含有一个量词的命题的否定教案

含有一个量词的命题的否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.

教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

一、引入

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）∀x ∈R ，x 2

-2x+1≥0

分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)

（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)

（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

问题2：写出命题的否定

（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；

（2）p ：有的三角形是等边三角形；

（3）p ：有些函数没有反函数；

（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：

()U U U A B A B =,()U U U A B A B = 二

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。存在性命题P ：∃x ∈M ，使P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∀ x ∈M,有P （x ）不成立。 用符号语言表示：

P:∀∈M, p(x ）否定为⌝ P: ∃∈M, ⌝ P （x ）

P:∃∈M, p(x ）否定为⌝ P: ∀∈M, ⌝ P （x ）

在具体操作中就是从命题P 把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定 词语

是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否

定

不是

一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n 个

至多有一

个 所有x 成立 所有x 不成立

词语的否定

一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x 不成立 存在有一个成立

三 例题

例1 写出下列全称命题的否定：

（1）p ：所有人都晨练；

（2）p ：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；

（3）p ：平行四边形的对边相等；

（4）p ：∃ x ∈R ，x 2－x +1＝0；

分析：（1）⌝ P ：有的人不晨练；（2）∃ x ∈R ，x 2＋x +1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x ∈R ，x 2－x+1≠0；

例2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数。

（2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根。

（3） 对任意实数x ，存在实数y ，使x+y ＞0.

（4） 有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x 不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y ，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x ＞3，则x 2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 写出下列命题的否定。

（1） 若x 2＞4 则x ＞2.。

（2） 若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。

（4） 被8整除的数能被4整除。

（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数0x ，虽然满足20x ＞4，但0x ≤2。或者说：存在小于或等于2的数0x ，满足2

0x ＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x 2＞4 则x ＞2） （2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个0x ，使2

0x + 0x -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x 2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达

为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1）⌝ P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）⌝ P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3）⌝P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）⌝P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。四课堂总结

命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则⌝q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。