矩阵的相似和相合2

二、利用正交矩阵将对称矩阵对角 化的方法
根据上述结论， 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵， 为对角矩阵，其具体步骤为 其具体步骤为： 1. 求A的特征值; 2.
由( λi I − A ) x = 0, 求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
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λ −2 λI − A = 2
0
2 0 λ −1 2 = ( λ − 4)( λ −1)( λ + 2) = 0 2 λ
得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
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第二步 由( λi I − A ) x = 0, 求出A的特征向量
T
及 x T Ax = ( x T AT ) x = ( A x ) x = (λ x ) x = λ x T x.
T T
两式相减， 两式相减，得
(
但因为 x ≠ 0,
n T
λ − λ x T x = 0.
n
)
所以 x x = ∑ xi xi = ∑ xi ≠ 0, ⇒ (λ − λ ) = 0,
2 i =1 i =1
P = [α1 , α 2 , α 3 ]
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已知实对称矩阵 (1) 求
2 1 1 A = 1 a 1 1 1 2
有特征向量
(1,1,1)T
a
(2) 求正交矩阵 P 使得 PT AP 为对角矩阵。 解 (1) 因为
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1
T 1
T 1
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 ,
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⇒
( λ 1 − λ 2 ) p p 2 = 0.
T 1
2 1 1 1 4 1 1 a 1 1 = 2 + a = λ 1 1 1 2 1 4 1
，得 a = 2 且有特征值 λ = 4
λ −2
−1
−1
2 −1 = (λ − 4)(λ − 1)，所以特征值为 4，1，1
λ −3
−1
，所以特征值为5，2，2
1 (1,1,1)T 3
1 1 (−1,1, 0)T , β3 = (−1, 0,1)T 2 2
λ −3
当 λ =5
时，有特征向量
α1 =
α2 =
当
λ=2
时，有特征向量
α2 =
正交单位化得
1 1 (−1,1, 0)T , α 3 = (1,1, −2)T 2 6
所以
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系， 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质， 的性质，除了课堂内介绍的以外， 除了课堂内介绍的以外，还有： 还有： (1) A与B相似, 则 det( A) = det( B );
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆 , 且A 与 B − 1相似; ( 3 ) A 与 B 相似 , 则 kA 与 kB 相似 , k 为常数 ;
1 η3 = 2 2 − 2 2 1 1 作 P = (η1 , η 2 , η 3 ) = 2 1 2 , 3 − 1 − 2 2 4 0 0 −1 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
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ξi 令 ηi = , i = 1,2,3. ξi
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− 2 3 23 得 η1 = 2 3 , η 2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
对 λ3 = −2,由( -2 I +A ) x = 0, 得
1 解之得基础解系 ξ 3 = 2 . 2 第三步 将特征向量正交化
由于ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 .
第四步 将特征向量单位化
例1 对下列各实对称矩阵， 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 使 P −1 AP 为对角阵. 2 −2 0 4 0 0 (1) A = − 2 1 − 2 , ( 2) A = 0 3 1 0 −2 0 0 1 3 解 (1)第一步 求 A 的特征值
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一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵， 本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 定理1 对称实矩阵的特征值为实数. 对称实矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
3 3 . 3
则
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4 ( 2) A = 0 0 λ −4 λI − A = 0 0
0 0 3 1 1 3 0
0 2 λ − 3 −1 = ( λ − 2 )( λ − 4 ) , −1 λ − 3
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ3单位化, 令ηi = ( i = 1,2,3) 得 ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
对应的特征向量 , 即 Ax = λx , x ≠ 0.
用λ 表示λ的共轭复数 , x表示 x的共轭复向量 , 则
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A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
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于是有
T = x ( Ax ) = x T λ x = λ x T x, x Ax
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定理 2
设λ1 , λ2 是实对称矩阵 A的两个特征值 , p1 ,
p2是对应的特征向量, 若λ1 ≠ λ2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
即 λ = λ , 由此可得 λ是实数 .
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定理1 定理1的意义
由于实对称矩阵A的特征值λi为实数, 所以齐次 线性方程组 (λi I − A) x = 0 是实系数方程组,由 λi I − A = 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
+ rs = n知,
由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P −1 AP = P −1 PΛ = Λ
其中对角矩阵Λ的对角元素含 r1 个 λ1 , , rs 个λs , 恰 是A的n个特征值.
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(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式 , 则f ( A)与 f ( B )相似 .
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−1
２．相似变换与相似变换矩阵 相似变换是对方阵进行的一种运算， 是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P −1 AP ，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换， 其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵， 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算， 再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算． 角矩阵的运算．
P −1 AP = Λ, 其中 Λ 是以 A的 n 个特征值为对角元
素的对角矩阵. 证明 设A 的互不相等的特征值为 λ1 , λ2 , , λs , 它们的重数依次为 r1 , r2 , , rs ( r1 + r2 + + rs = n).
根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 可得：
对 λ1 = 4,由( 4 I − A ) x = 0,
解之得基础解系
对 λ2 = 1,由( I − A ) x = 0, 得
− 2 ξ1 = 2 . − 1 2 ξ 2 = 1 . − 2
解之得基础解系
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∵ λ1 ≠ λ2 , ∴ p1T p2 = 0. 即p1与p2正交 .
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定理3 设 A为 n阶对称矩阵, λ 是A的特征方程的 r 重根, 则矩阵 λ I − A 的秩 r (λ I − A) = n − r , 从而 对应特征值 λ 恰有 r 个线性无关的特征向量. 定理 4 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P, 使
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于是得正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2
则
2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
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对应特征值 λi (i = 1,2, , s ), 恰有 ri 个线性无 关的实特征向量, 把它们正交化并单位化,即得ri个 单位正交的特征向量. 由r1 + r2 + 这样的特征向量共可得 n个.
0 对 λ1 = 2,由( 2 I − A ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 − 1 对 λ2 = λ3 = 4,由 ( 4 I − A ) x = 0, 得基础解系
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3 1 1 1 3 1 已知实对称矩阵 A = 1 1 3
求正交矩阵 P 使得 PT AP 为对角矩阵。 解
λ −3
| λ I − A |= −1 −1 −1 −1 −1 = (λ − 5)(λ − 2) 2
(2)
| λ I − A |= −1 −1
λ −2
−1
λ −2
1 (1,1,1)T 3
1 1 ( −1,1, 0)T , β3 = (−1, 0,1)T 2 2
当 λ = 4 时，有特征向量 α1 = 当 λ = 1 时，有特征向量 正交单位化得
α2 =
α2 =
1 1 (−1,1, 0)T , α 3 = (1,1, −2)T 2 6