运筹学_20 图论基本概念
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A B C D
v1
x1 x2
v2
v3
y1 y2
Operational Research
7
基本概念：（2）关系
关联 • 如果一个点是某条连线的端点，则称这个点与这条连线关联。 相邻 • 若两条连线有一个共同的端点，则这两条线是相邻的；若两个顶点分别是一条线的
两个端点，则这两个顶点也是相邻的。
点－线关联；线－线/点－点相邻 • 请注意，线包括边和弧
Home
Operational Research 图论初步
2012.12
ZHU Tong Chang’an University E-mail: zhutongtraffic@gmail.com
Operational Research
2
提纲
• 何为图论
• 基本概念
• 代数表达 • 基本问题
Operational Research
A
C
D B
Operational Research
8
基本概念：（3）简单（无向图）
环： • 连接同一顶点的边是环。 平行边（多重边）： • 两点之间有多于一个的边。 简单图： • 无环且无平行边的图。
A D B C
Operational Research
9
基本概念：（4）次与空
次： • 以点v为端点的边或弧的个数称为点v的度或次，记作d(v)。其中环计数两次。 • 奇点、偶点：奇数次的点称奇点，偶数次的点称偶点。 空图 • 一个图如果边集（或弧集）为空集，则称该图为空图。比如一些孤立点组成的图。
• 孤立点：空图的点，或次为零的点，称为孤立点。
悬挂 • 仅与一条边或弧相关联（即相连）的点，称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边
即：没有边的图是空图。
发点与收点 • 一个有向图，如果某个顶点只做弧的起始点，则称该点为发点或源点；如果某个顶
点只做弧的终点，则称该点为收点或沉点。
Operational Research
原图
（真）子图
支撑子图
Operational Research
12
基本概念：（6-1）链、圈*
链
• 在无向图G=[V, E]中,由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 • 如：（v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3 ,…,vn-1, en，vn），可简单记作（v0，v1，
v2，v3 ,…,vn-1，vn）。
V1 e1 e3 V2 e4 V3 e5 e2 V4
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 AG 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
e1 , e2 , e3 , e4 , e5
v1 v 2 v3 v4
但实质是一致的。
• 一般提法为：设G为连通图（有向或无向），已知图中各边的权值lij，，要求找出这
两点之间权值之和最小的链（或路）。
v2 3 v1 5 v3 1
2 2
v4 4 2 2
v6
4
v5
Operational Research
23
基本问题
最大流问题/最小费用最大流
5 (3)
v2
13 (5) 6(3) 4 (1) 5 (2) 9 (3) 5 (2)
3
何为图论
哥尼斯堡七桥问题
C A B D A B D C
从岸上某点出发，能否恰好经过每座桥一次又回到出发点？ 如果可以，路线如何？
Operational Research
4
何为图论
哥尼斯堡七桥问题
C A B D A B D C
问：从岸上某点出发，能否恰好经过每座桥一次又回到出发点？如果可 以，路线如何？ 答：欧拉（1736）认为图中每个点都是奇数连线，因此无法完成
Operational Research
5
何为图论
• 图论
• 用点描述事物； • 用连线表示事物与事物之间的联系； • 点和连线的集合称为图，图论中的图可以不按比例来画。
• 图论根据图及其代数表达，了解事物的内在联系。
Operational Research
6
基本概念：（1）要素
点（vertex）& 连线 • 无向连线称“边”（Edge），记为[u,v] • 有向连线称“弧”（Arc），记为(u,v) 图也相应分为两类 • 无向图，G＝[V,E] • 有向图，D＝[V,A]
Operational Research
17
网络的矩阵表示
网络：
• 一个连通图N（V,E），若在集合V中，指定了起点、终点和中间点；在边的集合E
中，任意一边都赋予权bij，这样的图称为网络。
网络的矩阵表达： （1）邻接矩阵：描述各顶点之间的关系
V1
V2
V3
V4
0 0 AD 0 0
Operational Research
20
基本问题
• 用图形描述问题
Operational Research
21
基本问题
最小树问题： • 顶点已知，顶点间设置通道的长度已知，如何才能使总长度最小
Operational Research
22
基本问题
最短路径问题 • 最短路问题简单地说就是找出图或网络中两个顶点之间的最短距离，的提法较多，
v5
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
v3
v6
Operational Research
24
基本问题
网络计划技术
生成子图。
Operational Research
11
子图
v2 e1 v1 e6 v6 e7 e5 v7
e2
v3 e9 e10 e11 e4 e3 v4
v2
v2
e8
e1 v1 e6
v6 e7 e5
e8 v1 v7
v5 (b)
v3 e9
e1 e7
e10 v7 e11 v5 (c)
e6 v6
v4
v5Βιβλιοθήκη Baidu
(a)
v1 , v2 , v3 , v4
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
v1 v 2 v3 v4
Operational Research
18
网络的矩阵表示
（2）关联矩阵：用来描述顶点和边的连接状态
V1 e1 e3 V2 e4 V3 e5 e2 V4
10
基本概念：（5）子图*
子图 • 设G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2 V1 , E2 E1，则称 G2 是G1 的子图。
真子图 • 设G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的真子图。
