微积分 北京大学出版社第7章习题参考答案

∴ ∫∫ ( x + y ) 2 dσ ≥ ∫∫ ( x + y )3 dσ
D D
1
（2）
∫∫ ln( x + y)dσ 与 ∫∫ [ln( x + y)] dσ ，其中 D = {( x, y) 3 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 1}
2
D D
解：区域 D 如图所示， 3 ≤ x + y ≤ 6 ⇒ ln ( x + y ) > 1
4
π
π
2、交换下列二重积分的积分次序： （1）
∫
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy (a < b)
a
x
y b
y= x
解：D: a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ x ，如图， 则 D: a ≤ y ≤ b, y ≤ x ≤ b 原式=
a 0 a b x
∫
b
a
dy ∫ f ( x, y )dx
y
π
π
4 0
(1 − sin 2 y ) dy − ∫ π2 ( sin 2 x − 1) dx
4
π
1 ⎡ ⎤4 ⎡ 1 ⎤ 2 π 1 ⎛1 π ⎞ π = ⎢ y + cos 2 y ⎥ − ⎢ − cos 2 x − x ⎥ = − − ⎜ − ⎟ = − 1 2 ⎣ ⎦0 ⎣ 2 ⎦π 4 2 ⎝2 4⎠ 2
2 y
y y = 1 − x2 1 0 1
y=lnx
e x
原式=
∫
1
0
dy ∫
ey
1− y
f ( x, y )dx
4
习题 7.3 1、在极坐标系下计算二重积分： （1）
∫∫
D
xdσ ，其中 D ： x 2 + y 2 ≤ x .
2 2
y
o
cosθ 3
x2 + y2 = x
解： x + y = x ⇒ r = r cos θ ⇒ r = cos θ
4 y ln 3 xy xy
2
4
x
（注：根据被积函数 ye ，应先对 x 积分，视 y 为常数，凑成 e dxy ）
(7)
∫
π
6 0
dy ∫ 6
y
π
cos x dx x
解：D: 0 ≤ y ≤
π
6
,
y≤x≤
π
6
，改变积分次序 D: 0 ≤ x ≤
π
6
π
y
6
y= x
, 0≤ y≤ x
原式=
∫
π
6 0
π π cos x cos x x π 1 6 dx ∫ dy = ∫ y 0 dx = ∫ 6 cos xdx = sin = 0 0 0 6 2 x x
x
0
π
6
x
（注：根据被积函数
1
3
cos x ，应先对 y 积分，视 x 为常数） x
(8)
∫ dx ∫
0
x
x
e dy
y2 2
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 ,
x ≤ y ≤ 3 x ，改变积分次序 D: 0 ≤ y ≤ 1 ,
1
y2 2
y3 ≤ x ≤ y
原式=
∫
1 0
2
dy ∫ 3 e dx = ∫ e
2
2 ⎛ 2 ⎛ 2 ⎞⎞ 8 = ⎜ − ⎜− ⎟⎟ = 5 ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎠ 15
习题 7.1 1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）
∫∫ ( x + y)
D
2
dσ 与 ∫∫ ( x + y )3 dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围．
D
解: 区域 D 如图所示， 0 ≤ x + y ≤ 1 ，
y
1
o
x+ y =1
x
∵ ( x + y ) 2 ≥ ( x + y )3
−1
−1− x
dx + ∫ e x e y
0
dx = ∫
(e
1
2 x +1
1 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = ⎜ e 2 x +1 − e −1 x ⎟ + ⎜ e 2 x −1 − e−1 x ⎟ = ( e − e −1 ) + e−1 + ( e − e −1 ) − e−1 = e − 2 e ⎝2 ⎠ −1 ⎝ 2 ⎠0 2
y
2 x − x2 x
y= x
∫
1 0
dx ∫
4
2 x − x2 x
1 2 y 2
dx
y = 2x − x2
1 1 1 1 = ∫ ( x − x )dx = ( x 4 − x 5 ) 0 = 0 4 5 20
3
o
1
2 x
(6)
∫∫ ye
D ln 3 ln2
xy
dσ ，其中 D 由直线 x = 2, x = 4, y = ln 2, y = ln 3 所围.
