,为匀速转动时。有 = 0+ t 这里 0是 t = 0 时转角 的值。
()t
( )t t 2 t 1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
第5章 点的一般运动与刚体的 基本运动
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法 刚体的平行移动 刚体的定轴转动
§5-1 点的运动矢量分析方法
由图可知
t 0
lim |
τ | lim S t 0
即a n
v2
为轨迹曲线在点M 处的曲率半径
全加速度的大小方向为 a
2 t
n,
dv v2 a at an τ n dt
a a ,
2 n
13
| at | arctg an
③指出在下列情况下,点M作何种运动? <1> a n 0 , a 常数 <2> a 0 , 常数 <3> a 0
主法线
n
法面
密切面
s M
切线
M
b
自然坐标系—由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。 自然坐标系随点的位臵不同而改变。
副法线
2.自然轴系
b τ n 显然 以点M为原点，以切线、主法 线和副法线为坐标轴组成的正 交坐标系称为曲线在点M的自 然坐标系。
3.点的速度 经过 t时间,点沿轨迹由M到 M’，矢径有增量 Δ r ，则
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B 2 2 ( rA rAB ) 2 a A dt dt dt
24
得出结论:即
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。
即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
刚体的定轴转动
一.刚体定轴转动的特征及其简化
特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。
(匀速曲线运动) (匀变速曲线运动)
14
运动学
例 题
第六章 点的运动学
椭圆规的曲柄OA可绕
y B
定轴O转动，端点A以铰链
连接于规尺BC；规尺上的
点B和C可分别沿互相垂直
A
的滑槽运动，求规尺上任
一点M 的轨迹方程。
C
y M x
O
x
已知:
a OA AC AB 2 CM b.
15
运动学
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运动学
4.点的加速度
第六章 点的运动学
dv d dv dτ d 2 S dτ a (vτ) τ v 2 τ v dt dt dt dt dt dt (1)切向加速度 （表示速度大小的变化） dv d2S at τ 2 τ dt dt (2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化） dτ τ τ S an v v lim v lim ( ) t 0 t 0 S t dt t τ v 2 lim t 0 S
S dS ( lim v) t 0 t dt
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运动学
第六章 点的运动学
| τ || τ' τ | 2 | τ | sin 2 sin 2 2 当t 0时, S 0, sin 2 2
2 sin sin 2 lim ( 2 ) d 1 t 0 S S dS 2
C M O A φ B P x
H
x r ( t sin t ) y r (1 c os t )
这方程说明 M 点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间
T=2π/ω ，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P
是尖点。
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运动学
例 题 6-7
y D v M OA
r xi yj zk
二.点的速度 dy dr dx dz v i j k dt dt dt dt
v vxi v y j vz k
v v x 2 v y 2 vz 2
vx cos( v i ) v
vy cos( v j ) v
6
vz cos( v k ) v
一.运动方程，轨迹
r r (t )
二.点的速度 平均速度
v r / t Δ r dr v lim r Δt 0 Δ t dt
*
三.加速度
Δ v dv d 2r a lim 2 r Δt 0 Δ t dt dt
5
§5-2 点的运动的直角坐标法
一.运动方程轨迹
第六章 点的运动学
解: y B
考虑任意位置， M点的坐标 x， y可以表示成
x ( a b ) cos y b sin
A
消去上式中的角 ，即得M点的 C y M
轨迹方程: x
O
x
x2 y2 2 1 2 (a b ) b
16
运动学
例 题
第六章 点的运动学
半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（纯滚动）。 轮缘上一点 M ，在初瞬时与轨道上的 O 点叠合；在瞬时 t 半径 MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车 轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。
x OA OH AH 弧 MH MB r r sin
Fra Baidu bibliotek
B
x
y AM HB HC BC r r cos
18
H
运动学
例 题 6-7
第六章 点的运动学
对
x r r sin y r r cos
以
y D
E
t
代入，
得M点的运动方程
变 它的轨迹
可以是曲线
可以是直线
一.刚体平动的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A,B 两点的运动方程式: rA rA( t),rB rB(t) 而 rB rA rAB
drB d drA drAB vB (rA rAB ) v A ( 0) dt dt dt dt
2
v
sin
2
sin
2
2
MD
vy v
cos
t
2
cos
BD MD
M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。
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运动学
例 题 6-7
y D
2
第六章 点的运动学
3.求M点的瞬时加速度。 求vx，vy对时间的一阶导数，得
E
a x r 2 sin t
a y r 2 cos t
22
位臵就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚 体内某一个有代表性的直线或平面的位臵即可。
OB作定轴转动，CD作平动
AB、凸轮均作平动
刚体平行移动的定义: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与 它的初始位臵平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
23
[例 ]
AB在运动中方向和大小始终不
s M
M s
ds d
1
O
圆的曲率半径就是圆的半径。直线的曲率为0， 曲率半径 。
三、自然坐标系 密切面——令点 M 无限趋近于点 M 时， 由 τ 和 τ 所确定的极限平面。 法平面——与切线垂直的平面。 主法线——密切面与法平面的交线。 其单位矢量用n表示。 副法线——法平面内垂直于密切面的法线。 其单位矢量用b表示。
25
运动学
二.定轴转动刚体的转动方程
如图所示转角,是固定面A与固连在转动刚体上 的动平面B的夹角。 确定了刚体的位臵，它的 符号规定如下：从z 轴正向看去,逆时针为正 ，
顺时针为负。因而刚体绕定轴转动的运动方程为
= (t)
单位用弧度(rad)
26
运动学
3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度
一.弧坐标,自然轴系 1.弧坐标的运动方程S=s (t)
r f1 ( t )
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用) 同理可导出柱坐标下的点的运动方程
8
f2 ( t )
二、曲率和曲率半径 定义曲线在M点处的曲率为
(+)
d lim s 0 s ds
曲率的倒数称为曲率半径，M点处 的曲率半径为
这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。
x f 1(t) y f 2(t) z f (t) 3
当消去参数 t 后,可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。
7
§6-3 点的运动的自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
三. 加速度.
