6-第六章弯曲变形

第六章弯曲变形

、梁的挠曲轴

在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。

、挠度、转角

1.挠度、转角

挠度：梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。转角：梁

横截面绕其中性轴所转的角位移。

2.挠度、转角正负规定

挠度正负规定：挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。转角正负规定：转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。

三、挠度和转角的关系

6.1 弯曲变形基本概念

1.挠曲线方程：v=v(x)。挠曲轴是挠曲线方程的函数曲线

2.转角方程：0= 0(x)

3.挠曲线上任一点斜率tan B=dv

dx

在小挠度情况下，0很小(不超过1°或0.0175rad) 0俺tan8

所以，0(X)= dv'x) =vTx)

dx

1.梁在纯弯曲情况下的曲率公式

1 _M

? "EI

2.对于跨度I远大于高度h的细长梁(h >10),剪力对于弯曲变形的影响不计,

1

M和E皆为x的函数，所以

1_ M(x)

P (x) - EI

6.2 挠曲线的微分方程

a)

b)从几何关系上看，平面曲线的曲率又有表达式：

d2v

1 —d?。

P(X)「dv 2^2

r(dx)J 护0,

d2v 0 ”,

当M(x)为正时，梁的绕曲线向下凹,

当M(x)为负时，梁的绕曲线向上凸,

c)

d 2

v

在

小变形条件下，梁的转角很小，所以得

d 2

v

M(x) - - El

近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。

2

挠曲线近似微分方程： 雪一Mx l

dx 2

El

将挠曲线近似微分方程相继两次积分得： 转角方程：8 =岂一，Mx l dx +C ]

dx 「El

」

挠曲线方程：v = -[jR MEx^dxjdx 中Cx + D ]

积分常数由支承条件(边界的转角和挠度已知)和连续条件(挠曲线连续光 滑)确定。

例题：如图所示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试求 此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大的挠度和最大转角。

解：1.建立挠曲线微分方程并积分

梁的弯矩方程：M =-F(l-x)

梁的微分方程：Elv'-M =F(l-x)

F 2 F 3 Fl 2

积分得：E|9 X 2

+Flx +C ,Elv = -—X 3

+—x 2

+Cx +D

2 6 2

由弯矩的正负号规定和本章所取坐标系，得:

' dv 2

1+(丁)2

I dx

_ M(x) 芮

—"ET

6.3

用积分法求梁弯曲变形

3. 确定挠曲线、转角方程并求最大转角，最大挠度

0=— =(1x 2-lx)， V =--^(x 3

-Sx 3

)

El 2 6EI

梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面

B 处，将x=l 代数上式,

得：

旦

max "

2EI

Fl 3

V ma

"

3ir

6.4

用叠加法求梁弯曲变形

、叠加法原理

梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于各载荷 单独作用产生变形的代数和。

y= kQ =k (Q i +Q 2 十"Q n hkQ i +kQ 2 +…kQ n = y i + y 2 十"y n

二、叠加法的应用

例题: 1、简支梁上作用均布载荷q 以及集中力偶m =ql 2

,EI =常数，试用叠加法求梁跨 中

截面的挠度及两端截面 A 、B 的转角。

m =ql 2

------------ ►

2. 确定积分常数

梁的边界条件为：在固定端

X = O,0A = 0 ,

C = El T A = 0 ,

解得:

A 处转角和挠度等于零，即:

X = 0, V A = 0

D = EI V A = 0 (I)

1.外伸梁

十 11IU1 山 UHHH A HH

3 解：(1)均布载荷q 单独作用下，查表得:

⑵集中力偶m 单独作用下，查表得:

⑶叠加以上结果，得:

a)

解：AC 梁的弹性变形可分解为简支梁 AB 的弹性变形和BC 段的弹性变形。C

(1)分析简支梁AB 的变形

叠加得截面B 的转角为:

(2)分析悬臂梁BC 的变形

由于AB 梁的截面B 转到了日B ，原固结于悬臂梁BC 也整体转到了 ％，则由 日B 引起相应的C 点的挠度为:

5ql 4

+ q l 4

29ql 4

384EI 16EI -384EI ql 3

+ q l3 = 9ql 3

24 EI 3EI 24EI 13 ql ml 5ql 3

24EI - 6EI i 24EI

V c =(V c )q +(V c )

m

£A =(日 A )q +(£A )

m

日B =(T B ) q +(日B )m

(V c )q

4

5ql 384EI

(日A )q = —(£B )q

,3

ql 24EI

(V c )m

ml ql

16EI 16EI (日 A )m ml ql

3EI

3EI

(&B )

ml ql 6EI

6EI

2.如图a 所示截面外伸梁，EI=常数。 的转角和端点c 的挠

度。

点的挠度就是这两种变形引起的位移之和: = Vc1 V C 2

(%)

ml hal F 2I

3EI

3EI

F 2

16EI

Rai F 2l 3EI 16EI

使用叠加法求截面 B F

1