1
1
o
x+ y =1
1 ⎞ 1 ⎛ = ⎜ x − x2 ⎟ = 2 ⎠0 2 ⎝
（3）
1
y
x
∫∫ e
D
x+ y
dσ ，其中 D ： x + y ≤ 1 .
解：D: −1 ≤ x ≤ 0 ,
− x −1 ≤ y ≤ 1+ x x −1 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x x −1 0
−x + y = 1
2
D: −
π
2
≤θ ≤
π
− 2
π
2
0
, 0 ≤ r ≤ cos θ r cos θ rdr = ∫
cosθ
x
原式=
∫
π dθ ∫
2
cosθ
π
2 −
π
2
cos θ dθ ∫
0
r 2 dr
π
5 2 π = ∫ 2π cos θ r 2 5 −2
0
2 π 2 π 2⎛ 1 ⎞2 dθ = ∫ 2π cos3 θ dθ = ∫ 2π (1 − sin 2 θ ) d sin θ = ⎜ sin θ − sin 3 θ ⎟ 5 −2 5 −2 5⎝ 3 ⎠ −π
5 1 2 −1
D2
=
4 5 4 5 32 ⋅ 22 + ⋅ 22 = 2 15 15 15
（10）
∫∫
D
cos( x + y ) dσ ，其中 D 由直线 x =
π , y = 0, y = x 所围. 2
y
y= x
1
π
解：D1: 0 ≤ y ≤
π π , y≤ x≤ − y; 4 2 π π π D2: ≤x≤ , −x≤ y≤x 4 2 2
∫∫
D
y − x dσ ，其中 D 由直线 x ≤ 1, y ≤ 1 所围.
解：D1: −1 ≤ x ≤ 1 ,
x ≤ y ≤ 1 ; D2: −1 ≤ x ≤ 1 , − 1 ≤ y ≤ x
1 x −1 3 3 2 1 2 1 x − ydy = ∫ ( y − x) 2 dx − ∫ ( x − y) 2 dx 3 −1 3 −1 x x
y
ln 2 ≤ y ≤ ln 3
ln3 ln2
解：D: 2 ≤ x ≤ 4 , 原式=
1n3
ln3 ln2
∫
dy ∫ ye xy dx = ∫
2 2 y ln 3
4
e xy dy = ∫
2
4
(e
4y
− e 2 y ) dy
1n2
o
=
1 1 1 1 e − e = ( e 4ln 3 − e 4ln 2 ) − ( e 2ln 3 − e 2ln 2 ) ln 2 ln 2 4 2 4 2 1 4 1 55 3 = 13 = ( 3 − 24 ) − ( 32 − 22 ) = 4 4 2 4
1
y=lnx
1
e x
原式= （5）
∫ dy ∫
0
1
e
ey
f ( x, y )dx f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
1 2
∫ dx ∫
0
1
1
2
e
1− x
ln x
f ( x, y )dy
解：D: 0 ≤ x ≤ 1,1 − x ≤ y ≤ 1 ， 1 ≤ x ≤ e, ln x ≤ y ≤ 1 如图，则 D: 0 ≤ y ≤ 1, 1 − y ≤ x ≤ e
2
x+ y = 2
2x − x2
原式= （4）
∫ ∫
2
1
dx ∫ dx ∫
2 x − x2
2− x ln x
f ( x, y )dy
0
1
2
x
e
1
0
f ( x, y )dy
解：D: 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln x ， 如图，则 D: 0 ≤ y ≤ 1, e ≤ x ≤ e
y
y 1 0
（2）
∫∫ ( x + 2 y)dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围.