支撑子图、生成子图 • G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2＝V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的部分图或支撑子图、
生成树：
• 若T=（V，E’）是无向图，是G=（V，E）的生成子图，且T=（V，E’）是一个
树，则称T是G的生成树。
v5
e7
e6
v1 e v 1 2 v5
e7
e6
v1 e v 1 2
v4 e5 v 3
v4 e5 v 3
Operational Research
16
（9）网络及其矩阵表示
网络：
• 一个连通图N（V,E），若在集合V中，指定了起点、终点和中间点；在边的集合E
1 1 AG 0 0
e1 , e2 , e3 , e4 , e5
1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
v1 v 2 v3 v4
Operational Research
19
网络的矩阵表示
（2）关联矩阵：用来描述顶点和边的连接状态
中，任意一边都赋予权bij，这样的图称为网络。
网络的矩阵表达：便于计算机处理 （1）邻接矩阵：描述各顶点之间的关系
V1
V2
V3
V4
0 1 AG 1 0
v1 , v2 , v3 , v4
1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
v1 v 2 v3 v4
13
基本概念：（6-2）路、回路
• 在一个有向图中，从起点开始沿着弧的正向前进，经过一系列的点、弧交替到达终
点，形成的这个序列称为路。如：（v0，a1，v1，a2，v2，a3，v3 ,…,vn-1, an， vn），其中a1的起点是终点是，其它弧类似。路也可简单记作（v0，v1，v2，v3 ,…,vn-1，vn）。其中v0，vn分别称为路的起点和终点。
• 非正向前进的弧的序列也称链和圈。
Operational Research
14
基本概念：（7）连通图
• 任意两点之间均至少有一条链或路，则称此图为连通图，否则称为不连通图。 • 以下哪些是连通图？
Operational Research
15
基本概念：（8）树和生成树、根树（见书）
树：
• 不含圈的连通无向图，记为“T”
简单链、初等链： • 其链长为 n ，其中v0，vn分别称为链的起点和终点。若链中所含的边均不相同，即
无重复边，则称此链为简单链；
• 所含的点均不相同的链称为初等链。 • 初等链一定是简单链，但反之则不一定。 • 即：无重复点一定无重复边，反之不一定
起点和终点相同的链称为闭链或圈。
Operational Research
v1
x1 x2
v2
v3
y1 y2
Operational Research
7
基本概念：（2）关系
关联 • 如果一个点是某条连线的端点，则称这个点与这条连线关联。 相邻 • 若两条连线有一个共同的端点，则这两条线是相邻的；若两个顶点分别是一条线的
两个端点，则这两个顶点也是相邻的。
点－线关联；线－线/点－点相邻 • 请注意，线包括边和弧
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Operational Research 图论初步
2012.12
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Operational Research
2
提纲
• 何为图论
• 基本概念
• 代数表达 • 基本问题
Operational Research
A
C
D B
Operational Research
8
基本概念：（3）简单（无向图）
环： • 连接同一顶点的边是环。 平行边（多重边）： • 两点之间有多于一个的边。 简单图： • 无环且无平行边的图。
A D B C
Operational Research
9
基本概念：（4）次与空
次： • 以点v为端点的边或弧的个数称为点v的度或次，记作d(v)。其中环计数两次。 • 奇点、偶点：奇数次的点称奇点，偶数次的点称偶点。 空图 • 一个图如果边集（或弧集）为空集，则称该图为空图。比如一些孤立点组成的图。
• 孤立点：空图的点，或次为零的点，称为孤立点。
悬挂 • 仅与一条边或弧相关联（即相连）的点，称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边
即：没有边的图是空图。
发点与收点 • 一个有向图，如果某个顶点只做弧的起始点，则称该点为发点或源点；如果某个顶
点只做弧的终点，则称该点为收点或沉点。
Operational Research
原图
（真）子图
支撑子图
Operational Research
12
基本概念：（6-1）链、圈*
链
• 在无向图G=[V, E]中,由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 • 如：（v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3 ,…,vn-1, en，vn），可简单记作（v0，v1，
v2，v3 ,…,vn-1，vn）。
V1 e1 e3 V2 e4 V3 e5 e2 V4
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 AG 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1
e1 , e2 , e3 , e4 , e5
v1 v 2 v3 v4
但实质是一致的。
• 一般提法为：设G为连通图（有向或无向），已知图中各边的权值lij，，要求找出这
两点之间权值之和最小的链（或路）。
v2 3 v1 5 v3 1
2 2
v4 4 2 2
v6
4
v5
Operational Research
23
基本问题
最大流问题/最小费用最大流
5 (3)
v2
13 (5) 6(3) 4 (1) 5 (2) 9 (3) 5 (2)
3
何为图论
哥尼斯堡七桥问题
C A B D A B D C
从岸上某点出发，能否恰好经过每座桥一次又回到出发点？ 如果可以，路线如何？
Operational Research
4
何为图论
哥尼斯堡七桥问题
C A B D A B D C
问：从岸上某点出发，能否恰好经过每座桥一次又回到出发点？如果可 以，路线如何？ 答：欧拉（1736）认为图中每个点都是奇数连线，因此无法完成
Operational Research
5
何为图论
• 图论
