第7章题目 刚体力学gai

Ff 1 FN2 (m2 m1 ) g 0
l m2 gl cos m1 g cos 对O点 2 Ff 1l cos FN1l sin 0 Ff 1 1FN1 Ff 2 2 FN2
m2 g
l
m1g
FN2
O Ff 2

min tan 联立求解得：
mi xi mi
1 4 πR 2 R / 2 3 / 4πR 2 x2 c 0 πR 2
R百度文库x2c 6
第七章 刚体力学
[例题3]一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为
r=0.15m,转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动.飞轮
质心距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力.
计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计 算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞 轮所受重力对该压力的影响）. nπ 400 3.1416 [解 ] rad/s 41.9 rad/s 30 30 根据质心运动定理
F m 2 d 5.0 41.92 0.001 N 8.8 N
不垂直
(4)
不共线
第七章 刚体力学
[例题]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子与
墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为1 和2 ，为使质 量为m2 的人爬到梯子顶端时 ,梯子尚未发生滑动 .试求梯子与地 面间的最小夹角. Ff 1 FN1 [解]平衡条件 FN1 Ff 2 0
F1
y
FN1
y´
C
FN2
x´
F2
x
W
由上面方程可解出
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前
后轮对地面的压力大小 分别为 FN1 、 FN2 ，但 方向向下.
y 轴投影
FN1 FN2 W 0
F1 FN1 对质心轴的转动定理
2
π
2 I MR 2 5 （1）当R0=R时 2 I MR 2 3
1 3 1 5 5 2π( cos cos ) ( R R0 ) 3 0 5
5 5 R R 2 8 5 0 . π ( R 5 R0 ) M 3 3 5 R R0 15
π
第七章 刚体力学
例 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的 两端分别悬有质量为 m1 和 m2 的物体 1 和 2 ， m1< m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所 受的摩擦阻力矩为 Mr。绳与滑轮之间无相对滑 动。试求物体的加速度和绳的张力。 m
a m 1
m 2
第七章 刚体力学
解：按题意，滑轮具 有一定的转动惯量，在 转动中，两边绳子的张 力不再相等. 规定竖直向下为X轴正
1 m1 (1 1 2 ) 2m 2
2 2 ( m2 m1 )

第七章 刚体力学
1.刚体定轴转动几个重要定理和定律
质心运动定理
Fi mac
转动定律
M
i
I
动能定理
角动量守恒定律
A M z d
2 1
1 2 1 2 I 2 I1 2 2
第七章 刚体力学
2.2 转动惯量的计算举例 [例1]一匀质细棒的质量为M，长为L，转轴通过
棒上离中心为 D 的一点并与棒垂直，求细棒对
给定转轴的转动惯量。
解：由题意可给出右图
L/2-D L c O D x dm =λdx
取一质量元dm，设λ=M/L，
x
建立坐标系如图， 质量元的
长度为dx。 由转动惯量定义有，
第七章 刚体力学
刚体平面运动的解题步骤： 1. 求刚体受力的情况 2. 求刚体运动速度及角速度
(1) 利用质心运动定理列出
刚体平面运动的两个方程
（1）利用刚体平面运动
的动能定理
1 1 2 2 A Δ ( mv I 外 2 c 2 c )
Fi mac
(2) 利用刚体绕质心轴转动定 律列出方程
T1 T1
T2 T2
m2
G2
a1 a2 a2 r
第七章 刚体力学
M r r ( m2 m1 ) g a1 (m1 m2 m 2)
( m2 m1 ) g M r r a2 (m1 m2 m 2)
(m2 m1 ) g M r r (m1 m2 1 2 m) r
F2 FN2
( F1 F2 )h FN2 ( L l ) FN1l 0
[例题3] 在例题1中，设圆柱体
自静止开始滚下，求质心下落 高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩 擦力F 不做功，重力W做功， 由动能定理有.
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
y 轴上投影
x´ FN C
x
y´ y
W sin F mac
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3

1 mR 2 2
W
O F
FR I
1 F mg sin 3
第七章 刚体力学 [例2]质量为m的汽车在水平路 面上急刹车，前后轮均停止转 动. 前后轮相距L，与地面的摩 擦因数为 .汽车质心离地面高 度为h，与前轮轴水平距离为l . 求前后车轮对地面的压力. [解] 汽车受力如图. 根据质心运动定理 W FN1 FN2 F1 F2 mac O
挖掉半径为 R/2 的小圆板 , 大小圆板相切 , 如图
所示.求余下部分的质心. [解] 建立坐标系如图，设平板面
密度为,由对称性，yc= 0 小圆板 m1 1 4πR2 x1c R / 2 余下部分 m2 3 4πR 2 大圆板
m πR
2
y
O
x
x2c ?
xc 0 xc
3.刚体平面运动几个定理和定律 质心运动定理
Fi mac
转动定律
动能定理
1 1 2 2 A Δ ( mv I ) 外 c c 2 2
M
i
I
第七章 刚体力学
4. 刚体平衡条件
(1) (2) (3)
Fi 0
M
F
iy
iz
0
任意力
Fix 0 Fix 0
Miz 0
0
Miz 0
共面力
Miz 0 Miz 0
Miz 0 共面力 Miz 0 共面力
不垂直
(4)
不共线
第七章 刚体力学
[例题1] 求质量均匀，半径为R的半球的质心位置.
[解] 设半球的密度为，将半球分割成许多厚为
dx的圆片，任取其一体积元
dV πy 2 dx π(R2 x2 )dx V 2 3 πR3
xc
V
y R O
y
xdV 0R xπ ( R 2 x 2 ) dx 3 R V πR 3 2 / 3 8
x dx
z
x
由对称性得
yc zc 0
第七章 刚体力学
[ 例题 2] 在半径为 R的均质等厚大圆板的一侧
M Z 0, I zz 常量
第七章 刚体力学
2.刚体的质心和定轴转动的转动惯量的计算
xc xdm dm
M M
yc

