第3讲资产组合理论(完整版)

－1 表明两种证券的收益率变化方向完全相反，称为完全负相关； ＋1 表明收益率变化方向完全相同，称为完全正相关； 0 则表示两个收益率之间不存在任何关系。 如果相关系数位于（－1，0）区间，则两种证券的收益率存在普通的 负相关关系； 如果相关系数位于（0，＋1），则收益率存在普通的正相关关系。
4
(4)资产组合的方差
式：
(R2
− R1 )2
×
σ
2 p
=
R
2 p
×
(σ
2 1
+
σ
2 2
− 2ρ12 ) +
[ ( ) ] 2Rp × ρ12σ1σ 2
R1 + R2
−
R2σ
2 1
−
R1σ
2 2
+
R22σ
2 1
+
R12
×
σ
2 2
− 2ρ12 R1R2
（4.17）
( ) 根据二次曲线的判别式，有Δ =
4(R1
−
R2 )2
σ
则两资产组合的期望收益率为： R p = W1 × R1 + W2 × R2
= W1 × R1 + (1 − W1 ) × R2 组合的方差为：
σ
2 p
= W12
×
σ
2 1
+ W22
×
σ
2 2
+ 2W1 ×W2
× σ 12
（4.12）
=
W12
×
σ
2 1
+ W22
×σ
2 2
+
2ρ12
× W1
× W2
×σ1
=52.31
6
σ p = 52.31 = 7.23%
(5) 资产组合与风险分散
为了简化推导过程，首先需要进行一些假设：
证券组合包含
N
种证券，每种证券的方差
σ
2 i
都相等，为
σ
2
；
每种证券的投资比例Wi
也相等，为
1 N
。
与上文一样，还是用
σ
2 p
表示组合的方差，用σ ij 表示证券 i 与 j 之间的协方差。
1、单个资产 单个资产的期望收益率（Expected Rate of Return）
1
N
∑ E(R)= Pi Ri t =1
（离散型）
例 1 某证券的期末收益率及每一种收益率对应的概率如表 4-1 所示，试
计算该证券的期望收益率。
表 4-1
期末收益率 Ri
3.0% 2.5% 3.2% -2.0% 3.5%
= [W1 × σ 1 − (1 −W 1) × σ 2 ]2
( ) Rp
=
R2
+
R1 σ1
ห้องสมุดไป่ตู้
− R2 +σ2
σ2 +σp
( ) Rp
=
R2
+
R1 σ1
− R2 +σ2
σ2 −σ p
（4.16）
3、两证券不完全相关时
当－1< ρ12 <＋1 时，将公式（4.14）代入公式（4.13）,经过整理得到一个二次曲线公
第 4 章 资产组合理论
“不要把所有的鸡蛋都放进同一个篮子里”。
4.1 资产组合理论的产生与发展 传统资产组合理论 现代资产组合理论 美国经济学家哈里·马柯维茨（Harry M. Markowitz）是现代资产组
合理论的创始人，他于 1952 年 3 月在《金融杂志》上发表论文《证券组 合选择》，提出确定最小方差资产组合（Minimum-variance Portfolio） 的思想，开创现代资产组合理论（Portfolio Theory）。
资产组合的方差并不是各个证券方差的简单加权值，它的大小还会与
任意两个证券之间的协方差有关。
{[ ] } σ
2 p
=E
Rp − E(Rp ) 2
∑ =
E ⎪⎩⎪⎨⎧⎢⎣⎡
N
Wi
i =1
(Ri
−
⎤2 E(Ri ))⎥⎦
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
∑ ∑∑ [ ] [ ] [ ] =
⎧
E
⎪ ⎨
N
Wi 2
Ri − E(Ri ) 2 +
2 i
+
WiW jσ ij
i =1
i=1 j=1
i≠ j
N 个证券组成的资产组合的方差是由组合中所有证券的方差与证券间
的协方差构成。
NN
∑ ∑ 单个证券的方差
σ
2 p
=
W iW jσ ij
i =1 j =1
例 4.2 资产组合P由三种证券A、B、C构成，三种证券的投资金额占总投
5