dvz dv dvx dvy a i j k dt dt dt dt d 2x d 2 y d 2z 2 i 2 j 2 k a xi a y j az k dt dt dt
a
[注 ]
a2
x
a 2
y
a 2
z
ax cos( a i ) a
y D
C
M
O
φ H
17
x
运动学
第六章 点的运动学
解：
1.求M点的运动方程。
在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道， 并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置， 因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH 。于是，在图示瞬时动点M 的坐 标为
y D
C M O A φ
φ 2
第六章 点的运动学
2.求M点的瞬时速度。 求坐标 x，y 对时间的一阶导数， 得
φ
C
B P x
2
v x r (1 cos t )
v y r sin t
故得M点速度 v 的大小和方向
2
H
v v
2
x
cos( v , i )
cos( v , j )
t v y r (1 cos t ) sin t 2 r sin 2 vx t MB
ax MB cos(a, i ) sin a MC
这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。 这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
21
[例 ]
刚体的基本运动是指 刚体的平行 移动和转 动。
基本运动
§5-5
刚体的平行移动(平动)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又 由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的
角速度： 描述定轴转动方向及快慢的量是 角位移对时间的变化率称为角速度， 用ω表示
Δ d lim Δt 0 Δt dt
(代数量 )
角速度也为代数量。单位用rad/s(弧度 /秒）。 工程中常用单位还有 n 转/分(r / min) n与 的关系为:
2 πn π n 60 30
故得M点加速度 a 的大小 和方向，有
P x
C M O A φ a B
H
a a 2 x a 2 y r 2 ,
BC cos(a , j ) cos , a MC
ay
当t = 0时，有
2 a r x=0, y=0; v x 0, v y 0; a x 0, y
1
引 言
运动学的一些基本概念
①运动学
是研究物体在空间位臵随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。
①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系 为后续课打基础及直接运用于工程实际。 :参考体(物);参考系;静系;动系。
②运动学研究的对象 ③运动学学习目的 ④运动是相对的 ⑤瞬时、时间间隔
(匀变速直线运动) (匀速圆周运动)
(匀速直线运动或静止)
<4> a n 0 , (直线运动) <5> a 0, v 常数 (匀速运动) <6> 常数 (圆周运动) <7> a 0 <8> a n 0
(匀速运动) (直线运动)
<9> a 0, an 常数 <10> a 常数, an 常数
27
运动学
描述角速度变化方向及快慢的量是角速度对时间的变化率， 称为角加速度，用α表示 角加速度:
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
单位: rad/s2
如果与 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动 下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当 =常数,为匀速转动时。有 = 0+ t 这里 0是 t = 0 时转角 的值。
()t
( )t t 2 t 1
⑥运动分类
1)点的运动 2)刚体的运动
第5章 点的一般运动与刚体的 基本运动
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法 刚体的平行移动 刚体的定轴转动
§5-1 点的运动矢量分析方法
由图可知
t 0
lim |
τ | lim S t 0
即a n
v2
为轨迹曲线在点M 处的曲率半径
全加速度的大小方向为 a
2 t
n,
dv v2 a at an τ n dt
a a ,
2 n
13
| at | arctg an
③指出在下列情况下,点M作何种运动? <1> a n 0 , a 常数 <2> a 0 , 常数 <3> a 0
主法线
n
法面
密切面
s M
切线
M
b
自然坐标系—由切线、主法线和副法线组成的正交 坐标系。 自然坐标系随点的位臵不同而改变。
副法线
2.自然轴系
b τ n 显然 以点M为原点，以切线、主法 线和副法线为坐标轴组成的正 交坐标系称为曲线在点M的自 然坐标系。
3.点的速度 经过 t时间,点沿轨迹由M到 M’，矢径有增量 Δ r ，则
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B 2 2 ( rA rAB ) 2 a A dt dt dt
24
得出结论:即
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。
即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
刚体的定轴转动
一.刚体定轴转动的特征及其简化
特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。
(匀速曲线运动) (匀变速曲线运动)
14
运动学
例 题
第六章 点的运动学
椭圆规的曲柄OA可绕
y B
定轴O转动，端点A以铰链
连接于规尺BC；规尺上的
点B和C可分别沿互相垂直
A
的滑槽运动，求规尺上任
一点M 的轨迹方程。
C
y M x
O
x
已知:
a OA AC AB 2 CM b.
15
运动学