D
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
0 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x 0
y
1 1 (1 − x)dx 2 ∫0
∫
1 0
dx ∫
1− x 0
( x + 2 y )dy = ∫ ( xy + y 2 ) 0 dx =
y
y
y2 2
0
x y3 dy = ∫ e
y
1
y2 2
y 1
y= x
y= 3 x
0
( y − y ) dy
3
2 2
y ⎛ y 3 2 2 ye − y e ⎜ ∫0⎜ ⎝ 1
2
y y y ⎞ 1 1 y2 dy = ∫ e 2 d − ∫ y 2 de 2 = e 2 ⎟ 0 0 ⎟ 2 ⎠
2
1
−y e
o
y 2 1
x = 1 + 1− y2
x ≤ y ≤ 3− x 2∫ Nhomakorabea0
2
0
dx ∫x
3− x
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
2
2
2
3
x x+ y = 3
∫
1
dy ∫
1+ 1− y 2
2− y
解：D: 0 ≤ y ≤ 1, 2 − y ≤ x ≤ 1 + 1 − y ，如图， 则 D: 1 ≤ x ≤ 2, 2 − x ≤ y ≤ 1 − ( x − 1) =
2 0
y2 2
1 1
+ ∫ e d y2
0 0
y2 2
0
1
x
2
y ⎛ 1 ⎞ 1 2 2 = ⎜ e − 1⎟ − e + 2 e 2 ⎝ ⎠
2
1
0 y2 2
1 ⎛ 1 ⎞ 2 = − 1 + 2 ⎜ e − 1 ⎟ = 2e 2 − 3 ⎝ ⎠
（注：根据被积函数 e (9)
，应先对 x 积分，视 y 为常数）
b
3
(2)
∫
1
0
dy ∫
2y
0
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
1
3
3− y
0
f ( x, y )dx
y
x = 2y
解： D: 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2 y ， 1 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 3 − y; 如图， 则 D: 0 ≤ x ≤ 2, 原式= (3)
3 1
D: −1 ≤ x ≤ 1 ,
1 −1
−2≤ y ≤ 2
∫
2 1 1 1 16 2 dx ∫ ( x 2 + y 2 )dy = ∫ ( x 2 y + y 3 ) −2 dx = ∫ (4 x 2 + )dx 1 −2 −1 − 3 3
1
-1
o
1 -2
x
16 ⎞ ⎛4 1 = ⎜ x 3 + x ⎟ = 13 3 3 ⎠ −1 ⎝3
1
x+ y=1
0 ≤ x ≤1,
原式=
0
-1
−x − y = 1
− e−1 ) dx + ∫ ( e − e2 x −1 ) dx
1 0
o
∫
0 −1
dx ∫
1+ x
1+ x
−1− x
e x + y dy + ∫ dx ∫
1 1− x x −1 0
e x + y dy
0 −1
x− y=1
1
x
-1
= ∫ ex e y
5 1 2
y
1
y= x
原式=
∫
1 −1
dx∫
1 x
y − xdy + ∫ dx∫
−1
3 2
1
D1 -1
o
1 1 -1
x
2 1 2 1 2 2 = ∫ (1 − x ) dx + ∫ ( x + 1) dx = − ⋅ (1 − x ) 3 −1 3 −1 3 5
3 2
2 2 + ⋅ ( x + 1) 3 5 −1
y
1
x
∵ ln( x + y ) ≤ ln 2 ( x + y )
∴ ∫∫ ln( x + y )dσ ≤ ∫∫ ln 2 ( x + y )dσ
D D
o
3
5
习题 7.2 1、计算下列二重积分： （1）
∫∫ ( x
D
2
+ y 2 )dσ ，其中 D ： x ≤ 1 ,
y ≤ 2.
y
2
解：法 1 原式=
法 2（利用对称性）D: −1 ≤ x ≤ 1 ,
1 2 2 2 1
−2≤ y ≤ 2
1 2
1 1 3 2 8 40 ⎛2 3 8 ⎞ 2 原式= 4 ∫ dx ∫ ( x + y ) dy = 4 ∫ ( x y + y ) 0 dx = 4 ∫ (2 x + ) dx = 4 ⎜ x + x ⎟ = 0 0 0 0 3 3 3 ⎠0 3 ⎝3
2 D
2
2x
2
2x
dx =
x
3 3 2 9 xdx = x 2 = ∫ 21 4 1 4
2
(5)
∫∫ x
ydσ ,其中 D ： x 2 + y 2 ≤ 2 x, y ≥ x, 0 ≤ x ≤ 1
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
1
x ≤ y ≤ 2 x − x2
x 2 ydy = ∫ x 2
0 1
（注：画直线 ± x ± y = 1 时，根据截距画图.）
(4)
∫∫
D
y dσ ,其中 D 由直线 x = 1, x = 2, y = x, y = 2 x 所围. x
y