M
ydm
dm
M
zc
zdm dm
M M
I r 2 dm（体dm dV；面dm dS；线dm dl）
转动惯量的其它计算方法
m1 (2m2 1 2 m) g M r r T1 (m1 m2 1 2 m)
m2 (2m1 1 2 m) g M r r T2 (m1 m2 1 2 m)
第七章 刚体力学
[例题2]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门， 可绕图中左方支点转动，总质量为m,质心在距 转轴2/3R处，闸门及钢架对支点的总转动惯量 7 为 I mR 2,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水， 9 近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧 形部分的切向加速度为 a=0.1g ， g 为重力加速 度,不计摩擦,不计水浮力.
dr r
y
I
R2 R1
r dm
2
R2 R1
r 2 2πr h dr
x
1 1 2 2 2 2 2 R2 ) πh( R2 R1 )( R2 R1 ) m( R2 1 2 2
2πh r 3 dr
R2 R1
第七章 刚体力学
【例3】一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外 半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。
到转动轴z的距离为
D r sin
第七章 刚体力学
转动惯量为
I D 2 dm
M
球壳的转动惯量为
3 4 2 J d sin d r I D dm dr 2π π R
讨论： （1）当R0=0时
M0
0
R0
1 5 5 2π (cos 1)dcos ( R R0 ) 5 0
(2) 利用约束关系
vc R
M i I
ac R
(3) 利用约束关系
第七章 刚体力学
[例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径为 R
的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解 ] 根据质心运动定理
FN W F mac
z
解：球壳的体积为 V 4π ( R3 R03 )
M 3M 质量体密度为 V 4π( R3 R3 ) 0
3
R
R0
O
D
如图示，在球壳中取一体积元， 其体积为 dV r 2 sin d drd
x

θ r
dV
y
其质量为 dm dV r 2 sin d drd
m 1 T1 m1 T1
m
T 2 T2
m 2
方向，垂直屏幕向里
为Z轴的正方向
G1
m2
G2
第七章 刚体力学
对 m1 对 m2 对m
T1 m1 g m1a1
T2 m2 g m2 a2
T1 T1 m1 G1 T 2 T T2
T2r T1 r M r I
Fix 0
F
iy
0
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零, z是垂直于Oxy面的任意轴.
(2) 在力(共面力)的作用平面内选O和O´ 两个参考点，OO´
连线不与Ox轴相互垂直.
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(3) 在力（共面力）的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点， O、O´ 和O´´ 三点不共线
2 3 gh 3
第七章 刚体力学
§7.6 刚体的平衡条件
刚体平衡的充要条件（一般指刚体静止）
Fi 0
M
iz
0
共面力系—— 所有力的作用线位于同一平面内（Oxy）.
刚体平衡条件的其它形式
第七章 刚体力学 Fi 0 Miz 0
（1） 对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
Miz 0
Miz 0
Miz 0
第七章 刚体力学
刚体平衡条件
(1) (2) (3)
Fi 0
M
F
iy
iz
0
任意力
Fix 0 Fix 0
Miz 0
0
Miz 0
共面力
Miz 0 Miz 0
Miz 0 共面力 Miz 0 共面力
dm = λdx
x
D x
第七章 刚体力学
[例2](1)求薄圆环(m,R)过环心且与环面垂直的转
轴的转动惯量 .（薄圆柱环）
I mR 2
(2) 求圆柱环(m,R1, R2)对柱环体轴线的转动惯量 .
(3) 求圆柱体(m,R)对柱体轴线的的转动惯量 .
z
[解] 盘由许多薄环柱组成
dI r 2 dm
I
L / 2 D ( L / 2 D )
x 2 dx
第七章 刚体力学
I
L / 2 D ( L / 2 D )
x
2
1 3 1 3 dx L L D ML2 MD2 12 12
L/2-D
1 I ML2 MD 2 12
L
c O
讨论 （1）当D=0时 1 I ML2 12 （2）当D=L/2时 1 I ML2 3
第七章 刚体力学 x x´ FN y´ y
ac
W
C
O

F
2 g sin 3
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4 无滑滚动条件 v R
c
1 2 h ( g sin )t 2 sin 2 3
2 vc 3 gh 3
2 vc ( g sin )t 3