资额的比例分别为 WA =0.2、 WB =0.5、 WC =0.3，对应的期望收益率为 E(RA ) =12%、E(RB ) =8%、E(RC ) =16%，求整个资产组合P的期望收益率和标准 差。三种证券的方差和协方差由下列协方差矩阵给出（注：为了简便，将 矩阵中数字的单位万分之一省略）：
N
N
WiW j
Ri
− E(Ri )
Rj
⎫
−
E
(
R
j
)
⎪ ⎬
⎪⎩ i=1
i=1 j=1 i≠ j
⎪⎭
∑ ∑∑ [ ] N
NN
= [ Wi2 E Ri − E(Ri )]2 +
[ WiW j E Ri − E(Ri )] R j − E(R j )
i =1
i=1 j=1
i≠ j
N
NN
∑ ∑∑ =
Wi
2σ
发生概率 Pi
0.1
0.2
0.5
0.2
0.1
解：由于该证券的发生概率为离散型，应该运用公式（4.2）计算期望收益
率。
N
E(R) = ∑ Pi Ri t =1 = 3.0%×0.1＋2.5%×0.2＋3.2%×0.5＋(-2.0%)×0.2＋3.5%×0.1
= 2.35%
单个资产收益率的方差（Variance）
由公式（4.9）得到：
N
NN
∑ ∑∑ σ
2 p
=
Wi
2σ
2 i
+
WiW jσ ij
i =1
i=1 j=1
i≠ j
=
N
×
1 N2
×σ
2
+
N
× (N
−1) ×
1 N2
× σ ij
=
1 N
σ
2
+ (1−
1 N
)σ
ij
（4.11）
公式（4.11）的推导过程说明任何资产组合的总风险都是由系统性风险和非系统性风险 构成，随着组合中证券数目的增加，非系统性风险会减少，直至最终趋于零，系统性风险则 收敛于某一有限数，图 4.1 描述了这种变化1：
=11.2%
（2）求组合的标准差
N
NN
∑ ∑ ∑ σ
2 p
=
W
i2σ
2 i
+
W iW jσ ij
i =1
i =1 j =1
i≠ j
=
W
A2σ
2 A
+
WB2σ
2 B
+
WC2σ
2 C
+
2WAWBσ AB
+
2WAWCσ AC
+
2WBWCσ BC
= (0.2)2 × 35 + (0.5)2 × 67 + (0.3)2 × 50 + 2 × 0.2 × 0.5 × 43 + 2 × 0.2 × 0.3 × 28 + 2 × 0.5 × 0.3× 59
×σ 2
= W12
×
σ
2 1
+
(1 − W1 )2
×
σ
2 2
+
2ρ12
× W1
× (1 − W1 ) ×σ1
×σ 2
（4.13）
式（4.13）中的 ρ12 为证券 1 和证券 2 之间的相关系数，取值范围为－1 到＋1。
1、两证券完全正相关时 将 ρ12 =1 代入公式（4.13）得：
σ
2 p
= W12
资金额在组合的投资总金额中所占的比例，且
N
∑
Wi
= 1，E
(Ri
)
为第
i
个证券
i=1
的期望收益率，N 为组合内的证券总数。
(2)协方差（Covariance）
证券间关系对收益的影响用协方差衡量。 协方差度量两个随机变量之间的相关性，如证券 X 和证券 Y 之间的收 益率的协方差为：
COV ( X ,Y ) = E{[RX − E(RX )][RY − E(RY )]}
2 1
+σ
2 2
−
2ρ12σ 1σ 2
≥ 0，即公式（4.17）代
表的曲线是一条双曲线。因为方差是一个非负数，所以由双曲线的右支描述组合的收益与风 险的关系。
根据上述分析，可以用图 4.2 表示两资产组合收益与风险的关系。 Rp 1 ρ12 = −1
ρ12 = 0
ρ12 = 1
2
0
σp
9
图 4.2 两资产组合收益与风险的关系
3
上式中，COV (X ,Y ) 表示证券 X 和证券 Y 之间的协方差，也可以用σ XY 表示。 协方差为正值意味着两个证券的收益率朝同一个方向变动。 协方差为负值时，两个证券的收益率具有反方向变动的关系 协方差为零时，两个证券之间没有关联
(3)相关系数（Correlation Coefficient）
variance portfolio
Individual assets
Minimum variance frontier
St. Dev.
