数学建模——回归分析模型多元线性回归模型

Y a bx , ~ N (0, )
2
b 这就是一元线性回归模型，为回归系数。 ~ N (0, 2 ) 是随机误差，是人们不可控制的。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
2 一元线性回归模型—— a, b, 估计 方法：最小二乘法 求解：对 x取不全相同的值做独立实验，得到样本。 ( x1 , Y1 ),( x2 , Y2 ),...,( xn , Yn ) 记第 i 组实验的误差 i，使总误差尽量小，即下式 yi
在生活中竞赛，在竞赛中生活
ˆ ˆ a ˆ bx y
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于
l xy
n
归形式是否为线性函数需要检验， 判别准则 称为拟合优度检验
R |||R R| | 接近1
x 的回
ˆR R XY
1 n ( xi x )( yi y ) n i 1
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
Excel是做一元线性回归的其中一种 软件，还有Spss，Matlab都可以做
请同学用 Excel完成上 面的例题
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型——模型
相关系数值为：
R
lxy
lxx l yy
0.9981
相关系数接近1，说明随机 变量与x具有显著的相关性， 线性回归的拟合度较高，检 验通过Leabharlann 在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归的Excel实现
（1）将数据导入Excel工作表； （2）工具栏中选插入—图表—XY散点图； （3）选择数据区域，填写标题、图例等内容，完成； （4）右击散点图—选添加趋势线—线性（类型）—在选项中 选显示公式和R平方值。此时作出了回归图并求得方程； （5）在工具栏中选工具—数据分析—找到回归并确定—选择 数据区域、输出数据区域，勾选置信度残差、标准残差、 线性拟合图。此时得到几个表格，可查得回归系数、常数 项及R平方值。
当︱R ︱ ＞Rα(n2), （通常取0.8） 认为X与Y之间的线性相关关系显著， 反之，则不显著
l yy ˆ R 1, b l xx 存在相关关系
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——应用举例
在研究机器工作效应时，测得工作时间与出品率 如下表所示，求出品率关于工作时间的回归方程 并作拟合优度检验。
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ˆx ˆi a ˆ b y i
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
线性回归

一元线性回归 多元线性回归
有何区别 与联系？
非线性回归
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归模型方程式
一元线 性回归
自变量
一元 一次
eg（仅从形式上） .
y kx b, x R
y k1 x1 k2 x2 ... kn xn , n 2, k R Yi 0 1 X1i 2 X 2i K X Ki ui
线性回归
多元线 性回归
多元 一次
多元多次及 其他函数形 非线性回归(暂不说明) 式
在生活中竞赛，在竞赛中生活
1 Y x 1 exp( 2 3 )
( Logistic模型)
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——模型
随机变Y 量（因变量）与实际变 x量（因变量） 存在着某种相关关系。现对Y 做正态假设确定 这种关系为： Y ~ N (a bx, 2 ) 其中 a, b, 2 为未知参数，与 x无关。上式等价于
工作 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 时长
出品 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 率
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
解：n 10, x 14.5, y 67.3
ˆ b
n
( x x )( y y )
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n
l xx 1l yy ( x i x ) 2
n i 1
[1,1]
1 n ( yi y )2 n i 1
方法：相关系数法（还有其他方法） R 为相关 样本相关系数如右式。
线性相关关系显著 线性相关关系不显著
系数。
ˆ a ˆ R 0, y
| |R R R| || 接近0
y 与 x无关系，不相关
令其偏导数为零，求得最大似然估计为：
1 n 2 ˆ ˆ ( y ) y i i n 2 i 1
2
这样我们就求得了未知参数 a , b 的值，我们记 为关于的经验回归方程，简称回归方程，其图形为回归直线。 2 2 越小，用一次线性函数研究 上面右式为计算 公式， 随机变量与的关系就越有效。
398.5 4.8303 82.5
ˆ 67.3 4.8303 14.5 2.7394 ˆ y bx a 所以回归方程为：
请同学将结论与实 际问题结合，分析 工作时长与出品率 的关系，并预测20 小时和6小时时的出 品率？时间趋于无 限大呢？
ˆ 4.8303x 2.7394 y