• 用点描述事物； • 用连线表示事物与事物之间的联系； • 点和连线的集合称为图，图论中的图可以不按比例来画。
• 图论根据图及其代数表达，了解事物的内在联系。
Operational Research
6
基本概念：（1）要素
点（vertex）& 连线 • 无向连线称“边”（Edge），记为[u,v] • 有向连线称“弧”（Arc），记为(u,v) 图也相应分为两类 • 无向图，G＝[V,E] • 有向图，D＝[V,A]
Operational Research
17
网络的矩阵表示
网络：
• 一个连通图N（V,E），若在集合V中，指定了起点、终点和中间点；在边的集合E
中，任意一边都赋予权bij，这样的图称为网络。
网络的矩阵表达： （1）邻接矩阵：描述各顶点之间的关系
V1
V2
V3
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0 0 AD 0 0
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基本问题
• 用图形描述问题
Operational Research
21
基本问题
最小树问题： • 顶点已知，顶点间设置通道的长度已知，如何才能使总长度最小
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22
基本问题
最短路径问题 • 最短路问题简单地说就是找出图或网络中两个顶点之间的最短距离，的提法较多，
v5
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
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24
基本问题
网络计划技术
生成子图。
Operational Research
11
子图
v2 e1 v1 e6 v6 e7 e5 v7
e2
v3 e9 e10 e11 e4 e3 v4
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e1 v1 e6
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v3 e9
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e10 v7 e11 v5 (c)
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(a)
v1 , v2 , v3 , v4
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
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18
网络的矩阵表示
（2）关联矩阵：用来描述顶点和边的连接状态
V1 e1 e3 V2 e4 V3 e5 e2 V4
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基本概念：（5）子图*
子图 • 设G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2 V1 , E2 E1，则称 G2 是G1 的子图。
真子图 • 设G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的真子图。
支撑子图、生成子图 • G1=[V1 , E1]，G2 =[V2 ,E2]。如果 V2＝V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的部分图或支撑子图、
生成树：
• 若T=（V，E’）是无向图，是G=（V，E）的生成子图，且T=（V，E’）是一个
树，则称T是G的生成树。
v5
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v1 e v 1 2 v5
e7
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v1 e v 1 2
v4 e5 v 3
v4 e5 v 3
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16
（9）网络及其矩阵表示
网络：
• 一个连通图N（V,E），若在集合V中，指定了起点、终点和中间点；在边的集合E
1 1 AG 0 0
e1 , e2 , e3 , e4 , e5
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网络的矩阵表示
（2）关联矩阵：用来描述顶点和边的连接状态
中，任意一边都赋予权bij，这样的图称为网络。
网络的矩阵表达：便于计算机处理 （1）邻接矩阵：描述各顶点之间的关系
V1
V2
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v1 , v2 , v3 , v4
1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
v1 v 2 v3 v4
13
基本概念：（6-2）路、回路
• 在一个有向图中，从起点开始沿着弧的正向前进，经过一系列的点、弧交替到达终
点，形成的这个序列称为路。如：（v0，a1，v1，a2，v2，a3，v3 ,…,vn-1, an， vn），其中a1的起点是终点是，其它弧类似。路也可简单记作（v0，v1，v2，v3 ,…,vn-1，vn）。其中v0，vn分别称为路的起点和终点。
• 非正向前进的弧的序列也称链和圈。
Operational Research
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基本概念：（7）连通图
• 任意两点之间均至少有一条链或路，则称此图为连通图，否则称为不连通图。 • 以下哪些是连通图？
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15
基本概念：（8）树和生成树、根树（见书）
树：
• 不含圈的连通无向图，记为“T”
简单链、初等链： • 其链长为 n ，其中v0，vn分别称为链的起点和终点。若链中所含的边均不相同，即
无重复边，则称此链为简单链；
• 所含的点均不相同的链称为初等链。 • 初等链一定是简单链，但反之则不一定。 • 即：无重复点一定无重复边，反之不一定
起点和终点相同的链称为闭链或圈。
Operational Research