(2)最佳组合的确定 确定了有效集的位置后，投资者就可以根据个人对风险的偏好程度，在有效集曲线上寻
找能够使投资效用最大化的资产组合。如图 4.7 所示，这个组合位于有效集与无差异曲线的 切点 P 上（本部分先讨论不允许卖空情况下的最佳组合）。
E(Rp )
I1
I 2 P2 I 3 P
P1
0
σP
图 4.7 最佳组合的确定
11
4 无风险资产与投资组合
(1) 无风险资产 实践中常常将短期政府债券视为无风险资产， 如在美国就把三个月期的国库券看作无风险证券。
⎜⎛ 35 43 28⎟⎞ ⎜ 43 67 59⎟ ⎜⎝ 28 59 50⎟⎠
解：（1）首先求期望收益率：
N
∑ E(Rp ) = Wi E(Ri ) i =1
= WA × E(RA ) + WB × E(RB ) + WC × E(RC )
=0.2 × 12% ＋ 0.5 × 8% ＋ 0.3 × 16%
1963 年，马柯维茨的学生威廉·夏普（William F. Sharpe）发表《证 券组合分析的简化模型》，提出一个相对简化的模型——单一指数模型。
如今，马柯维茨模型主要用于不同类型证券之间的资金分配，夏普模 型则广泛用于同类证券内部不同证券的组合选择。
资产组合模型假设理性投资者以风险厌恶为特征 4.2 资产组合的收益与风险
(−2.0% − 2.35%)2 × 0.2 + (3.5% − 2.35%)2 × 0.1 = 2.08%
2、资产组合
(1)资产组合的收益率
资产组合的期望收益率就是组合中每个证券的期望收益率的加权平
均值。
N
∑ E(Rp ) = Wi E(Ri ) i =1
（4.6）
(4.6)式中，E (Rp ) 代表整个组合的期望收益率，Wi 为第 i 个证券的投
( ) Rp
=
R2
+
R2 σ1
− R1 −σ2
σ2 +σp
( ) Rp
=
R2
+
R2 σ1
− R1 −σ2
σ2 −σ p
8
（4.15）
2、两证券完全负相关时 将 ρ12 =－1 代入公式（4.13）得：
σ
2 p
= W12
×
σ
2 1
+ (1 − W1 )2
×
σ
2 2
− 2W1 × (1 − W1 ) × σ 1 × σ 2
资产组合总风险（%）
① ②
③
0 10 20 30 40 50 60
图 4.1 资产组合的风险构成
资产组合种类
1箭头 1 代表组合的总风险，箭头 2 代表非系统性风险，箭头 3 代表系统性风险。 7
(6) 两资产组合
假设投资者将资金分散投资于证券 1 和证券 2， 投资比重分别为W1 和W2 ，满足条件W1 + W2 = 1 ，
3 最佳资产组合
(1)有效集理论
1、可行集（Feasible Set）
E(Rp )
C D
B
10
A
0
σP
图 4.3 可行集
2、有效集（Efficient Set）
The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets
E(r)
Efficient frontier
Global minimum
Two-Security Portfolios with Different Correlations
E(r)
13% ρ = -1
ρ = -1
ρ = .3
ρ= 1
%8
12%
20% St. Dev
根据图 4-2 可以得到：所有两资产组合曲线都通过 1 和 2 两点（1 点表示只投资于证券 1，2 点表示只投资于证券 2）。无论相关系数 ρ 取什么值，组合曲线都向左凸出，其凸出的 程度由 ρ 决定： ρ 越小，凸出的程度越大，当 ρ = −1时，达到最大曲度； ρ 越大，曲线越显 得平滑，当 ρ = 1时，曲线最为平滑。
协方差具有一个缺陷：当不同资产组合的规模存在差异时，无法根据 协方差的大小比较两个组合之间的风险。
作为一个无量纲的统计量，相关系数可以解决这个问题。
假设σ X 和σ Y 分别为证券 X 和证券 Y 的收益率标准差，σ XY 为两种证券 之间的协方差，则他们的相关系数 ρ XY 为：
ρ XY
= σ XY σ Xσ Y
σ
2
=
∑ [ N
Pi Ri
−
E ( R )]2
（离散型）
t =1
σ 2 表示收益率的方差，也可以用Var(Ri ) 表示
例 4.1 续 解：根据例 4.1 的数据，可以计算出对应的标准差：
2
(3.0% − 2.35%)2 × 0.1 + (2.5% − 2.35%)2 × 0.2 + (3.2% − 2.35%)2 × 0.5 + σ=
×
σ
2 1
+ (1−W1)2
×
σ
2 2
+ 2W1 × (1−W1) ×σ1 ×σ 2
= [W1 × σ 1 + (1 −W 1) × σ 2 ]2
由公式（4.12）得：W1
=
R2 R2
− Rp − R1
代入上式，开根号得：σ p